高三，唤醒元认知&集合与常用逻辑用语、不等式高考一轮复习要点-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

生涯规划 高三，唤醒元认知 ■本刊编辑部 元认知一词源于教育心理学，通俗 目。一旦题目稍作变形，便束手无策。 地说，它就是“对思考的思考”或“对认 拥有元认知的同学，会强迫自己跳 知的认知”。对于高三学生而言，唤醒 出题海，站在更高的维度审视知识。与 元认知，是将盲目苦学转化为高效智取 其死磕一百道导数压轴题，不如思考： 的关键一步，同学们可以从以下三个方 导数这部分在高考中考查的是什么？ 面来审视自己的认知。 同学们可以尝试制作一张知识地 一、识别低效勤奋 图。拿出一张白纸，写出某个章节的核心 高三阶段最可惜的状态并非不努 公式，然后用箭头标出公式之间的推导关 力，而是低效勤奋。元认知的第一项功 系。如果能清晰地画出这张图，并能向他 能，便是帮助同学们监控自己的学习状 人讲清楚，那么说明元认知已经建立。 态。建议同学们在每次晚自习结束前， 三、学会归因分析 都问问自己： 缺乏元认知的同学，考好了归功于 (1)核心内容回顾：当日学到的核 运气，考砸了归咎于粗心或题目太难。 心内容是什么？ 而具备元认知的同学，则会进行可控的 (2)错误归类：做错的题目属于哪 归因分析。 一类错误？是计算失误、审题不清、概 建议每位同学建立一个“归因档 念混淆，还是没有解题思路？ 案”： (3)学习效率评估：花费的时间是 (1)知识盲区：具体哪个知识点存 否产生了最大价值？是将时间用在了 在漏洞？（如：函数零点问题出错） 攻克薄弱环节，还是仅仅在重复强项？ (2)思维定式：是否受到了以往做 这种即时的自我反问，正是元认知 过的类似题目的误导？ 的体现。它能帮助同学们减少无意义 (3)策略失误：是否因死磕难题导 的重复劳动，将有限的时间、精力集中 致时间分配不当？ 起来，“好钢使在刀刃上”。 这种理性的分析，能将一次不理想 二、建立全局视角 的考试转化为下一次成功的基石。 在高三复习中，不少同学习惯记题 (责任编辑侯若晨) 4 夯基固本 集合与常用逻辑用语、不等式高考一轮复习要点 ■云南省昆明市呈贡区第一中学 陈李艳 集合与常用逻辑用语、不等式是高 2.集合间的基本关系 考的必考内容，既可以独立考查，也能 (1)子集：一般地，对于两个集合 作为重要的数学工具与语言表达工具 A,B,如果集合A中任意一个元素都 融入其他内容，进行综合考查。这两部 是集合B中的元素，就称集合A为集 分内容是整个高中数学知识体系与思 合B的子集，记作A二B(或B2A)。 维方法的基础，贯穿高中数学学习的全 (2)真子集：如果集合A二B,但存 过程，是高考数学一轮复习起步阶段需 在元素x∈B,且x庄A,就称集合A 要夯实的核心内容。 为集合B的真子集，记作AB(或 一、知识结构 B星A)。 通过图1可以明确这两部分的知 (3)相等：若A二B,且B二A,则 识结构与关联。 A-B 集合 相等和 方程 从函数观点 (4)空集的性质：⑦是任何集合的 看 不等关系 方程 一元 用逻 不等式 :次不等式 子集，是任何非空集合的真子集。 辑用语 3.集合的基本运算 图1 集合的基本运算的几种表示方法 二、必记知识 如表2所示。 (一)集合 表2 1.元素与集合 集合的并集 集合的交集 集合的补集 (1)集合中元素的三个特征：确定 若全集为 性、互异性、无序性。 符号 U,则集合 AUB A∩B (2)元素与集合的关系是属于或不 表示 A的补集为 CuA 属于，表示符号分别为∈和在。 (3)集合的三种表示方法：列举法、 图形 表示 描述法、图示法。 AUB (4)常用数集及其记法：如表1所 描述 {x|x∈A, {x|x∈A, {xx∈U, 示。 表示 或x∈B} 且：x∈B} 且x年A} 表1 4.常见结论 名称自然数集正整数集 整数集有理数集实数集 (1)A二B台A∩B=A台AUB= 记法 N N'或N Z Q B。 5 夯基固本 (2)Cv(ANB)=(CA)U(CB), 4.从集合的角度理解充分条件、必 CU(AUB)=(CA)∩(CB)。 要条件与充要条件 (3)若有限集A中有n个元素，则 若条件p,结论q以集合的形式出 A的子集有2”个，真子集有2”一1个， 现，即A={x|(x)},B={x|g(x)},则： 非空子集有2”一1个，非空真子集有2 (1)若A二B,则力是q的充分条 一2个。 件； (4)集合中元素的个数：card(AU (2)若B二A,则力是g的必要条 B)=card A+card B-card(AB). 件； (二)常用逻辑用语 (3)若A=B,则p是q的充要条 1.充分条件、必要条件、充要条件 件； 充分条件、必要条件、充要条件的 (4)若A手B,则p是q的充分不 表示方法如表3所示。 必要条件； 表3 (5)若B三A,则p是q的必要不 力是q的充分不必要条件 p→q且qPp 充分条件； p是g的必要不充分条件 pq且q→p (6)若A车B且A卫B,则饣是q 力是q的充要条件 p台g 的既不充分也不必要条件。 p是q的既不充分也不必要条件 bPq且q为p 5.常见结论 2.全称量词与存在量词 (1)p是q的充分不必要条件，等 （1)全称量词：短语“所有的”“任意 价于一q是力的充分不必要条件。 一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并 (2)含有一个量词的命题的否定规 用符号“H”表示。 律是“一改量词，二否定结论”。 (2)存在量词：短语“存在一个”“至 (3)若判断一个命题的真假有困 少有一个”在逻辑中通常叫作存在量 难，可判断此命题的否定的真假，原命 词，并用符号“了”表示。 题与它的否定的真假性相反。 3.全称量词命题与存在量词命题 (三)不等式 全称量词命题与存在量词命题的 1.比较两个实数大小的方法 表示方法如表4所示。 (1)作差法： 表4 ①a-b>0台a>b。 ②a-b=0台a=b。 名称 全称量词命题 存在量词命题 ③a-b<0台a<b。 结构 对M中的任意 存在M中的 一个x,p(x)成立 元素x,p(x)成立 (2)作商法： 简记 Hx∈M,p(x) 3x∈M,b(.x) 否定 3x∈M,p(x) Hx∈M,p(x) ①分>1a>6,其中a∈R6>0。 夯基固本 ②2=1曰a>b,其中a,b≠0。 ③2<1台a<b,其中a∈R,b>0。 注意，利用基本不等式求最值要满 足三个条件：“一正、二定、三相等”。 2.不等式的性质 (4)常用不等式：a2+b2≥2ab(a, (1)对称性：a>b台b<a。 (2)传递性：a>b,b>c→a>c。 (3)同向可加性：a>b台a+c>b 2 la+6 +c;a>b,c>d→a+c>b+d。 R)11 a≤a+b 2 2 (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc; a b a>b;c<0-ac<bc;a>b>0;c>d> (a>0,b>0)。 0→ac>bd。 4.二次函数、一元二次方程与一元 (5)可乘方性：a>b>0→a”>b” 二次不等式 (n∈N,n≥1)。 元二次函数、一元二次方程与一 (6)可开方性：a>b>0→a>b 元二次不等式存在如表5所示的关系 (当a>0时)。 (n∈N,n≥2)。 表5 3.基本不等式√ab≤a十b 2 △>0 △=0 △<0 (1)基本不等式成立的条件是a> y ax 0,b>0,当且仅当a=b时等号成立。 +bx+c 其中“士叫作正效，b的算数平均 (a>0) 的图像 0x=x2 有两个不 数，√ab叫作正数a,b的几何平均数。 ax?+bz 有两个相 相等的实 等的实数 (2)基本不等式的两种常用变形： 十c=0 数根x 没有实数 (a>0) 根x1=x2 根 6≤中)a,6∈R,当且仅当a I:(II< 的根 = x2) 2a ax2+bz b时等号成立。a+b≥2√ab(a>0,b +c>0 aI<x xx≠ >0),当且仅当a=b时等号成立。 (a>0) 或x>x2} b 的解集 2a (3)利用基本不等式求最值问题： 如果x,y∈(0，十∞)，且xy=P(定 ax'+bx +c<0 rlz<z 值)，那么当x=y时，x十y有最小值 0 0 (a>0) <x2} 2√P。如果x,y∈(0，十∞)，且x十y 的解集 =S(定值)，那么当x=y时，xy有最 (责任编辑 侯若晨)