抓住核心知识，突破利用函数的单调性解不等式问题-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

解信数华新愿押潮酒中学生教理化 高三数学2026年5月 抓住核心知识 突破利用函数的单调性解不等式问题 ■福建省厦门市翔安第一中学 林丽虹 函数作为高中数学的核心知识模块，不 f(4)得f(|x-3|)≥f(14|)。 仅是高考必考内容，更是难点题型。在函数 因为函数f(x)在[0，十∞)上单调递减， 考查中，单调性作为核心考点，在新高考趋势 所以|x一3≤4，解得一1≤x≤7。 下，其应用场景日益凸显，特别是利用函数的 所以不等式f(x一3)≥f(4)的解集为 单调性解不等式的问题，正逐渐成为高考热 [-1,7]。 点题型。本文聚焦于这一热点，系统梳理相 ,点评：本题以已知函数为偶函数且具备 关题型，通过分类突破的方式，深入探究解题 明确单调性为条件，旨在求解关于该函数的 策略与技巧，旨在为同学们提供更清晰的解 不等式。解题时，首先，依据函数的奇偶性， 题思路和方法。 结合已知条件确定其单调性：其次，通过加绝 一、根据函数的单调性与奇偶性求解不 对值操作，将不等式的取值范围统一转换至 等式 区间[0，十∞)，确保函数单调性的一致性；最 此类问题相较于基础题型呈现出更为复 后，根据函数单调性定义，将抽象不等式转化 杂的特征，其核心在于同时涉及奇函数与偶 为具体不等式，并运用具体不等式的求解方 函数的单调性应用，需依据函数性质差异采 法，逐步解出所求不等式的解集。 取不同解题策略。从不等式特征维度进一步 2.半抽象不等式的求解 细分，可划分为全抽象不等式（完全由函数符 这类问题在奇函数情境下尤为复杂，是 号构成)与半抽象不等式（由具体数值与函数 因为其图像变化呈现多维度特征。解题时应 符号构成)两类。 兼顾函数值的符号变化（纵向）与自变量的符 1.全抽象不等式的求解 号变化（横向），二者相互影响且需同步分析。 此类问题通常较为基础，其解题思路与 具体而言，奇函数的对称性导致其图像在原 利用函数的单调性求解不等式题型相似，核 点两侧呈现镜像关系，这使得函数值的正负 心在于先明确函数的单调性，进而借助该性 随自变量符号的改变而动态变化，因此，在解 质将抽象不等式转化为具体不等式。然而， 题过程中只有建立横向（自变量）与纵向（函 由于函数具备奇偶性，其图像在对称轴两侧 数值)的双重符号对应关系，才能准确构建不 往往呈现不同的单调性特征，因此需对左右 等式并求解。 两侧的图像进行分别处理。具体方法是通过 例2已知函数∫(x)是R上的奇函 引入绝对值操作，将问题统一转换至y轴一 数，当x>0时，函数f(x)单调递增，且f(3)》 侧进行考虑，从而简化计算过程，确保解题的 =0,求不等式(x一2)f(x)≤0的解集。 准确性和效率。 解析：因为函数f(x)是R上的奇函数， 例1已知函数f(x)是定义在R上 且在(0，十∞)上单调递增，所以函数f(x)在 的偶函数，当x<0时，函数f(x)单调递增， （一∞，0)上也单调递增。 求不等式f(x-3)≥f(4)的解集。 因为函数f(x)是R上的奇函数，且 解析：已知函数f(x)是定义在R上的 f(3)=0,所以f(一3)=0，f(0)=0,因此当 偶函数，当x<0时，函数f(x)单调递增，所 f(x)≥0时，x∈[-3,0]U[3,+o∞)；当 以函数f(x)在[0，十∞)上单调递减。 f(x)≤0时，x∈(-∞，-3]U[0,3]。 由于函数在上的单调性不一致，则将 x一2≥0， 由(x一2)f(x)0可得《 或 其全部转化为[0，+∞)。由f(x-3)≥ f(x)0 15 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年5月 x-20, 1),变形得f1n(x-1)f1) f(x)≥0。 In(x-1) 19 当-2会0， 又因为g(ln(x-1))= f(ln(x-1)) 时，解得2≤x≤3； ln(x-1), lf(x)≤0 当P-2≤0， g(1)= f(1) 1,所以g(In(x-1)<g1). 时，解得一3≤x≤0。 f(x)≥0 因为函数g(x)在区间(0，+∞)上单调 所以不等式(x一2)f(x)≤0的解集为 递增，所以0<1n(x一1)<1。 [-3,0]U[2,3]。 由ln(x-1)>0=ln1,解得x>2; 点评：本题在已知函数为奇函数且在区 由ln(x-1)<1=lne,解得x<e+1。 间(0，十©∞)上单调递增的条件下，求解关于 故不等式f(ln(x一1))<f(1)·ln(x 该函数的不等式。解题时，首先，借助函数的 1)的解集为(2，e+1)。 单调性，将抽象不等式的解集初步确定；其次， 点评：本题在已知函数定义域及与导函 通过将原不等式转化为不等式组的形式，结合 数相关不等式的条件下，求解不等式问题。 函数的奇偶性（即原，点对称性）及单调性，对不 该题目涉及的知识，点较为丰富，涵盖函数求 等式组进行分区间求解：最后，得出不等式的 导的除法法则、不等式的求解方法、对数运算 完整解集。在本题的解题过程中，极易出现的 规则，以及对数函数及其单调性的应用。解 疏漏是忽略奇函数图像过原，点的关键特性，这 题的关键在于根据给定的不等式关系，巧妙 一疏忽可能导致不等式解集的错误判断。 构造一个新的函数g(x),具体而言，通过分 二、构造函数求解不等式 析xf'(x)一f(x)的结构，依据加减、乘除和 此类题型的核心特征在于运用函数的单 复合函数的求导法则，合理构造出g(x),进 调性解题，而判断函数单调性的关键是通过 而判断g(x)的单调性，最后利用该单调性将 求导，依据导函数的符号变化来明确原函数 抽象不等式转化为具体不等式，并完成不等 的增减趋势。在解关于函数的不等式问题 式的求解。在解答本题时，需重点关注以下 时，若已知条件涉及与导函数相关的不等式， 关键环节：首先，在构造函数阶段，需系统掌握 解题过程中需遵循求导法则，构造一个符合 函数求导的各类法则，深入分析其方法特征与 条件的新函数，进而通过分析该函数的单调 结构规律，确保所构造的函数形式与题目要求 性，将抽象不等式转化为具体不等式，最终完 高度契合；其次，一旦完成函数构造，所有解题 成不等式的求解。 步骤都应紧密围绕该函数展开，保持解题思路 例3设函数f(x)的定义域是(0， 的连贯性；再次，当题目涉及对数函数时，必须 严格审视其定义域，避免因定义域问题导致解 +∞)，f'(x)是函数f(x)的导函数。已知 题偏差；最后，在求解对数不等式时，需灵活运 对任意的x∈(0，十∞)，不等式x'(x)一 用多种解题策略，根据不等式的特点选择最优 f(x)>0恒成立，求不等式f(ln(x一1))< 化方法，从而确保解题过程的高效准确。 f(1)·ln(x一1)的解集。 随着新高考改革深入推进，利用函数的 解析：由题意设函数g(x)=f),x∈ x 单调性求解不等式类问题已成为考试中的高 (0,+∞)，则g'(x)=f'(x)-f(x) 频考点与研究热点。本文立足这一趋势，系 统梳理相关题型。针对每一类题型，文章不 因为xf'(x)-f(x)>0,所以g'(x)= 仅深入剖析其结构特征与命题规律，更结合 xf'(x)一f(x)0,因此函数g(x)在区间 具体案例探究解题策略与技巧，通过方法总 x 结与思维导图构建，帮助同学们掌握解题关 (0,十©∞)上单调递增。 键，实现对此类题型的全面突破与灵活运用。 由不等式f(ln(x-1))<f(1)·ln(x (责任编辑王福华) 16