数列不等式证明中的放缩技巧-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

解数型新题碧捏整滑中学生表理化 数列不等式证明中的放缩技巧 ■江苏省太仓高级中学 赵福余 涉及数列不等式的证明与存在性判断问 题，是巧妙融合数列与不等式等相关知识，实 2(1-是) 所以b1十b,十…十b。 现“在知识交汇处命题”的高考指导精神，一 1-日 直是高考数列压轴题，以及各级各类竞赛试 题、强基试题、自主招生试题中命题的重要素 (1-) 1一 1 14 材与考查方式之一。而数列不等式证明中的 1- 3 放缩法，有放缩的切入点，有放缩的幅度，有 放缩的目标等，对放缩的要求非常高，也是证 明与判断数列不等式的关键所在，同学们要 加以高度重视。本文结合数列不等式证明中 203×4>0,放 因为n∈N,所以是十1 3 的放缩技巧与策略，通过一些典型实例加以 剖析与展示，希望能为同学们的复习备考提 供一些帮助。 ,点评：利用先求和再放缩法处理与证明 一、先求和再放缩 数列不等式时，可通过公式法、错位相减法、 先求和再放缩法，是在处理一些有关数 裂项相消法、分组法及并项法等进行正确求 列求和的不等式时，基于问题场景进行合理 和，再借助函数或不等式的基本性质等知识 的数列求和，借助求和关系式的结构特征，通 来放缩与转化，从而实现数列不等式问题的 过函数或不等式的基本性质等知识加以合理 证明。 放缩与变形。 二、先放缩再求和 例1(2025年辽宁辽阳一模)已知数 先放缩再求和法，是在处理一些有关数 列{an}满足a1十2a2十…+nan=(n一1)· 列求和的不等式时，先通过对数列的通项公 2"+1+2。 式加以放缩处理，以方便下一步的数列求和。 (1)求{an}的通项公式； 放缩的基本依据还是不等式的基本性质及其 (2)设b,=L+1 a十a,证明：6i+6,十十 相关知识的综合应用。 例2(2025年河北邢台一模)已知数 6< 列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an>0,且 解析：(1)由题意知，当n=1时，a1=2; 2Sn+1-a7+1=-2Sn。 当n≥2时，由a1+2a2十…十na,= (1)求数列{a,}的通项公式； (n-1)·2+1十2，可得a1十2a2十…十 (2)若6，=3， ,数列{6，}的前n项和为 (n一1)a,-1=(n一2)·2”+2，两式相减得 nan=(n-1)·2a+1-(n-2)·2"=n·2", T,证明：T,< .5 所以an=2”。 解析：(1)当n=1时，2S2-a号=-2S1→ 而a1=2也适合该式，故a,=2”。 a-2a2-8=0,结合an>0,解得a2=4。 (2)由1D知a.=2,则6.=2+ a 当n≥2时，由2Sm+1一a+1=一2Sn,可 + 得2S,一a=-2S.-1,两式相减得a员-a+i 十2an+2am+1=0→(am-am+1+2)(am十 27 中学生款理化解贺学自瓢鼻型 am+1)=0。又因为数列{an}的各项均为正 列，则2=a=2,即a.=2m,n∈N”。 数，所以am+1=an十2，此时数列{an}是首项 为a2=4,公差为d=2的等差数列，所以 (2)设√n+I为数列{b,}的前n项积Tn。 an=a2十(n-2)×2=2n。 欲证1十1.a:+1,a十1 而a1=2也适合该式，故a,=2n。 an (2)由(1)知a,=2m,则6.=3=3 >+T,只需证+>b,。 an 当n-1时，”号厄-，成立： 3 3 所以T,=b1十b,十…+b.<4+2 当n≥2时，因为b。= T,=n+I,又 Tn-1 n [(3-）+(后-)+…+（2m与 a,+1_2n十1 4n+4n+1> 4n2十4n an 2n 4n 4n n+1√n+I ,所以2+1b. √n an 1.5 2n+1<4。结论得证。 综上可得，，十1 an >bn>0。 点评：利用先放缩再求和法处理与证明 数列不等式时，其所涉及的数列通项公式的 利用不等式的基本性质，可得十1 结构比较复杂，往往不方便直接进行数列求 a+1.a+1.….a,+1>h1·b,.b 和，而需借助数列通项公式的合理放缩变形， an 转化为方便求和的数列。放缩时要注意数列 …·bn=√n十I,数列不等式得证。 通项公式的结构特征与证明目标之间的联 点评：利用对比放缩法处理与证明数列 系，合理确定放缩的幅度。 不等式时，适用于数列不等式的一边或两边 三、对比放缩 具有明显的“相加”或“正数相乘”等形式，通 对比放缩法，是基于两个不同数列，合理 过分拆数列不等式的两边所对应的项，借助 对比这两个不同数列之间的对应项满足相应 递推形式加以逐一对比确定相同的大小关 的大小关系，借助不等式的基本性质，利用 系，合理通过“同向相加”或“正数同向相乘” “同向相加”或“正数同向相乘”等方式加以放 等方式进行放编转化与巧妙应用，从而实现 缩处理，从而实现数列不等式问题的证明。 数列不等式问题的证明。 例3（创新题）设数列{a,}的前n项 其实，基于数列不等式证明中的放缩法 技巧与策略，解题时的关键是充分把握对应 和为Sn,a1=2,且2Sn=(n十1)am,n∈N”。 数列的结构特征，以及所要证明的数列不等 (1)求数列{an}的通项公式； 式的结构形式，分析数列不等式中涉及的是 (2)证明：对任意正整数n,有十1 。 求和关系式还是通项关系式，或是其他的表 a+1.0+1..,+10+。 达形式，回归数列的函数性，结合函数或不等 式的基本性质等知识，巧妙加以放缩法处理 解析：(1)因为2S,=(n十1)am,所以当 与证明。而在放缩时，可以采用先求和再放 n≥2时，有2S,-1=na,-1,两式相减得2an= 缩、先放缩再求和、对比放缩等方法，数列不 等式的证明问题充分融入数列、不等式的基 (n十1)a,一na1,整理得2=a, n n-1. 础知识与思想方法，体现知识的融合与能力 因为-2，所以数列份是一个常值数 的提升，进而全面提升数学关键能力，培养数 学核心素养。 (责任编辑王福华) 28