立足时事热点，构建空间模型-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

情境解构 立足时事热点 ■安徽省霍邱县第一中学 立体几何情境题常常紧扣时代热点 与工程实际，巧妙依托科技工程、舞台文 创、城市建设等真实场景，融入动点参数、 存在性探究、空间角最值与取值范围分析 等考点，注重考查数学建模、逻辑推理与 代数运算等核心素养。下面精选典型例 题，对立体几何情境题进行探析。 情境一：航空航天精密舱体制造 例1天舟货运飞船的部分舱体可 简化为同轴圆柱体结构。在装配作业中， 为保障舱外管线对接、机械臂焊接作业精 度，技术人员需以舱体底面圆心为基准建 立空间坐标系，精准核算不同高度、不同 方位作业点的空间位置关系。已知该舱 体底面半径r=2m,舱体高度h=8m。 以下底面圆心O为原点，底面所在平面 为Oxy平面，圆柱轴所在 直线为之轴，建立如图1所 示的空间直角坐标系。设 舱体侧面存在可环绕滑动 的动态焊接点P(2cos0, 2sin0,4),0∈[0,2π)，舱体 图1 表面有两固定管线对接接 口A(2,0,0),B(0,2,8)。 (1)是否存在角度0，使得平面 PAB⊥底面Oxy?若存在，求出一个 符合条件的0；若不存在，请说明理由。 (2)求异面直线OP与AB所成角 40 构建空间模型 王忠鑫余其权（特级教师） 的取值范围。 解析：(1)底面Oxy的法向量可取 n=(0,0,1)。由题意得，PA=(2 2cos0,-2sin0,-4),PB=(-2cos0, 2-2sin0,4)。若平面PAB⊥底面 Oxy,则平面PAB的法向量与n垂 直，即法向量的x分量为0。 取0=0，此时动点P(2,0,4),PA =(0,0,-4),PB=(-2,2,4)。设平 面PAB的法向量m=(x,y,之)，则 -4z=0, 取x=1,则m= -2x+2y+4z=0, (1,1,0),满足m·n=0,即平面PAB⊥ 底面Oxy成立。 故存在满足条件的0，可取0=0。 (2)OP =(2cos 0,2sin 0,4),AB =(-2,2,8),故1OP1= √4cos0+4sin0+16=2√5，|AB|= √/4+4+64=6√2，OP·AB=-4cos0十 4sin0+32=4,2sin(0-T)+32。 设异面直线OP与AB所成角为 a0<a≤2），则cosa= IOP.ABI IOPIABI 4Esm(0-f)+32 12√10 由0∈[0,2m),得0-平∈ [至》则sm0-)∈[-1,1 故OP·AB∈[32-4√2,32+4√2]。 32-4√232+4√2 故cosa∈ 12√/10 12√/10 即异面直线OP与AB所成角的取值 范围为 4√10-√5410+5 15 15 情境思维总结：解决航天圆柱类问 题的核心是利用圆柱旋转对称性设参， 将工程角度调控、平面校验问题转化为 含参向量与三角函数最值问题。 情境二：春晚智能机器人集群联动 展演 例2春晚智能机器人集群展演 过程中，机器人依靠内置三维空间算法 实现机械臂精准伸缩、定点对位、角度 调控，为保证舞台动作整齐统一、对位 精准，控制系统需实时求解机械臂端点 的空间角度。以单台 机器人的机身中心为 坐标原点O,与底座平 行的平面为Oxy平面， 建立如图2所示的空 间直角坐标系。机器 图2 人双臂固定基准点位 为A(2,0,1),B(0,2,1),机械臂末端 可自由调控的动态执行端点为P(m, m,2),m∈R为系统实时调控参数。 (1)是否存在实数m,使得OP山 平面OAB？若存在，求m;若不存在， 请说明理由。 (2)求直线AP与平面Oxy所成 情境解构 角的正弦值的最大值 (3)若AP⊥BP,求调控参数m的值。 解析：(1)OA=(2,0,1),OB=(0, 2,1),OP=(m,m,2)。若OP⊥平面 OP.OA=2m+2=0, OAB,则 10P.0B=2m+2=0, 解得 m=-1。 当m=-1时，OP⊥OA,OP⊥ OB,OA∩OB=O,OAC平面OAB, OBC平面OAB,故OP⊥平面OAB。 综上，存在实数m=一1，使得OP ⊥平面OAB。 (2)AP=(m-2,m,1),平面Oxy 的法向量可取n=(0,0,1)。设直线 AP与平面Oxy所成角为B,则sinB= |AP·nl 1 APIn √/(m-2)2+m2+1 1 √2m2-4m+5 令二次函数f(m)=2m2-4m十5 =2(m一1)2十3，则当m=1时， f(m)m=3。因此sinP= 3,即直 线AP与平面Oxy所成角的正弦值的 凝大的为识 (3)AP=(m-2,m,1),BP= (m,m-2,1)。由AP⊥BP,得AP· BP=0。故m(m-2)+m(m-2)+1 =0,整理得2m2一4m+1=0,解得m 情境思维总结：机器人动态题型以 41 情境解构 机械臂动态运动为载体，考查含参动态 分析、二次函数最值、垂直关系探究，是 科技情境几何题的经典题型。 情境三：春晚科技舞台结构设计 例3春晚科技舞台采用正四棱 锥立体造型，灯光、音响设备沿棱锥的 侧棱安装，为保障光影投射均匀与设备 安全，舞美团队需测算侧棱上不同吊装 点位所对应的舞台体积、光影二面角及 安装面垂直关系。已知该正四棱锥舞 台P-ABCD,底面边长4m,舞台垂直 高度PO=3m,O为底面正方形的中 心，侧棱PC上设置动态设备吊装点 E,满足PE-λPC,A∈(0,1)。 (1)求平面EAB与底面ABCD所 成角的余弦值的取值范围。 (2)是否存在入∈(0,1)，使得 AE⊥平面PBC？请说明理由。 解析：(1)建立 如图3所示的空间 直角坐标系，则 A(2,-2,0), B(2,2,0),C(-2, 2,0),P(0,0,3)。 图3 由PE=APC= (一2入，2入，一3入)，得动点E的坐标 (一2λ，2λ，3一3λ)。底面ABCD的法 向量可取n1=(0,0,1),AB=(0,4, 0),AE=(-2λ-2,2入+2,3-3x)。 设平面EAB的法向量n2=(x, y,z),则n2·AB=4y=0,n2·AE= (-2λ-2)x+(2λ+2)y+(3-3λ)z= 0,取x=3-3入，则n2=(3-3λ，0， 42 2入+2)。 设平面EAB与底面ABCD所成 n1·n2 角为y,则cosy= Inn2 2(λ+1) √9(1-λ)+4（入+1）7 令t=入+1，t∈(1,2)，则f(t)= 2t 2t W/9(2-t)2+4t2 √/13t2-36t+36 2 二。 3636 令u=}∈份小： +13 则g(u)=36w2-36u+13在(2,1)上 单调递增，g(u)∈(4,13)。 故f(t)∈ 小即平面 2W13 EAB与底面ABCD所成角的余弦值 的乘预范回为酒小 (2)PB=(2,2,-3),PC=(-2, 2,一3)。设平面PBC的法向量m= 2a+2b-3c=0, (a,b,c),则 取a= -2a+2b-3c=0, 0,则m=(0,3,2)。 AE=(-2λ-2,2λ+2,3-3入)， 若AE⊥平面PBC,则AE∥m,即两向 量的对应坐标成比例。 验证比例关系发现无实数解，故不 存在满足条件的入。 情境思维总结：舞台设计题型聚焦 参数动态变化下角度的取值范围和垂 直问题，将舞台结构设计与立体几何考 点深度融合。 情境四：智慧城市蜂窝网格建设 例4智慧城市建设中，城区5G 信号基站、智能安防终端均采用行业标 准正六边形蜂窝网格布局，多层设备支 架形成规整的正六棱柱立体阵列。运 维人员需根据支架上不同设备点位，测 算信号传输夹角、覆盖高度与辐射范 围，实现全城信号无死角覆盖。将该组 网结构抽象为正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1,底面蜂窝网格边长 2m,设备支架架设高度3m,底面网格 中心为原点O。设支架A1D1上有可 灵活安装的动态设备点位G,满足 A1G=uA1D1,∈[0,1]。求异面直 线AG与B,C所成角的余弦值的取值 范围。 解析：建立如图4所 示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0),A1(2,0,3), B11,√3,3)，C(-1, √5,0)，D1(-2,0,3)。 由A1G=uA1D1= 图4 (-4,0,0),得动点G(2-4,0,3)。 AG=(-44,0,3),B1C=(-2,0,-3)。 设异面直线AG与B,C所成角为 IAG·B1C 0,则c0s0= JAGIB CI |8μ-9 9-8u W16+9·√13√16u2+9.√13 令t=4,t∈[0,4]，则cos0= 9-2t √2+9·√13 情境解构 4 令t=3tana,a∈ 0,arctan 3 则92t 9-6tan a =3cos a- W2+9 √J9tan2a+9 2sina=√J13sin(β-a),其中sinB= 13,cos 8= 3 2 3 -后8=aretan ∈ (0,2）.故cos0=sin(g-a). 令y=aretan3∈(o,),则B> Y,a∈[0，Y],3-a∈[β-Y,3],[B-Y, ]c(o,） 又正弦函数在(0，)上单调递增， 故sin(3-a)mn=sin（β-Y)= √13 sin Bcos Y-cos Bsin y= 65,sin (B- a)mux=sin B=313 13 综上，异面直线AG与B,C所成角 的余弦值的取值范围为 √133√/13 6513 情境思维总结：智慧城市网格题型 以正六棱柱结构为载体，重点考查角度 的动态范围问题。 针对立体几何情境题，同学们应重 点训练真实情境的几何模型抽象能力、 含参动态问题的分析与转化能力、几何 关系与函数思想的综合运用能力，熟练 掌握取值范围、最值、存在性三类重点 题型的解题方法，实现能力进阶。 (责任编辑赵倩) 43