真题溯源，深度剖析——探究空间向量的命题思路-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

命题研究 真题湖源 深度剖桥 一探究空间向量的命题思路 ■南召县第一高级中学 崔丽力 ■苏州高新区第一中学 陈立争（正高级教师） 空间向量是高中数学立体几何的 一章1.4中频考点（填空题或解答题）。 核心工具，它将三维空间的几何关系转 空间向量的实际应用（情境建模、 化为代数运算，实现了“几何问题代数 热点融合)，第一章章末小结低频考点 化”，是高二立体几何模块的重点内容， (创新题)。 也是高考的必考考点。当前随着人工 二、高考真题举例与深度分析 智能技术在教育领域的深度应用，AI 命题点1线面的平行与垂直 为高中数学命题也带来了新的挑战。 例1(2025年全国I卷第9题) (多选题)在正三棱柱ABC-A,B,C 下面从高考真题溯源出发，结合教材出 中，D为BC的中点，则( )。 处，从命题角度、难度层次、题型设计到 A.AD⊥A1C 社会热点融合，在全面剖析空间向量命 B.B1C1⊥平面AA1D 题的内在逻辑的基础上，进一步探究 C.AD∥A1B A】技术如何赋能空间向量的命题创新 D.CC1∥平面AA1D 与学情诊断，也帮助同学们理解数学知 解析：如图1， 识的实际应用价值。 建立空间直角坐 一、高考真题溯源：核心考点与教 标系。设该正三 材出处 棱柱的底边为2， 核心考查知识点与教材对应（以人 C 高为h,则D(0, .....:D B市 教A版《数学选择性必修第一册》为例)： 0,0),A(3,0, 用空间向量证明线线、线面、面面 图1 0),A1(3,0,h), 平行或垂直，第一章1.4高频考点（解 C(0,-1,0),C1(0,-1,h),B(0,1, 答题第1问)。 0),B1(0,1,h)。 用空间向量求异面直线的夹角、线 面角、二面角，第一章1.4高频考点（解 对于选项A,AD=(一√5,0,0)， 答题第2问)。 A1C=(-√3，-1，-h),则AD·A1C 用空间向量求点到平面的距离，第 =(一√3)×（一√3）十0=3≠0，故 35 命题研究 AD⊥A,C不成立，A错误。 (1)证明： 对于选项B、D,BC=(0,-2,0), 平面PAB⊥ CC=(0,0,h),AA=(0,0,h),AD= 平面PAD。 (2)设PA (-3,0,0)。 = 可设平面AA,D的法向量n= AB=√2， BC-2,AD- AA1·n=hz=0, 图2 (x,y,之)，则 可 1+3,且点 AD·n=-√3x=0。 P,B,C,D均在球O的球面上。 得x=之=0。 (i)证明：点O在平面ABCD内； 令y=1,则n=(0,1,0)。所以 (ii)求直线AC与直线PO所成角 BC=(0,-2,0)=-2n,CC1·n=0, 的余弦值。 即BC⊥平面AA,D,CC1∥平面 解析：(1)证明过程略。 AA,D,故B、D正确。 (2)(i) 对于选项C,AD=(一√3,0,0)， 由题意知 AB=(-5,1,0),则5≠0」 PA, AB, -√3 ，显 AD两两垂 然AD∥A1B1不成立，C错误。 直，以A为 故选BD。 坐标原点，以 溯源小结：证明平行与垂直的常用 AB, AD, 图3 方法有几何法和坐标法。本题中平行、 AP所在直 垂直的证明也可以通过观察图形灵活 线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直 选择几何法或举反例法，把握数学问题 角坐标系，如图3所示。 的本质，优化解题过程。在解决过程中 因为PA=AB=√2，BC=2,AD 用到线面平行的判定定理、线面平行的 性质定理进行条件分析，解题的关键是 =1+3,所以A(0,0,0),B(√2,0， 梳理图形中的位置关系。本题源于人 0),C(2,2,0),D(0,1+3,0),P(0, 教A版《数学必修第二册》第143页练 0,√2)。 习第4题，第163页第10题，第171页 因为点P,B,C,D均在球O的球 第16题。 面上，所以OP=OB=OC=OD。 命题点2异面直线所成角 设O(x,y,z),则： 例2(2025年全国I卷第17题)如 x2+y+(x-√2)=(x-2)+y2+x2, 图2，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 (x-2)2+(y-2)2+22=2+[y-(5+1)]+2, ABCD,AB⊥AD,BC∥AD。 (x-√2)2+y2+x2=(x-√2)2+(y-2)2+x2。 36 命题研究 解得 x=之=0， 形，∠ADC= y=1。 90°，∠BAC 点O(0,1,0),故点O在平面AB =90°，E为 CD上。 BC的中点。 (ii)由(i)知，AC=(2,2,0),PO (1)若 D =(0,1,一√2)。设直线AC与直线 F,G分别为 PD,PE的中 1AC·PO 图4 PO所成角为0，则cos0= IACIIPOI 点，求证：FG ∥平面PAB; 3。 (2)若PA⊥平面ABCD,PA= AC,求直线AB与平面PCD所成角的 故直线AC与直线PO所成角的 正弦值。 余被值为停 解析：(1)证明过程略。 (2)已知PA⊥平面ABCD,以A 溯源小结：异面直线所成角问题在 为原点，以AC,AB,AP所在直线分别 高考考查中相对较少，通常套用空间向 为x轴，y轴，之轴，建立如图5所示的 量夹角公式就可以轻松解决。本题值 空间直角坐 得注意的是外接球问题首次在高考中 标系。设 以解答题的形式出现，并且给出了坐标 AD=CD= 法的参考答案，这不得不促使我们思 2,则A(0, 考：在具有天然垂直关系的题目中，我 0,0),B(0,D 们可以考虑普适性更强的坐标法，其操 22,0), 作过程思路直观，逻辑严谨，结果精准， C(22,0, 图5 一步到位，且不需额外的辅助线，再次 0),D(2, 印证了向量是立体几何的核心工具，同 -√2,0)，P(0,0,2√2)。 学们也更容易理解和运用。本题源于 AB=(0,22,0),DC=(√2，√2， 人教A版《数学选择性必修第一册》第 0),CP=(-22,0,2√2)。 33页练习第3题。 不妨设平面PCD的法向量n= 命题点3线面角问题 DC·n=0, （x,y,之)，则 即 例3(2025年高考北京卷第17 CP。n=0, 题)如图4，在四棱锥P-ABCD中， W2x+√2y=0, △ADC与△BAC均为等腰直角三角 -2√2x+2√2z=0。 37 命题研究 取x=1,则y=一1，之=1，故n= 入1，入2，入3，使得11OP+入2OP2+ (1,-1,1)。 入OP=0,不妨设入1≠0，则OP= 设AB与平面PCD所成角为0， AB·nl 经之0证-0丽，放这三个向量 则sin0=|cos(AB,n)| |AB·|n OP,OP2,OP共面，即这三个向量不 =10×1+2W2×(-1)+0×11√3 能构成空间的一个基底。P(1,0,0)∈ 2√2×12+(-1)2+1 3 2,Q:(i=1,2,3,4)∈2，M(0,0,1) 则AB与平面PCD所成角的正弦 2的充分条件是寻找OP,OM,OQ,(i 曲为 =1,2,3,4)能作为空间的一个基底的 Q点。由题意画出图6。 溯源小结：求解线面角的常见方法 对于选项 有坐标法和几何法，应用坐标法的关键 A,观察图形， 是平面法向量的坐标表示，应用几何法 OP,OM,OQ1不 的关键是点面距的求解。本题用空间 能作为空间的一 向量法，能有效避免空间想象不足带来 个基底，因此 的不便，尤其适合复杂几何体的线面角 M(0,0,1)∈2， 计算，可以很好地降低思维难度，且步骤 与题意M(0,0, 标准化、通用性强。本题源于人教A版 1)庄2矛盾，故 图6 《数学必修第二册》第171页第13题。 A错误。 命题点4情境、热点等创新问题 对于选项B,观察图形，OP,OM, 例4(2024年高考上海卷第15 OQ2不能作为空间的一个基底，因此 题)定义一个集合2，集合中的元素是 M(0,0,1)∈2，与题意M(0,0,1)庄2 空间内的点集，任取P1,P2,P3∈2， 矛盾，故B错误。 存在不全为0的实数入1，入2，入3，使得 对于选项C,观察图形，OP,OM, A1OP1+λ2OP2+λ3OP3=0。已知(1， OQ3可以作为空间的一个基底，符合 0,0)∈2，则(0,0,1)庄2的充分条件 M(0,0,1)2,故C正确。 是( ）。 对于选项D,观察图形，OP,OM, A.(0,0,0)∈2 OQ,不能作为空间的一个基底，因此 B.(-1,0,0)∈2 M(0,0,1)∈2，与题意M(0,0,1)在2 C.(0,1,0)∈2 矛盾，故D错误。 D.(0,0,-1)∈2 故选C。 解析：已知存在不全为0的实数 溯源小结：本题是以集合为背景的 38 命题研究 立体几何问题，考查转化与化归的关键 建筑、航天、智能制造)，将实际问题抽 能力。本题在解决过程中用到了元素 象为空间向量模型，考查建模能力，难 与集合的关系、向量共面定理应用、充 度较高，是源于教材章末的实际应用 分条件概念等知识进行条件分析；应用 问题。 数学作图技能作出正方体直观图，并建 四、命题评析与启示 立空间直角坐标系，将向量等式问题转 高二空间向量单元的命题设计，立 化为共面向量与空间基底问题，使抽象 足学段定位与学科核心素养要求，命制 思维和形象思维结合，使复杂问题简单 过程兼具基础性、衔接性与导向性的评 化、抽象问题具体化；运用数形结合的 价体系，同时考虑当前教育数字化的转 方法寻找OP,OM,0Q,(i=1,2,3,4) 型趋势，探索人工智能技术对命题全流 能作为空间的一个基底的Q点，达到 程的辅助作用。因此同学们需要做到： 优化解题的目的。 立足教材核心知识，掌握基础概念与基 解决创新的立体几何问题，要注意 本方法；分层突破，基础题巩固知识，中 挖掘问题考查的本质。本题源于人教 档题提升能力，难题拓展思维；聚焦向 A版《数学选择性必修第一册》第5页 量的工具性本质，强化“几何问题代数 例1，第12页练习第1题，第15页第2 化”的转化能力，兼顾基础与能力的平 题，第23页第9题。 衡；适度对接高考方向，在高二阶段渗 三、高考空间向量的命题规律总结 透规范解题范式，这样可以较好地与高 1.基础运算类：考查空间向量的线 三复习衔接；培养实际情境（如建筑、航 性运算、数量积、坐标运算，多以选择 天、智能制造)题的解决能力，感受数学 题、填空题的形式出现，难度较低，是源 的实用性，提升建模能力。 于教材的基础内容。 总之，高二阶段的空间向量命题以 2.位置关系类：以几何体为载体， 教材为基础，衔接高考规律，结合社会 用向量证明线线、线面、面面的平行或 热点，分层递进，既考查同学们的基础 垂直，多为解答题第1问，难度中等，是 知识和运算能力，又培养同学们的空间 源于教材的基础应用。 想象能力和建模能力，让大家真正感受 3.角度计算类：求异面直线夹角、 到“数学有用、数学能用”，为高考奠定 线面角、二面角，是解答题的核心考点， 坚实的基础。 难度中等，是源于教材的重点内容。 注：本文系河南省教育科学“十五 4.距离计算类：求点到平面的距 五”规划2026年度一般课题“AI赋能 离，多以填空题或解答题第3问形式出 高中数学个性化教学策略研究” 现，难度中等，是源于教材的拓展内容。 (2026YB1310)的研究成果。 5.创新应用类：结合社会热点（如 (责任编辑徐利杰) 39