“空间向量与立体几何”易错点练习&检测题-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

学以致用 空间向量与立体厂 ■华中师范大学苏州实马 1.（多选题)已知正方体ABCD A1B,C1D1的棱长为3，E,F,G分别 为棱BB,,DD1,CC1上的点，且BE= BB,DF=专DDCG=号CC若 1 点P为正方体内部（含边界）点，满足： AP=入AE+AF,入，4为实数，则下列 说法正确的是( )。 A.点P的轨迹为菱形AEGF及 其内部 B.当λ=1时，点P的轨迹长度为√J10 C.|A,P|的最小值为 9√10 10 1 D.当u=2时，直线AP与平面 ABCD所成角的正弦 色的架大位为园 2.如图1，已知 △PAB是圆锥PO的轴 截面，PA=3,AB=2。 (1)求圆锥PO的 图1 外接球的表面积； (2)若C为弧AB的中点，求二面 角C-PA-B的正切值。 3.如图2，在四棱锥S-ABCD中， 底面四边形ABCD是直角梯形， 30 1何”易错点练习 验高级中学 张凤卿 ∠CDA=90°，点S 在平面ABCD上 的投影为线段AD 的中点O,AD= 2S0-2BC =2CD 图2 =4,E,F分别是线段SA,SB的中点。 (1)求证：EF∥平面SOC; (2)求直线CE与平面SAB所成 角的正弦值： (3)求点D到平面SAB的距离。 4.如图3，已知四棱 台ABCD-A1B1C1D1的 上、下底面分别是边长为 2和4的正方形，平面 AA,D1D⊥平面ABCD, 图3 A1A=D1D=√17，点P 是棱DD1的中点，点Q在棱BC上。若 二面角PQDC的正弦值为 5√26 26 BQ的长。 参考答案 I't AF(E) $入() 知(1)E 乙AE() 8 S()QVI (责任编辑赵倩) 学以致用 空间向量与立体几何检测题 ■湖北省老河口市第一中学 秦孔正 ■湖北省襄阳市第三中学 秦正辉 一、单选题（本题共8小题，每小题( 5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设直线l的方向向量为a,两个 不同的平面a,B的法向量分别为n, ,则下列说法中错误的是()。 A.若n⊥m,则a⊥3 图1 B.若n∥m,则a∥3 A.、1 >b+c C.若a∥n,则l⊥a D.若a⊥n,则l∥a B-11 2a-2b+c 2.已知{a,b,c}是空间的一个基 1 底，{a+b,a一b,c}是空间的另一个基 C 6+c 底，向量p在基底{a,b,c}下的坐标为 1 (4,2,3),则向量p在基底{a十b,a一 D.2a+2b+c b,c}下的坐标是( )。 4.如图2，正 A.(4,0,3) B.(3,1,3) 方形ABCD与矩 C.(1,2,3) D.(2,1,3) 形ACEF所在平 3.如图1，在平行六面体ABCD 面互相垂直，AB= A1B,C1D1中，M为AC与BD的交 √2，AF=1,点M 图2 点，若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c, 在EF上，且AM∥ 则下列向量中与B,M相等的向量是 平面BDE,则点M的坐标为()。 31 学以致用 A.(1,1,1) 5.已知正四面体O-ABC的棱长 为1，若点P满足0币-0A+O店 +元，则1Op1=( B.6 3 cM D.3 4 4 6.如图3， 二面角&l-3的 平面角等于 120°，A,B是棱 l上两点，BD, 图3 AC分别在半平面a,3内，AC⊥l, BD⊥1，且AB=BD=2,AC=4,则 CD的长等于( )。 A.4 B.4√2 C.6 D.6√2 7.如图4，正方体的 棱长为1，E,F,M,N 分别为棱AD,AB,DC, BC的中点，则平面 A,EF与平面B,NMD 图4 间的距离为( 4.22 3 i n 32 8.如图5，在四棱 锥P-ABCD中，底面 是边长为2的正方形， △PAD是以AD为斜 图5 边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD, 点E是线段PD上的动点（不含端点）， 若线段AB上存在点F(不含端点)，使 得异面直线PA与EF所成角为30°，则 线段PE长度的取值范围是( )。 Ao.9】 c() 二、多选题（本题共3小题，每小题 6分，共18分。在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分) 9.已知四棱台ABCD-A1B1C1D 的上、下底面均为正方形，AA1⊥底面 ABCD,AA-号，AB=2AB,-E, E是底面ABCD的中心，以A为坐标 原点，AB,AD, AA1所在直线分 别为x轴，y轴，之 轴，建立如图6所 示的空间直角坐 图6 标系，则下列说法正确的是( )。 A点D,的坐标为，》 B.1D正1= 2 C.平面BB,C1C的一个法向量为 (1,0,√3) D.点D1到平面BB,C1C的距离 为号 10.如图7，在正四 棱柱ABCD-A,B,C1D1 中，AA1=2AB=2,P是 正四棱柱ABCD- AB,C1D1内一点（含表 图7 面)，且AP=aAA1+ bAB十cAD,则下列结论正确的是()。 A.若a=26=1c=2则点P 1 在平面A1BC1内 拉若a名6=6则8P山 7 平面A1BC1 C.若a+b-c=1,则AP∥平面 ABC D.若a十b一c=0,则点P到平面 A,BC1的距离为定值 11.在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，AB=2,AD=4,PA⊥ 平面ABCD,PA=2,点M是棱PB的 中点，点V在线段PC上（不包括端 点)，则下列结论正确的是()。 A.存在点N,使得DN⊥平面 PAC B.当VN为PC的中点时，直线 AN与直线CM所成角的正弦值为 √33 9 学以致用 C.四棱锥P-ABCD的外接球的 表面积为24元 D.DN+MN的最小值为 √15+√6 3 三、填空题（本题共3小题，每小题 5分，共15分) 12.已知a=(1,0,1),b=（-2, -1,1),c=(3,1,0),则(a+b)·c等 于 13.已知空间三点A(3,0,一1)， B(2,1,-1),C(1,1,一2)，则点A到 直线BC的距离为。 14.如图8，在 四棱锥P-ABCD 中，已知PA⊥平面 ABCD,∠BAD= 90°，PA=AB= BC= 5AD=2, 图8 BC∥AD,Q是四边形ABCD内部一 点（包括边界），且二面角Q-PD-A的 平面角为，则△ADQ面积的最大值 是 四、解答题（本题共5小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题13分)如图9，在平面 四边形ABCD中，∠A=∠C=,AB =4,AD=3,CD=5,将△ABD沿着 BD折叠到△PBD,使得PC=2。 33 学以致用 图9 (I)求点P到平面BCD的距离； (2)求异面直线PD与BC所成角 的正弦值。 16.(本小题15 分)如图10，在多面 体ABCGFE中，底 面BCFE为矩形， 图10 且AE⊥底面 BCFE,AG//EF,AG=AE BE= 2EF-2,BFNCE=0. (1)证明：AO∥平面GCF; (2)求直线FG与平面ABO所成 角的正弦值。 17.(本小题15 分)如图11，在四棱 锥P-ABCD中，底 面ABCD为正方形， PA⊥底面ABCD, 图11 PA=AB=2,E为线段PB的中点，F 为线段BD上的动点。 (1)证明：平面AEF⊥平面PBC。 (2)设点G是线段PC上的一点， 且满足PG=2GC,在线段BD上是否 存在点F,使得A,E,G,F四点共面？ 若存在，试确定点F的位置；若不存 在，请说明理由。 18.(本小题17分)在空间直角坐 34 标系Oxyz中，已知向量u=(a,b,c), 点Po(xoyo,之o)。若直线1以u为方 向向量且经过点P。,则直线的标准 方程可表示为一x0=y一y0=之一0 b (abc≠0)；若平面a以u为法向量且经 过点P。,则平面α的点法式方程可表 示为a(x-xo)+b(y-yo)+c(之- 之0)=0。 (1)已知点P(0,3,一1)，向量u= (2,一1,1)，求过点P且以u为法向量 的平面方程； (2)已知平面a1的方程为3x一5y 十之一7=0，直线11是两平面x一3y 7=0与4y+2z+1=0的交线，求直线 11与平面a1所成角的正弦值； (3)若平面a2的方程为x+2y十之 十1=0，平面3与平面a2的交线l2的 标准方程为--子，且半面日 与平面：的夹角的余弦值为，求平 面阝的点法式方程。 19.(本小题17分)在平面四边形 ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC =30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC 翻折至△ACP,其中P为动点。 (1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC 的各个顶点都在球O的球面上。 (i)证明：平面PAC⊥平面ABC; (ii)求球O的半径。 (2)求二面角A-CP-B的余弦值 的最小值。 (责任编辑赵倩)参考答案 “空间向量与立体儿何”检测题参考答案 一、单选题 外接球与以AD,AB,AP为长，宽，高 1.D2.B3.A4.B5.C6.B 的长方体的外接球相同，所以四棱锥 7.B8.B P-ABCD的外接球的半径为 二、多选题 √AB2+AD2+AP 9.AC 10.ABD =√6，表面积为 11.BC提示： 4π（√6）2=24π，故C正确。 以A为坐标原点， 如图2，将平面PBC 建立如图1所示的 与平面PCD展开，则DN 空间直角坐标系。 +MN的最小值为DM, 图1 则P(0,0,2),C(2, 此时N为DM与PC的 4,0),D(0,4,0),M(1,0,1)。设PV 交点。PB=√AP十AB 图2 =λPC=(2λ，4λ，-2入)，0<入<1，则 =22,PD=AD2+AP2=25,PC N(2入，4,2-2入)。 DN=(2λ，4入-4,2-2)，AP= =√AP十AC=2√6。设∠DPC= (0,0,2)。若DN⊥平面PAC,则 a,∠BPC=B,由余弦定理可得cosa DN⊥AP,即D·AP=4-4λ=0， _PD:+PC-CD30 解得λ=1。因为点N在线段PC上 2PD·PC 6,COs B= (不包括端点)，所以不存在点N,使得 PB2+PC2-BC2√3 6 DN⊥平面PAC,故A错误。 2PB·PC ,则sina= 61 当N为PC的中点时，N(1,2, 1),AV=(1,2,1),CM=(-1,-4, sin 3,故cos(a+B)=cos&os月 1),则|cos(AN,C7)1=1AN·Ci ANICM -sin asin=√io-2 6。因此DM2= 43 PM2+PD2-2PM·PD·cos(a+B) g,所以sin〈AN,C7)= 46+4√10 因为 5+6)2 3 3 V1-ICOs(AN,CM)=33 ,即直线 7+2√10,46+410 ，所以DN+ AN与直线CM所成角的正弦值为 3 3 √33 9 ,故B正确。 MN的最小值不是5+ 3 6,故D错 由题意可得，四棱锥P-ABCD的 误。 44 参考答案 三、填空题 CD。又因为CD⊥BC,BC∩PC=C, 12.-413.5 BCC平面PBC,PCC平面PBC,所以 CD⊥平面PBC。由VpKD=VD-PBC,得 14.4提示：以 A为坐标原点，建立 吉XIXSow君XCDXSax 如图3所示的空间直 因为PB⊥CD,PB⊥PD,CDC 角坐标系。则B(0, 平面PCD,PDC平面PCD,CD∩PD 2,0),D(4,0,0), =D,所以PB⊥平面PCD。又PCC P(0,0,2),所以AB 图3 平面PCD,则PB⊥PC,所以S△PBC= =(0,2,0),DP=(-4,0,2)。因为Q 专PB·PC=4 是四边形ABCD内部一点（包括边 由勾股定理得BD=5,BC=2√5， 界)，二面角QPD-A的平面角为3， 则S△xD= BCCD=5,故g×d× 2 所以Q的轨迹是过点D的一条线段。 延长DQ交AB于点G,设G(0,b,0), 5= 3X5×4,解得d=4 所以点 b>0,则DG=(-4,b,0)。 易知平面PAD的法向量可取m= P到平面BCD的距离 4v6 5。 AB=(0,2,0)。设平面PDG的法向 (2)由(1)知，CD⊥平面PBC, 量n=(x,y,之)， 则 PB⊥PC。故以点P为坐标原点，PC, 1DP·n=-4x+2z=0, 取x=1,则 PB所在直线分别为x轴，y轴，过点P DG·n=-4x+by=0。 且平行于CD的直 n=(1,分2：所以1csmn1 m·n 线为之轴，建立如 m nl 图4所示的空间直 8 角坐标系。则 b 2,解得6=4⑤ >2= B(0,4,0),C(2,0, 图4 16 5 2× /5+ 0),D(2,0,√5)，PD AB,所以当点Q在线段BC上时，△ADQ =(2,0,5),BC=(2,-4,0)。 设异面直线PD与BC所成角为 的面积最大，最大值为2×4×2=4。 1PD·BC 四、解答题 0e(o,,则cos0 IPDIBC 15.(1)设点P到平面BCD的距离 25 √205 为d。因为PC2+CD=PD2,所以PC⊥ 15 ,可得sin0=√1-cos0= 15 45 参考答案 所以异面直线PD与BC所成角的正 45O所成角的正弦值为2， 孩值为 17.(1)因为底面ABCD为正方形， 16.(1)取CF的中点H,连接OH, 所以BC⊥AB。因为PA⊥底面ABCD, GH。因为四边形BCFE是矩形，所以 BCC底面ABCD,所以PA⊥BC。因为 OH∥BC且OH= 5C.因为AG/EF AB∩PA=A,ABC平面PAB,PAC平 面PAB,所以BC⊥平面PAB。又AEC 且AG=EF,EF/BC且EF=BC,所以 平面PAB,所以BC⊥AE。 在△PAB中，AB=PA,E为PB AG/BC且AG=2BC。故AG/OH且 的中点，所以AE⊥PB。又BC∩PB AG=OH,即四边形AOHG是平行四边 =B,BCC平面PBC,PBC平面 形，则AO∥HG。因为AO在平面GCF, PBC,所以AE⊥平面PBC。又AEC HGC平面GCF,所以AO/平面GCF。 平面AEF,故平面AEF⊥平面PBC。 (2)因为AE⊥底面BCFE,EBC (2)以A为坐标 平面BCFE,EFC平面BCFE,所以 原点，AB,AD,AP所 AE⊥EB,AE⊥EF。又EB⊥EF,故 在直线分别为x轴，y 以E为坐标原点，EB,EF,EA所在直 轴，之轴，建立如图6 线分别为x轴，y 所示的空间直角坐标 图6 轴，之轴，建立如图 系。则P(0,0,2), 5所示的空间直角 B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,0, 坐标系。则A(0, 1),故AB=(2,0,0),BD=(-2,2,0), 0,2),B(2,0,0), 图5 AE=(1,0,1),PC=(2,2,-2)。 F(0,4,0),G(0,2,2),O(1,2,0),故 因为G=2GC.所以P元=号元 AB=(2,0,-2),AO=(1,2,-2),FG =(0,-2,2)。 (,-)得c)则 设平面ABO的法向量m=(a,b,c), AB·m=2a-2c=0, Ad店=信有》.设B时=Ai.Ae 则 取a=2,则 A0·m=a+2b-2c=0, [0,1],AF=AB+BF=AB+ABD m=(2,1,2)。设直线FG与平面ABO =(2-2λ，2λ，0)。 所成角为0，则sin0=|cos(m,FG)|= 若A,E,G,F四点共面，则存在 lm·FG 作所以宜线FG与平面 实数m,n,使得A下=mAE+nAG,即 mFGI (2-2λ，2λ，0)=m(1,0,1)+ 46 参考答案 量 2-2λ=m+ 4 n2= 3n, (x,y,之)，则 n2·u1=x-y十之=0， 4 ),得2入=3， 解得 n1·n2 x+2y+z V6 n11n26.√x2+y2+z 3 2 0=m十 3n, 故可取n2=(2+6,4,2-√6)或(2一 2 2 n=1,m=- √6,4,2+√6)。 3 又直线12在平面3内，不妨取直 故存在点F,使得A,E,G,F四 点共面，此时点F在线段BD上靠近 线l2上一点(1,1,0)。若n2=(2十 点D的三等分点处。 √6,4,2一√6)，则平面3的点法式方程 18.(1)由题意得，过点P(0,3, 为(2+√6)(x-1)+4(y-1)+(2- -1),且以u=(2,一1,1)为法向量的 √6)z=0;若n2=(2-6,4,2+√6)， 平面方程为2(x一0)一(y一3)十[之一 则平面3的点法式方程为(2一√6)(x (-1)]=0,即2x-y+之+4=0。 (2)因为平面&1的方程为3x一5y -1)+4(y-1)+(2+√6)x=0. 十之一7=0，所以平面α1的法向量可取 19.(1)(i)因为∠BAC=∠DAB m=(3,一5,1)。同理，平面x-3y-7 ∠CAD=120°-30°=90°，所以AB⊥AC。 =0的法向量可取a=(1,一3,0)，平面 又因为PC⊥AB,PC∩AC=C,PCC平 4y+2z+1=0的法向量可取b=(0, 面PAC,ACC平面PAC,所以AB⊥平 4,2)。设交线l1的方向向量c=（p, 面PAC。又ABC平面ABC,所以平面 9,r),则：030=0：故可取 PAC⊥平面ABC。 c.b=4q+2r=0, (i)在△ACD中，由AC=CD c=(3,1,-2)。 1,∠ADC=30°，得∠CAD=∠ADC= 设直线11与平面a1所成角为0， 30°，所以AD=2 ACcos∠CAD=√3。 c·m 则sin0=|cos(c,m〉|= 以A为坐标原点， cm AB,AC所在直线分别 2 √10 B √14×√35 35。 为x轴，y轴，过点A 且垂直于平面ABC的 (3)由平面a2的方程为x+2y十之 图7 直线为之轴，建立如图 十1=0，得平面a2的法向量可取n1= 7所示的空间直角坐标系。则B(1,0, (1,2,1)。由交线12的标准方程为 得4：的方向向量可 。3W3 1 0.C0,1,0).P0,29}月 取1=(1，一1,1)。设平面3的法向 设球心O(a,b,c),半径为R,则 47 参考答案 AO=BO=CO=PO=R,所以a2+b2 x1=sin0,则m=(sin0,0,-cos0)。 +c2=(a-1)2+b2+c2=a2+(b-1)2 设平面PBC的法向量n=(c2,y2, +2=+6-)+-）=R, x2),则n·CB=x2-y2=0,n·Cp= 3 1 R 2,所以 23sO士之y2士smo, =1,则n=11, √3cos0+1 球。的半径为？。】 3sin 0 记二面角ACP-B的平面角为a, (2)在平面PAC中，过P作PG⊥ AC于G。在平面ABC中，过G作 lm·n 则cos&=1cos〈m,n)|=mm GM⊥AC。因为GM∩PG=G,GMC 平面PGM,PGC平面PGM,所以 sin 0+- (√3cos0+1)cos0 √3sin0 AC⊥平面PGM。由(1)得AG= √3cos0+1 5os30-2PG=6sm0= ③ 2+ 2 √3sin0 设∠PGM=0,0∈(0,180°)。 cos0+√3 令t=cos0+ 以G为坐标原点， 3cos20+2,3cos0+7 GM,CG所在直线分别 5,由0∈(0,180)，得t∈(5-1,5 为x轴，y轴，过点G 且垂直于平面ABC的 直线为之轴，建立如图 图8 8所示的空间直角坐标系。则 -3(t-3)+2√3(t-3)+7 A(o.-3.0). B1,-o, t 1 √/-3t2+83t-8 885-3 所以CA=(0,-1,0),CB=(1,-1, 1= o.可-停s8ne + 3,当且 23 设平面PAC的法向量m=(x1, 即， 仅当}- 时，等号成立。 3 y121),则m·C=-y1=0,m·C2= 所以二面角ACP-B的余弦值的最小 g06+宁+号1血0=0，R 价务 (责任编辑赵倩) 48