第7讲：基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理其成立条件、等号成立条件及算术平均数与几何平均数关系，延伸至重要不等式及平方、算术、几何、调和平均数的均值链，构建从基础到拓展的学习支架。 该资料以八大解题技巧（如凑配法、乘1法）和11类题型（含实际应用、证明）为特色，通过例题培养学生数学思维与推理能力，课中助力教师系统教学，课后学生可借助练习强化知识、查漏补缺。

第7讲：基本不等式 题型一、利用基本不等式比较大小 3 题型二、利用基本不等式求积最大值 3 题型三、利用基本不等式求和最小值（配凑法） 4 题型四：基本不等式‘1’的妙用 4 题型五：二次或二次商式的最值 4 题型六：条件等式求最值 4 题型七：基本不等式恒成立问题 4 题型八：基本不等式技巧综合应用 5 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 5 题型十、用基本不等式证明不等式 6 题型十一：基本不等式的综合问题 7 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b. （5）重要不等式（拓展提分）对任意正数 ，恒有： （平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数） 八大高频解题技巧 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 技巧序号 技巧名称 适用场景 经典例题 技巧1 直接套用公式法 式子为简单和式、积式，完全满足「一正二定三相等」，无复杂变形 例题：已知 ，求 的最小值解析：，满足一正； 为定值当且仅当 即 时取等号结论：最小值为 4 技巧2 凑配法（必考） 原式无定值，通过拆项、添项、凑系数，人为构造和/积定值 例题：已知 ，求 的最小值解析：凑定值变形：由 得 ，满足一正 为定值，故 即 结论：最小值为 3 技巧3 乘1法（王牌技巧） 已知 定值，求解分式型 最值，条件最值高频题型 例题：已知 ，求 最小值解析：乘定值1整体展开：原式原式当且仅当 且 取等结论：最小值为 9 技巧4 消元法 二元及以上多元变量，带有约束等式，无法直接用不等式 解题步骤：① 利用题干约束等式，消去其中一个变量，化为单变量式子② 根据原有变量范围，确定新单变量的取值范围（保证正数）③ 结合基本不等式求解最值，最后验证等号成立条件 技巧5 换元法 式子含复杂分式、根式，结构繁琐，可转化为标准对勾函数结构 解题方法：① 常规换元：令 ，简化复杂分母、分子② 换元核心原则：换元必换域，同步确定新变量 的取值范围③ 化简为 标准形式，套用基本不等式求解 技巧6 正负转化法 变量为负数，不满足基本不等式「一正」前提，无法直接套用公式 例题：已知 ，求 最大值解析：由 ，得 （转正）不等号反向：结论：最大值为 -6 技巧7 函数单调性法 变量有区间限制，基本不等式等号无法取到，公式失效（高频易错） 解题思路：① 若求解出的取等条件不在变量定义域内，直接放弃基本不等式② 将式子转化为对勾函数、二次函数③ 根据函数单调性，在给定区间内求解最值⚠️ 考试核心避坑：不取等、无最值，必用单调性 技巧8 分离常数法 适用于分式型函数 的最值求解 解题方法：① 拆分、变形分子，将分式拆分为「常数+简单分式」结构② 消去高次项，凑出「正数+倒数正数」的标准不等式结构③ 满足一正二定三相等后，套用公式求解最值 核心通用前提：所有基本不等式解题必须满足 一正、二定、三相等，缺一不可！ 题型一、利用基本不等式比较大小 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型二、利用基本不等式求积最大值 【例2】．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最大值为_________； 【变式2】．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 题型三、利用基本不等式求和最小值（配凑法） 【例3】．（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【变式2】．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________. 题型四：基本不等式‘1’的妙用 【例4】．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【变式1】．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若，，且，则的最小值为___________． 【变式2】．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 题型五：二次或二次商式的最值 【例5】．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【变式1】．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为___________. 【变式2】．（22-23高三下·上海·阶段检测）若正数，满足，则的最大值为_______. 题型六：条件等式求最值 【例6】．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【变式1】．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【变式2】．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【变式1】．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江西·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 题型八：基本不等式技巧综合应用 【例8】．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（    ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【变式1】．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 【例9】．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【变式1】．（25-26高一上·山东滨州·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【变式2】．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 题型十、用基本不等式证明不等式 【例10】．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【变式1】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 【变式2】．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件. （2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 题型十一：基本不等式的综合问题 【例11】．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【变式1】．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少 (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少 (3)已知，且，求的最大值． 【变式2】．（25-26高一上·安徽·阶段检测）根据下列已知条件，求出相关最值: (1)已知，求的最小值； (2)已知是正数，且，求的最大值.(提示:若). 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·江西赣州·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 9．（25-26高二下·江苏无锡·期末）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 10．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 三、填空题 12．（26-27高一上·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 13．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 14．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 15．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 17．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 18．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 19．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲：基本不等式 题型一、利用基本不等式比较大小 3 题型二、利用基本不等式求积最大值 5 题型三、利用基本不等式求和最小值（配凑法） 5 题型四：基本不等式‘1’的妙用 6 题型五：二次或二次商式的最值 7 题型六：条件等式求最值 7 题型七：基本不等式恒成立问题 8 题型八：基本不等式技巧综合应用 9 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 11 题型十、用基本不等式证明不等式 14 题型十一：基本不等式的综合问题 16 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b. （5）重要不等式（拓展提分）对任意正数 ，恒有： （平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数） 八大高频解题技巧 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 技巧序号 技巧名称 适用场景 经典例题 技巧1 直接套用公式法 式子为简单和式、积式，完全满足「一正二定三相等」，无复杂变形 例题：已知 ，求 的最小值解析：，满足一正； 为定值当且仅当 即 时取等号结论：最小值为 4 技巧2 凑配法（必考） 原式无定值，通过拆项、添项、凑系数，人为构造和/积定值 例题：已知 ，求 的最小值解析：凑定值变形：由 得 ，满足一正 为定值，故 即 结论：最小值为 3 技巧3 乘1法（王牌技巧） 已知 定值，求解分式型 最值，条件最值高频题型 例题：已知 ，求 最小值解析：乘定值1整体展开：原式原式当且仅当 且 取等结论：最小值为 9 技巧4 消元法 二元及以上多元变量，带有约束等式，无法直接用不等式 解题步骤：① 利用题干约束等式，消去其中一个变量，化为单变量式子② 根据原有变量范围，确定新单变量的取值范围（保证正数）③ 结合基本不等式求解最值，最后验证等号成立条件 技巧5 换元法 式子含复杂分式、根式，结构繁琐，可转化为标准对勾函数结构 解题方法：① 常规换元：令 ，简化复杂分母、分子② 换元核心原则：换元必换域，同步确定新变量 的取值范围③ 化简为 标准形式，套用基本不等式求解 技巧6 正负转化法 变量为负数，不满足基本不等式「一正」前提，无法直接套用公式 例题：已知 ，求 最大值解析：由 ，得 （转正）不等号反向：结论：最大值为 -6 技巧7 函数单调性法 变量有区间限制，基本不等式等号无法取到，公式失效（高频易错） 解题思路：① 若求解出的取等条件不在变量定义域内，直接放弃基本不等式② 将式子转化为对勾函数、二次函数③ 根据函数单调性，在给定区间内求解最值⚠️ 考试核心避坑：不取等、无最值，必用单调性 技巧8 分离常数法 适用于分式型函数 的最值求解 解题方法：① 拆分、变形分子，将分式拆分为「常数+简单分式」结构② 消去高次项，凑出「正数+倒数正数」的标准不等式结构③ 满足一正二定三相等后，套用公式求解最值 核心通用前提：所有基本不等式解题必须满足 一正、二定、三相等，缺一不可！ 题型一、利用基本不等式比较大小 【例1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 【变式1】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立，但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 【变式2】．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 题型二、利用基本不等式求积最大值 【例2】．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 【变式1】．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 【变式2】．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 题型三、利用基本不等式求和最小值（配凑法） 【例3】．（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为. 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【变式2】．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 题型四：基本不等式‘1’的妙用 【例4】．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 【变式1】．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若，，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为.故答案为：. 【变式2】．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 题型五：二次或二次商式的最值 【例5】．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】令，因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【变式1】．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为___________. 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 【变式2】．（22-23高三下·上海·阶段检测）若正数，满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 题型六：条件等式求最值 【例6】．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 【变式1】．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【变式2】．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 【变式1】．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由两个正实数满足，即，， 所以，当且仅当时等号成立，又恒成立，所以，解得． 故选：C． 【变式2】．（24-25高一上·江西·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】依题意有，因为,故，， 当且仅当，即时，等号成立，所以，得． 故选：B 题型八：基本不等式技巧综合应用 【例8】．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（    ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 【变式1】．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 【 变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，利用"1的代换"可得： ， 等号成立条件： ，即 ，代入 得： ，故A正确； 对于B，由基本不等式 ，代入 ， 可得 ，等号成立条件：，即 ，故B正确； 对于C，将 代入得： ， 由基本不等式可得：，故， 等号成立条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ， 因此等号取不到，故C错误； 对于D，展开分子，代入 可得：， 因此原式化简为： 令 ， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D正确. 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 【例9】．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】(1)，其中， (2) 【详解】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 【变式1】．（25-26高一上·山东滨州·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 【变式2】．（25-26高一上·重庆·期末）设矩形的周长为，把三角形沿折叠，折叠后与交于点. (1)设，用表示三角形面积，并写出的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相对应的值. 【答案】(1)，． (2)最大值为，此时． （2）利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件可求出对应的的值. 【详解】（1）设，则． 设，则，， 由勾股定理得，得， 可得，则， 三角形面积， 由，得，所以取值范围是． （2）因为，所以， 即的最大值为． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 题型十、用基本不等式证明不等式 【例10】．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． (2)因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【变式1】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 【答案】(1) 要证， 即证， 即证， 即证， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即得证； (2) 由，则，故，同理， 又 ， 当且仅当时，等号成立，又，，即不可取等， 故， 则，即， 又，， 则，， 即有， 则， 又，则、， 故， 即，则， 即有，即得证. 【变式2】．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件. （2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件. 【答案】（1） . 当且仅当时，等号成立. （2） ，，，将三式相加 ，即， ，，即， ， ，当且仅当时等号成立. 题型十一：基本不等式的综合问题 【例11】．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 【变式1】．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少 (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少 (3)已知，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)6， (3) 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为. 【变式2】．（25-26高一上·安徽·阶段检测）根据下列已知条件，求出相关最值: (1)已知，求的最小值； (2)已知是正数，且，求的最大值.(提示:若). 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1），可得， 等式两边同时乘以“”得，当且仅当时，等号成立. 令，，解得 (舍去)或，当等号成立时，，即，将代入原方程：， 化简得，解得，因为，所以，因此. （2）因为，， ，以上各式相加得： ， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 4．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立．只需求出当为正数时，的最大值．因为为正实数，所以当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 又当时，所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 二、多选题 8．（26-27高一上·江西赣州·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】BC 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对C，当时，，当且仅当时取“”.故C正确； 对D，当时，.故D错误. 9．（25-26高二下·江苏无锡·期末）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 10．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 三、填空题 12．（26-27高一上·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 13．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 14．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 【答案】 【详解】由题，因为，所以， 令，则, 故，即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 因为，所以的最小值为， 此时，因此的最小值为 15．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 17．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 18．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为，所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 19．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 【答案】(1)（1）, 当且仅当即且时，即时等号成立. (2)，当且仅当即且时，即时等号成立. 故可得. (3) ， 当且仅当且时，即时等号成立. 故可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $