空间向量与立体几何中的新颖试题-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

教材引申 空间向量与立体几何中的新颗试题 ■深圳外国语学校高中部 罗伟豪 创新是高考试题的主题。高考数 y-yo 学试题全面围绕高中数学教材的知识 拓展延伸：我们把一2= b 框架与基础知识，合理创设问题场景，从 之二0(ac≠0)称为空间中直线l的 基础性、综合性、应用性、创新性维度，深 入考查同学们对新知识的理解能力，以 方程，a(x-xo)十b(y-yo)十c(之一 及对所学数学知识的迁移能力，这是今 x。)=0称为空间中平面a的点法式方 程，整理成一般式方程为ax十by+ 后高考数学试题的热点方向之一。 cz+d=0。特殊地，平面Oxy的一般 下面结合人教A版《数学选择性必 式方程为之=0，其法向量为(0,0,1)。 修第一册》习题1.4拓广探索第17题， 有以下几种新颖试题。 给出详细解析，并汇总相关的新颖试题。 题型一 求平面的方程 题目：在空间直角坐标系中，已知 例1若平面a为x十y十之=3，平 向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P。(x。, yo,z0),点P(x,y,之)。 面与平面。的交线1为- 1 (1)若直线1经过点P。,且以u为 方向向量，P是直线1上的任意一点， 二2且平面B与平面α所成角的余弦值 求证：2一20=y一y0=一之。 0 b 为求平面B的点法式方程。 (2)若平面a经过点P。,且以u为法 解析：由平面a为x十y十之=3，可 向量，P是平面α内的任意一点，求证： 知平面a的法向量n1=(1,1,1)。 a(x-xo)十b(y-yo)+c(x-zo)=0。 证明：(1)因为uPP,PoP=(x 由欢线1的方程为 x0y-y0,之-之)，所以PoP=Au。 三2可知1的方向向量u=(1,1,-2)。 则x-x0=入a,y一y。=入b,之一之0 设平面B的法向量n2=(x,y,之)，则 =Ac。因为abce≠0，所以-xo= ng·u=x+y-2x=0, a .+ x+y+ 3 y一y0之一之0 6 x+y-2x=0, 整理得 不妨设 (2)因为u⊥P。P,PoP=(x xy十y之+xx=0。 x0'y一yo,2-0),所以a(x-x0)十 x=1+√3，.x=1-√3， x=1,解得 或 b(y-yo)十c(之-之o)=0。 y=1-5 y=1+3。 8 教材引申 故平面B的法向量n2=(1十√3， 因Q∈a,故a.x十by十cz=一m。 1-3,1)或(1-√3,1+√3,1)。 故d= -m-(axo+byo+czo) 直线1在平面3内，不妨取其上 √a2+b2+c2 点(2,1,0)。 laxo+byo+czo+m 若n2=(1十√3,1一√3,1)，则平面 √a2+b2+c2 B为(1+3)(x-2)+(1-√3)(y-1) (2)方法一：由题意得 2y+之=16x+5, 十x=0;若n2=(1-√3,1+3,1)，则 -y+3x=20x+15, 解得y=4x,z= 平面B为(1-√3)(x-2)+(1+√3)· (y-1)+之=0。 8+5.则一7号即吃- 综上，平面β的点法式方程为： 之-5 (1+3)(x-2)+(1-√3)(y 8。 1)+x=0或(1-√3)(x-2)+(1+ 枚直线1：宁一学-。的方向向 3)(y-1)+z=0。 量v=(1,4,8),且过点Q(0,0,5)。 题型二求距离 坐标原点O到直线l的距离d= 例2(1)在空间直角坐标系 Oxyz中，设平面a的一般方程为ax十 5√17 by+cz+m=0,定点P(xo,y0,zo), 方法二：把x=0代入两平面的方程 试推导点P到平面a的距离d的表达 式 组，解得y=0,z=5,即点Q(0,0,5)在直 线L上。 (2)已知两平面16x一2y一之+ 5=0与20x十y-3之十15=-0交于直 平面16x-2y-之+5=0与20x+ 线1，求坐标原点O到直线l的距离。 y-3z+15=0的法向量分别为n1=(16, 解析：(1)设平面α内任意一点 -2,-1)与n2=(20,1,-3),这两个向量 Q(xy,x),a的一个法向量n=(a,b,c), 均与直线l的方向向量垂直。可求直线 P反=(x-x0y-y0,2一x0)。 的一个方向向量v=(1,4,8)。 设P在平面a上的投影为R,则 坐标原点O到直线l的距离d= d=|PRI=|PQ|·cos∠RPQ= 5√17 |PQ1·|cos〈PQ,n〉|=|PQ|· -1o0 9 lPQ·n 评注：两问都是利用向量投影来求 1PQ1·ln 距离。(1)得出了空间中点到平面的距 lax+by十cz-(a.xo+byo+czo)川 离公式；(2)给出了两个平面交线方程 √a+b2+c 的两种解法。 教材引申 题型三 求体积 锥Q4Q1QQ3的体积为VQ,Q,Q,Q,= 例3已知集合P={(x,y,之) x≤1，y|≤1，z|≤1}，Q={(x,y, 日×1××1x1- z)川|x|+|y|+|z|≤2}，记集合Q中 P'∩Q'的体积为Vpna=Vp 所有点构成的几何体的体积为V1, 15 Vo:Q:Q:8,=1- 66 P∩Q中所有点构成的几何体的体积 为V2,求V1和V2的值。 20 由对称性知V2=8Vpna=3。 解析：集 评注：求体积可以利用对称性，先画 合Q的子集 出第一象限的图形，再利用割补法，把不 Q'={(x,y, 规则图形转化为规则图形进行求解。 之)|x+y+ 总之，高考数学创新题通常作为压 x≤2，x≥0， 轴题出现，考查内容既涉及基础知识，又 y≥0，x≥0}， 体现出对综合运用能力、空间想象能力、 图形为三个 逻辑推理能力、数据处理能力，以及优化 坐标平面与 图1 思维的考查，所以平时要注重思维培养与 x十y+之=2 策略优化。以下是系统化的备考策略，可 围成的四面体，如图1所示。 以帮助同学们高效攻克创新题型： 四面体的四个顶点分别为(0,0， 1.深挖教材潜在关联。重视知识点 0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)。 的内在联系与整合，系统梳理不同章节之 y 此四面体的体积V。=3X2× 间的逻辑联系，通过深入剖析知识点的内 在联系，构建一个完整、系统的知识体系。 (（×2×2=专，由对称性知V=8V。 4 2.重点关注教材中公式的变形与 32 推导过程。公式的灵活运用是解决复 3 杂问题的关键，而公式的变形和推导则 集合P的子集P'={(x,y,) 是实现这一目标的必要手段。详细解 0≤x≤1,0≤y≤1,0≤之≤1}，P'构成 析公式的来源、推导过程及变形方法， 的几何体是棱长为1的正方体。 深入理解公式的本质和应用技巧。 而Q'={(x,y,x)|x+y+之≤2， 3.关注教材新增内容（阅读与思 x≥0，y≥0，z≥0}，则P'∩Q'为棱长 考、数学建模、探究与发现)。 为1的正方体截去三棱锥Q4Q1Q2Qs 4.重点研究课后习题中的“综合应 后剩下的部分。 用”和“拓广探索”题型。 P'的体积Vp=1×1×1=1,三棱 (责任编辑徐利杰) 10