空间向量与立体几何单元试卷（基础）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

中秋假期作业《空间向量与立体几何》测试卷（基础版） 本卷满分150分，考试时间120分钟。 数学试卷 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 2．在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D． 4．，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． B． C． D． 7．如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥； B．若平面α，β的法向量分别为，则； C．若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则； D．若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为 10．如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（    ） A．四面体的体积为定值 B．点到平面的距离 C．异面直线与所成的角为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 11．在棱长为2的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若为空间任意一点，且，则 B．与所成角的大小为 C．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 D．在线段上存在一点，使得平面 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 13．在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝______. 14．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，，，设向量，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值． 16．（15分） 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 . (1)求证: 平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值. 17．（15分） 如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 18．（17分） 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分） 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． (1)当与重合时，证明：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 中秋作业《空间向量与立体几何》测试卷（基础版）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B D D A B BC ABD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可. 【详解】根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点， 可得点关于y轴的对称点为. 故选：A. 2．C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 3．C 【分析】根据两向量垂直数量积为零求出，计算出. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 4．B 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 5．D 【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】由题设，，， 在方向上的投影向量为. 故选：D 6．D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 则与所成的角的余弦值为 . 故选：D 7．A 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 8．B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 9．BC 【分析】对于A：通过计算以及线面平行的判定来判断；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算以及来得答案；对于D：求出对称点，然后利用距离公式计算． 【详解】对于A：，则， 又直线l可能在平面α外，也可能在平面α内，故∥或，A错误； 对于B：，则，B正确； 对于C：，向量是平面α的法向量， 则，解得，，C正确； 对于D：点C是A关于平面yOz的对称点，且，得, 则，D错误． 故选：BC． 10．ABD 【分析】A选项，证明出线面平行，得到点到平面的距离为定值，结合为定值，故四面体的体积为定值，A正确；B选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到点到平面的距离；C选项，利用异面直线夹角向量公式求出答案；D选项，设出点的坐标，利用线面角的向量求解公式得到，D正确. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离 ，B正确； C选项，，， 则， 故异面直线与所成的角不为，C错误； D选项，设，， 由B选项知，平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则， 令，解得，负值舍去， 故存在点，使得直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ABD 11．AC 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算即可判断A，由异面直线夹角的向量法代入计算，即可判断B，由平面以及等体积法即可判断C，求得平面的法向量，代入计算，即可判断D 【详解】 对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，则， 设，则， ， 由可得， 即，所以，故A正确； 对于选项B，，设与所成角为， 则，故B错误； 对于选项C，因为，且平面，平面， 所以平面，又点在直线上，所以点到平面的距离为定值， 且为定值，所以为定值，故C正确； 设在线段上存在点，符合题意， 对于选项D，设，又， 则，即，所以， 即， 设平面的法向量为，且， 所以，解得，取，则， 则，方程无解， 所以线段上不存在一点，使得平面，故D错误； 故选：AC 12．/ 【分析】由题意求出和在上的投影，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 得，， 所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为： 13．8. 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果. 【详解】如图所示： ＝＝8. 故答案为：8. 14． 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 15．(1)3 (2) 【分析】（1）根据向量平行求出，由向量模的公式计算得解； （2）由向量的线性运算及垂直向量的数量积坐标表示列方程得解. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，解得， 所以，. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 16．(1) 因平面，且,故可以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示).    则. 于是，, 设平面的法向量为， 则，令，可得； 又，显然，，故得平面； (2) 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）建系，则， 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面所成夹角为， 因， 则. 即平面与平面所成夹角的正弦值为 17．(1)证明：因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； (2)证明：连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； (3) 【分析】（1）根据三线合一得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，证明出； （2）作出辅助线，得到，由线面平行的判定得到结论； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故，    所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 18．(1)证明：因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. (2) 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）略 （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 19．(1)证明如下： 如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面； (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，证明，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $