选择性必修第二册综合测试卷-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

中学生款理化离整薇学名极备经朝爷案与提示 选择性必修第二册综合测试卷参考答案 一、单选题 得(an+1十2am）(an+i一 3am)=0。因为数列 1.C2.B {an}各项均为正实数，所以an>0,am+1>0, 3.C提示：由导数的正负性可知，函数 则am+1十2a,>0,故a+1一3am=0。所以 y=f(x)的单调递增区间为（一1,0）和(2， a1=3a,即2=3。因为a1=1,所以数 4),单调递减区间为(0,2)和(4,5)，选项B正 an 确。 列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，an 由单调性可知，函数y=f(x)有2个极 -1xg1-8故s-32 2 大值点，选项A正确。 当x∈[一1,5]时，函数y=f(x)的最大 因为2Snam一mam十27≥0，所以m≤ 值是2，故t的最大值是5，选项C错误。 25a+2”-25.+2=g+引-1.因为 27 an a 作出函数y= VA f(x)的图像，如图1 +兴≥2·哥-18，当且仅当3 所示。由图可知，当 1<a<2时，直线y ，即n-2时，等号成立，所以g十兴 27 30-1 =a与函数y= 图1 1≥17。故实数m的取值范围是（一∞，17]。 ∫(x)的图像有四个 交点，选项D正确。 6.C提示：由。=-名，可得a 4.A提示：数列{am}满足a1十2a2十 ln(-a)-1,即ln(-a)-a-1=0. 3a3+…+nan=2n-1(n∈N,n≥1)。① 由b(lnb-2)=e,可得lnb+ln(lnb- 当n=1时，a1=2×1-1=1。当n≥2 2)=3,即l1n(1nb-2)+(1nb-2)-1=0。 时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n 令f(x)=lnx十x-1,x>0,则f'(x) 1)-1=2n-3。② =1十1>0，故f(x)在(0，十∞)上单调递 x ①二②得na,=2,故a,三片。因为a月 增。因为f(-a)=f(lnb-2)=0,所以-a /1,n=1, =lnb-2,即2-a=lnb。而-a=1 1不满足上式，所以an= n,n≥2，n+2= 2 。则。 ln(-a),故3-ln(-a)=lnb,可得ln(-a) 十lnb=ln(-ab)=3,所以ab=-e3。 3,n=1, 7.B提示：设f(x)=ln(2x)-x,x∈ 2 当n≥2时，n千2= (n(n十2)，n≥2。 01,则/()=是-1=≥0，故 x 2 11 f(x)在(0,1]上单调递增。又f(1)=ln2 n(n十2) n n+2 10故1（侣）=子-景<f)0,所以 设数列年}的前9项和为5，则5， 3+(2-)+(号-)+（保-）+… 1m子<g即>a +(后)言++方品提 设g()=c0s-1+专x∈[0,11，则 g'(x)=-sinx+x,x∈[0,1]。令g(x)= 5.A提示：由a+1-am+1a,-6a=0, g'(x),则q'(x)=-cosx十1≥0在[0,1]上 44 高数学车提万中学生教理化 演练篇名校名师创新卷答案与提示 恒成立，故g'(x)在[0,1]上单调递增，g'(x) 二、多选题 ≥g(0)=0,所以g(x)在[0,1]上单调递增， 9.ABC x(分)>0)=0，即co2-1+日>0，所 10.ABD提示：当n=1时，a2-a1= -6,所以a2=-14;当n=2时，a3-a2= .1、7 以cos2>8,即c>b。 一4，所以a=一18，选项A正确。 综上，c>b>a。 由a+1一an=2n一8，得当n≥2时，a,一 8.B提示：已知Bo(0,0),设A1(x1, am-1=2n-10,am-1-am-2=2n-12,…,a2 y1),因为△B。AB1为等腰直角三角形，所 a1=一6，将以上各式相加得am一am1十am-1 以直线B。A,的斜率为tan45°=1，直线 -am-2+…+a,-a1=2n-10十2n-12+… B。A1的方程为y=x。 十(-6)，所以an=2n一10+2n-12十…十 联立解得=0或1则 （-6)+（-8)=m[2n-10+(-81=m 2 ly=x, y=01 y=1。 9n(n≥2)。又a1=一8符合上式，所以am= A1(1,1),故a1=|BB1=2×1=2。 n2一9n。由二次函数的性质可知{an}不为递 设A,y)则y.=3=61十 减数列，选项C错误。 受=经，故1BB,1=Q 因为a.=n2-9n=(n-号)广-8，所以 2(--2号）=2（任学“）整 当n=4或n=5时，am取得最小值一20，选 项B正确。 1 理得a,十al=2(a-ai),即(a.十ai)· 当an<0时，am=n2-9n<0,解得0< n<9,n∈N。所以当an<0时，n的最大值 (an一an-1-2)=0。由an>0,得a,十am-1> 为8，选项D正确。 0,故an一a-1=2。所以数列{an}是以2为 11.BCD提示：令f(x)=e-ax2=0, 首项，2为公差的等差数列，a,=2十2(n一1) =2n,故选项A正确。 .设g(x)=三，则g) 则a=g 6-要-号-只-智=。-则6， gx-2,故当x∈(-∞，0U(2,+∞)时， =n(n十1)，故选项B错误。 g'(x)>0;当x∈(0,2)时，g'(x)<0。故 因为△B.-1ABn是等腰直角三角形，其 g(x)在（一∞，0），(2，十∞)上分别单调递 面积S,=a-子×(2m)=r,所以S.十 增，在(0,2)上单调递减。 S2+S3+…+So=12十22+32+…+102。 当x→一∞时，g(x)→0；当x→0时， 由平方和公式1十22十32十…十n2= g(x)→十∞；当x→十∞时，g(x)→十o∞； n(n+1)(2n+1) ,得S1十S2十S3+…十S10 8(2)=e 。所以x1<0<x,<2<x,且a> 6 _10×11×21=385,故选项C正确。 4,故选项A错误，选项B正确。 6 因为写所以-1<2.当≥2 由题意可得 x,所以 1 X e×ee1te x远一x。因为x1x:成等 +<1+片)-（号）+… 差数列，所以x1十x=2x2,即e1=e: 十()=2<2，故选项D正确。 则xix号=x,分析可得一x1x=x号，故一x1, x2,x?成等比数列，选项C正确。 45 中学生款理化离整薇学名极备经朝爷案与提示 ,==(),化简得计 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=1。 (2)f'(x)=e-a,x∈R。 十6，=0，则++1=0，解得兰 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单 调递增。 =-3-2或=-3+22。又 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=lna。 x 当x∈(-∞，lna)时，f'(x)<0;当x∈ c3,则x-1=21(）>0,故-2> (lna,十∞)，f'(x)>0。所以f(x)在 (一∞，lna)上单调递减，在(lna,十c∞)上单 1,则5<-1。又-3+22>-3+2=-1， 调递增。 故心 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递 -3-2√2。又3+2√2=(1+√2)2， 增；当a>0时，f(x)在（一∞，lna)上单调递 所以x3一x1= 2n(-) =21n(1+√2)2= 减，在(lna,十∞)上单调递增。 16.(1)由题意得f(1)=1→a-1=1→a 4ln(1十√2)，故选项D正确。 =2。所以数列{an}的前n项和S,=2”一1。 三、填空题 当n=1时，a1=2-1=1;当n≥2时，a 12.16 Sn-Sn-1=(2”-1)-(2"-1-1)=2-1。 13.y=2ex(或y=-2ex) a1=1满足上式，所以an=2-1,n∈N。 14.（-∞，1]提示：函数f(x)=e+mx 2-1 =xe,因为当x∈(0，π)时，f(x)的图像始 (2)由1)得b,=(a,+1(a1+1 终在g(x)的图像上方，所以f(x)>g(x)在 2-1 1 1 (0,π)上恒成立，即h(x)=∫(x)一g(x)= (2m-1+1)(2”+1)2"=1+12”+19 所以T.=b1十b,十…+b.=2+1 1 xe一asin x>0在(0，π)上恒成立。 当x∈(0，π)时，sinx>0恒成立。当 1 a≤0时，h(x)=xe-asin x>0恒成立。 T2-1+12”+1 当a>0时，h'(x)=(x十1)e-acos x。 11.1 令p(x)=h'(x),x∈(0，π)，则p'(x)=(x 22”+12· 十2)e+asin x>0,即h'(x)在(0，π)上单调 3 递增。当x>0且x→0时，h'(0)→1一a。 17.(1)由题意得S,=a1=2a1一1→a 当1-a≥0，即0<a≤1时，h'(x)>0 =2。当n≥2时S.-S1=a.=20,-n 在(0，π)上恒成立，函数h(x)在(0，π)上单调 递增。当x>0且x→0时，h(0)→0，则 20。-1+n-1→3a,-1=a-2→3(a,-1十1) h(x)>0在(0，π)上恒成立，因此0<a≤1。 =an十1。又a1十1=3，所以{a,十1}是以3 当1-a<0,即a>1时，A'(受)>0，则 为首项，3为公比的等比数列。 (2)由(1)得am十1=3"→am=3”-1。 存在唯一的x。∈(0，罗)，使得h'(x)=0。 则(2n-1)·an=(2n-1)(3”-1)=(2n 故当x∈(0，x。)时，h'(x)<0,函数h(x)在 -1)3"-(2n-1)。 (0,x。)上单调递减，h(x)0,不符合题意。 设数列{bn},b=(2n一1)3”，其前n项 综上，a的取值范围为（一∞，1]。 和为Bn,则Bn=1×3十3×32+5×33+…+ 四、解答题 (2n-3)3-1+(2n-1)3",3Bn=1×32+3× 15.(1)当a=1时，f(x)=e一x,则f(0) 33+5×31+…+(2n-3)3"+(2n-1)3"+1。 =1,f'(x)=e一1，f'(0)=0。故曲线y= 两式相减得2B.=(2n-1)3"+1一2(32+ 46 演蛛猫名故备师细要老签来军樱酒中学生款理化 3+…十3”)一3=(2n一1)3m+1-2×32× (日，十)上单调递增，故0<x1< -<x20 3-1-3=2(n-1)3+1+6。 3-1 2 则B,=(n-1)3m+1十3。 要证x十>总只需证>名 设数列{cn},c,=2n一1，其前n项和为 因为0<x,<,所以-x1> Cm,则Cm=1十3十5+…十(2n-3)+(2n 1)=1+2m-1)n=n'. 因为g(x)在（日，十∞）上单调递增，所 2 故Tm=Bn-Cm=(n-1)3"+1十3-n2。 以只需证x,)>(层-) 18.(1)①当a=0时，f(x)=xlnx-x, 又因为g(x1)=g(x2),所以只需证 其定义域为(0，十∞)，则f'(x)=lnx十x· }-1=lnx. gx)>g(层-） 所以当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)单 令h(x)=g(x)-g(径-x),0<x< 调递减；当x>1时，f'(x)>0,f(x)单调 递增。 名则A()=1nx+1+1n(2-z)+1= 所以f(x)在x=1处取得极小值，也是 最小值，f(x)mm=f(1)=1×1n1-1=-1。 1n[(2-x】+2。 ②由①知，当x>0时，f(x)=xlnx一 因为0<x<。,所以0<x(径-x) x≥-1，即x-xlnx≤1。 eN)则片n是≤1. 令x= 是，则1[（层-）]<-2，故a(x)<0 十2nn≤1，所以21nn≤n2-1,即 h(x)在(o,)上单调递减，h(x)>h() n 0。 In nn-l n+1 2 所以g(x)>g(层-x）,即x1十x> 数号++…+骨≤号 3 +”一1_0十1+2+…+n-1_n(n-1) 忌得证。 2 4 19.(1)若a=0,则函数f(x)=xlnx十 (2)函数f(x)=(x-a)lnx-x的定义 1,所以f)-(+1D=nx-+ 域为(0，十∞)，f'(x)=1nx+二a-1= x .令g(x)=f(x)名(x2+1Dx>1,则 1 g'(x)=lnx+1-x。令T(x)=g'(x),则 因为x1,x:是f(x)的两个极值点，所以 T'(x)--1-1<0,所以Tx)在1 x xa=0,nx=0,即a=h2 +∞)上单调递减，T(x)<T(1)=0。 =x2lnx2。 所以g(x)在(1，十∞)上单调递减， 令g(x)=xlnx,x∈(0，十∞)，则 Rx)<x1)=0.因此x)x+1)< g'(x)=1nx+1。当0<x<时，g(x)< 0,即f)<x+1D 0:当x>1时，g'(x)>0。 (2)因为f(x)=xlnx-ax十1=0(x> 所以g(x)在(0，。)上单调递减，在 0),所以a=n十-1n十子则） 47 中学生款理化离整贺学名敏名翻新在管来与示 的零点问题转化为直线y=a与函数p(x)= 证x>4加+)-4n2,即证当x>2 1nx十1的图像交点问题。 时，4lnx2一x2+ 4-41n2<0成立。 对(x)求导得p'(x)=1-1=x-1 t r! x2。 记G)=4lnx-x+4-4ln2,x∈ 当x>1时，p(x)>0:当0<x<1时，p'(x) 7 <0。所以9(x)在(0,1)上单调递减，在(1， (2,+∞)，则G(x)=4一1一4 x 十∞)上单调递增。 故9(x)mn=9(1)=1。当x→0+时， (会-)'<0.从而G()在(2，+)上单 9(x)→十∞；当x→十∞时，p(x)→十∞。 调递减，G(x)G(2)=0。 所以当a>1时，f(x)有两个零点x1,x2,且 因为x2>2,所以G(x2)<0,即4lnx2一 0x1<1x2。 xg十 Da=n十=m十，化简得 4一41n2<0,得证。 =1-1=-x1=ln 因为0<x1<1,x>2,所以>2。 In z2-In x1=- T T2TTy 由①知a∈(ln2-ln(ln2),+∞)，所以 令t=>2,则x,=tx,所以1nt= ~l 要证1十：<心十寻，只需证十，<e, t-1 即，- tIn t 从而只需证1n(x十x)<a-lnx1十上，即 因为0<4《1，所以方)-品∈(0， 证(1+2）-是<o. 1),求导得h'(t)= tIn t-(t-1)(In t+1)_ t2(In t)2 1n,从而 令1=>2，则由①知x1= Int-t+1 t2(1nt)2 只需证1n(1十t)-n<0,即证(t一1)· t-1 1 令s)=lnt-t+1,则s'()=-1 ln(1+t)-tlnt<0。 H(t)=(t-1)In(1+t)-tIn t,t>2, 一t<0。所以s()在(2，十∞)上单调递减， t 则Hr)=1n1+2）名 s(t)<s(2)=ln2-1<0。 易知当x>0时，ln(1十x)<x。 又t(lnt)>0,所以h'(t)0,h(t)在 1 (2,十∞)上单调递减，h(t)<h(2)=21n2' 令x=,则1n(1+）< 即0<x1<21n2<1。 又≥2>1，由精水不等式得}< 又因为p(x)在(0,1)上单调递减，p(x1) =,名故n1+）,名7即H')0 11 =a,所以a>(2n2)=ln2-ln(ln2。 所以H(t)在(2，十∞)上单调递减， H(t)<H(2)=ln3-2ln20,即(t-1)· 故a的取值范围是(ln2一ln(ln2), ln(1+t)-tlnt<0成立。 十∞)。 综上所述，当x2>2时，4a一41n2<x1 ②因为x1>0,所以要证x1+x2>4a一 41n2,只需证x2>4a-41n2。 +x<e+成立。 a 由a=n十=n十子从而只需 (责任编辑赵倩) 48演练篇名校名师创新着中学生数理化 高二数学2026年2月 选择性必修第二册综合侧试卷 0 0 0 90 ■河南省南乐县第一高级中学 吉晓波 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， A.(-∞，17] B.(-∞，15] 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 C.(-∞，9] D.(-∞，21] 一项是符合题目要求的) 6.已知a,b满足e=一 。,b(1nb-2) 1.已知函数f(x)=x3十x一f(1)lnx, 则'(1)=( )。 =e,其中e是自然对数的底数，则ab的值 为()。 A.4 C.2 D A.-e B.-e2 2.已知数列{an}满足a1=2,am+1=1 C.-e3 D.-e 则a,=( )o 7.设a=ln 8 c=cos 2,则 A.-1 c.-2 )。 D.2 A.ab-c B.cba 3.已知函数f(x)的 C.b-a=c D.b>c>a 定义域为[一1,5]，部分对 8.如图2，曲线y 应值如表1，f(x)的导函 y=x(y≥0)上的点 数f'(x)的图像如图1所 A,(i=1,2,…,n,n∈ 示。下列关于函数f(x)的 图 N")与x轴非负半轴上 结论不正确的有()。 图2 的点B。,B,构成一系 表1 列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为 -10 245 △BoA1B1,△B1A2B2,…，△Bn-1AnBn(B。 f(z) 1 20 21 为坐标原点)。设△B,-1A,B,的斜边长为 A.函数f(x)的极大值点有2个 am,点Bn(bn,0),△B.-1AnBn的面积为S,, B.函数f(x)在[0,2]上是减函数 则下列说法中错误的是()。 C.若x∈[一1，t],f(x)的最大值是2， A.数列{an}的通项公式为an=2n 则t的最大值为4 B.数列{bn}的通项公式为bn=n2十1 D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有 C.S1+Sg+S3+…+S10=385 4个零点 4.数列{an}满足a1十2a2十3a3十…十 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， na,=2n-1(n∈N,n≥1)，则数列{a,} n+2的 共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 前9项和为( )。 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分 A1温 B.15 c号 72 选对的得部分分，有选错的得0分) D.55 9.下列有关数列的说法正确的是 5.已知S,是各项均为正实数的数列 ）。 {an}的前n项和，a1=1,a+1一an+1am一6a A.已知数列{an}为等差数列，若a1十 =0,若2S,an一man十27≥0，则实数m的取 a202s=2026,则a1o13=1013 值范围是( ）。 B.数列{a,}的通项公式为a,=n(n一 17 中学生数理化高数学名2026年2月 演练篇名校名师创新卷 1),则110是该数列的第11项 记数列{an}的前n项和为Sn,且S,=f(n)。 C.在数列1，√2，√3,2，√5，…中，第8个 (1)求数列{an}的通项公式； 数是2√2 2m-1 (2)设，=a.十a.十D,数列6， D.数列{an}的前n项和为S,,已知S 的前n项和为T,求证：T<2。 1 =一n十7n,则{an}是递增数列 10.已知数列{an}满足a1=一8，an+1一 an=2n一8，则()。 A.aa=-18 17.(本小题15分)设数列{an}的前n项 B.数列{an}的最小值为一20 C.数列{an}为递减数列 和为S,且S.=2a,-nm∈N): D.当an<0时，n的最大值为8 (1)证明：{a,十1}为等比数列； 11.设x1,x2,xg(x1<x2<xg)是函数 (2)求数列{(2n一1)·an}的前n项和 f(x)=e一ax”的三个零点，则()。 A.x2>2 以a>号 18.(本小题17分)已知函数f(x)= C.若x1,x2,x成等差数列，则一x1, (x-a)lnx-x。 x2x成等比数列 (1)若a=0。 D.若x1,x2,x成等差数列，则x一x ①求f(x)的最小值； =4ln(1+√2) @设m∈N,求证：++…十 3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， 共15分) 异"， 4 12.已知正项等比数列{an}中，a1=1, (2)设x1,x,(x1<x2)是f(x)的两个极 S=7,则a5=。 2 13.写出过坐标原点且与曲线y=e2相 值点，求证：x1十x2> 切的一条直线方程：一。 14.已知函数f(x)=e+r,g(x)= asin x,当x∈(0，π)时，f(x)的图像始终在 19.(本小题17分)已知函数f(x)= g(x)的图像上方，则实数a的取值范围是 xlnx一ax+1,a∈R。 (1)若a=0,证明：当x>1时，f(x) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 号+1. 15.(本小题13分)已知函数f(x)= (2)设f(x)有两个零点x1,x2,且x1 e-axe T2o (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 ①当2>2时，求a的取值范围； (0,f(0))处的切线方程； ②当x2>2时，证明：4a-4ln2<x1十 (2)讨论∫(x)的单调性。 16.(本小题15分)已知函数f(x)= a-1(a>0且a≠1)的图像经过点(1,1)， (责任编辑赵倩) 18