空间向量共面定理及推论的应用-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

夯基固本 空间向量共面定理及推论的应用 ■河南省商丘市夏邑县佳合高中 张振继（特级教师） 空间向量共面定理：如果两个向量 解析：(1)设AM=入AC(0<入< a,b不共线，那么向量p与向量a,b共 1),且AC=AB+AD+AA=2AE 面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x,y),使得p=xa+yb。 +3A正+AG,则AM=AAC 推论1：在空间中任意一点O和不 2A正+3a正+ad. 共线的三点A,B,C,则P,A,B,C四 点共面的充要条件是OP=xOA+ 已知M,E,F,G四点共面，由推 yOB+OC(其中x+y+之=1)。 3 2 论1得2以+3以+21=1，解得入 =1 推论2：若三个向量a,b,c不共 面，则xa十yb十zc=0台x=y=之=0。 故AM2 AC113 空间向量共面定理及推论，在解题 (2)因为x十y+(2-x-y)=2, 时起着重要作用，下面举例说明，供同 学们参考。 所以爱+苦+22之=1.分别延长 一、求参数的值 PA,PB,PC至点D,E,F,使得A, 例1(1)已知四棱柱ABCD B,C分别为PD,PE,PF的中点，则 A1B1C1D1的底面为平行四边形，E pi-PD+P呢+2？p脏. 2 为棱AB的中点，A京=AD,AG= 2GA1,且AC1与平面EFG交于点M, 因为+多+2上-1，所以 2 A山 M,D,E,F四点共面，AM的最小值 AC 即为点A到平面DEF的距离。 (2)在正三棱锥P-ABC中，PA= 又因为点A为PD的中点，所以 AB=3,若点M满足PM=xPA+ 点A到平面DEF的距离是点P到平 yPB+(2-x-y)PC,则AM的最小 面DEF的距离的一半。 值为( 易知PD=PE=PF=DE=DF= A.6 EF=6,可得点P到平面DEF的距离 5 C D.26 为2√6，故AM的最小值为√6，选B。 夯基固本 二、证明直线与平面平行 解析：设H为△ABC的重心（中 例2如图1，已知正方形ABCD和 心)，由正四面体的性质知DO= 正方形ABEF所在的平面相交于AB, M,N分别是BD,AE上的点，且AN= [2DH,其中VDAe2 X2=22 3 DM。求证：直线MN∥平面EBC。 A,B,C,H四点共面，由题意可 得Di-DA+D+Dc。 因为E,F,G,O四点共面，所以 D0=入1D2+入2DF+入3DC,A1+入2+ λ3=1。 图1 由已知得D0=λ1xDA+入2yDB 证明：M,N分别是BD,AE上的 DC. 2 + 点，且AE=BD,AN=DM,可设MD =λBD,ANV=λAE(0≤λ≤1)。 所以是(Di+号D店+Dc) 所以MN=MD+DA+AN= ABD-BC+AE=(BA+BC)-BC+ ADi+D成+号：D心，故 (BE-BA),MN =(-1)BC+ 1 1 3 λBE,故MN,BC,BE是共面向量。 4y ,入3= 8 又因为直线BC,BE确定平面 因此+右+-1+ EBC,而直线MN丈平面EBC,所以 MN∥平面EBC。 y当仅当 y 三、综合应用 4 例3已知正四面体ABCD的棱 工一y=5时取等号。 长为2，点O为其外接球的球心，点E, DE·DF·DG F,G满足DE=xDA,DF=yDB,DG 显然' VD-ABC DA·DB·DC -心，xy(0,1,点0在平面 xDA·DB.2DC 3 EFG上，则三棱锥D-EFG体积的最 DA·DB·DC 3y,所以VnE 小值为( ）。 ~4 、64√2 A.$® Bl6v② 9xy≥ 225。 9 25 故三棱锥D-EFG体积的最小值 64 C.225 64√2 D.225 为64② 7225,选D。（责任编辑徐利杰)