第1章 01 空间向量共线、共面的应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量共线、共面的定义、定理及应用，从疑难点切入课堂导入，通过“非零向量是前提”等破疑口诀衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以表格清晰呈现定义定理，结合破疑口诀强化记忆，通过四棱锥重心典例用向量运算证明线线平行和四点共面，培养数学思维的逻辑推理与数学眼光的空间观念。学生能提升空间想象与论证能力，教师可获得系统教学资源以提高教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 01　空间向量共线、共面的应用 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间中的共线向量、共面向量 共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线(平行)向量 共面向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 第1讲　描述运动的基本概念 2.空间向量共线、共面的有关定理 定理 内容 共线向量定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb 共面向量定理 向量p与两个不共线的空间向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒     1.零向量的方向是任意的,规定零向量与任意向量共线(平行). 2.数学中所研究的向量,它的起点和终点可以同时任意平行移动,被称为自由向量,故空间任意两个向量 都为共面向量. 破疑口诀    非零向量是前提,没它“唯一”不成立.系数λ,x,y应“唯一”,多解一定有问题. 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间向量共线、共面的应用 (1)共线向量定理可以证明三点共线,从而确定直线上的动点;也可以证明空间中两直线平行,进而证明 线面平行,面面平行. (2)共面向量定理可以证明四点共面,从而确定平面内的动点;也可以证明线面平行. (3)共线向量定理、共面向量定理既是判定定理又是性质定理,要灵活应用. 第1讲　描述运动的基本概念 2.证明空间三点共线的方法 对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论得出它们共线: (1)存在λ,使 =λ (λ∈R); (2)对空间任意一点O, = +t (t∈R); (3)对空间任意一点O, =x +y (x,y∈R,且x+y=1). 第1讲　描述运动的基本概念 3.证明空间四点共面的方法 对于空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论得出它们共面: (1)存在x,y,使 =x +y (x,y∈R); (2)对空间任意一点O, = +x +y (x,y∈R); (3)对空间任意一点O, =x +y +z (x,y,z∈R,且x+y+z=1); (4) ∥ (或 ∥ 或 ∥ ). 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.解决“点在直线上”“线线平行”问题,应注意空间中两个非零向量共线时,这两个向量所在的直线 可能平行,也可能重合,故向量共线≠点共线,因此利用向量共线证明“点在直线上”时,必须满足两向 量有公共点;证明“线线平行”时要说明其中一个向量所在直线上有一点不在另一向量所在直线上. 2.解决“共面”问题可依据“ =x +y (x,y∈R)”结合线性运算来进行. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,求证: (1)EF∥AC; (2)E,F,G,H四点共面.   第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨    (1)利用重心的性质:将中线分为长度比为2∶1的两部分,结合向量的线性运算证明 =λ  (λ∈R). (2)由这四点组建共起点的三个向量,证明其中一个向量可用另两个向量线性表示即可. 第1讲　描述运动的基本概念 证明　如图,连接PE,PF,PG,PH并延长,分别交AB,BC,CD,DA于点M,N,Q,R,   则M,N,Q,R分别为所在边的中点,连接MN,NQ,QR,RM,则四边形MNQR为平行四边形,连接MQ,EG,EH. 易知 =  , =  , =  , =  . (关键点:重心是三角形三条中线的交点,且重心将每一条中线分为长度比为2∶1的两段,其中从顶点到 重心的部分是较长的一段) (1) = - =  -  =  = ×  =  , 因为AC与EF不共线,所以EF∥AC. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)依题意得 = - =  -  =  = ( + )= ( - )+ ( - ) =  +  = + ,(要注意三个向量的起点是一致的)所以 与 , 共面,因 为EG,EF,EH有公共点E,所以E,F,G,H四点共面. 名师点睛　应用空间向量共线、共面的核心是“用向量关系翻译几何位置”,“翻译”时要选择合适 的向量参与运算,还要注意向量关系与几何关系的区别与联系,应用时不要漏掉关键条件. 第1讲　描述运动的基本概念 $