全称量词命题与存在量词命题型透析-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

名师在线 全称量词命题与存 ■陕西省洋县中 题型1：全称量词命题与存在量词 命题的判断 例1下列命题中的全称量词命 题是，存在量词命题是，真命 题是。（填序号） ①正方形是菱形；②有两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形；③有 的实数是无限不循环小数；④有些正整 数是偶数；⑤能被6整除的数也能被3 整除：⑥存在x∈，使得，十1了 >1 解：①正方形是菱形，是全称量词 命题，为真命题。②有两个角是45°的 三角形是等腰直角三角形，是全称量词 命题，是真命题。③有的实数是无限不 循环小数，是存在量词命题，是真命题。 ④有些正整数是偶数，是存在量词命 题，是真命题。⑤能被6整除的数也能 被3整除，是全称量词命题，是真命题。 ®仔在2长R,使得中>1，是存在 量词命题，是假命题。所以全称量词命 题是①②⑤，存在量词命题是③④⑥， 真命题是①②③④⑤。 点评：准确理解任意性和存在性的 量词特点，是区分全称量词命题与存在 量词命题最基本的着眼点。“对M中 40 在量词命题题型透析 学 彭玉花 任意一个元素x,卫(x)成立”，可用符 号简记为“Hx∈M,p(x)”;“存在M 中的元素x,使得卫(x)成立”，可用符 号简记为“]x∈M,p(x)”。 题型2：全称量词命题、存在量词 命题真假的判断 例2（多选题）下列命题中的真 命题是()。 A.存在实数xo,使得一2x+ x0+4=0 B.所有的素数都是奇数 C.至少存在一个正整数，能被5 和7整除 D.三条边都相等的三角形是等边 三角形 解：对于A,当x。=1+丽时， 4 一2x名十x。十4=0成立，A正确。对于 B,2是素数，但2不是奇数，B错误。 对于C,35和70均能被5和7整除，C 正确。对于D,显然三条边都相等的三 角形是等边三角形，D正确。应选 ACD。 点评：要判断一个全称量词命题为 真命题，需要进行推理证明，而要判断 其为假命题，只需举出一个反例即可。 判断存在量词命题“了x∈M,p(x)”的 真假性的关键是探究集合M中x的存 在性，若找到一个元素x∈M,使p(x) 成立，则该命题为真；若不存在x∈M, 使(x)成立，则该命题为假。 题型3：根据全称量词命题、存在 量词命题的真假求参数 例3(1)若命题p:Hx∈R,x2 2x十m≠0是真命题，则实数m的取 值范围是 (2)若命题“3x∈R,4x2十(a 2)x+←<0"是很命题，则实数a的取 值范围是。 解：(1)命题p:Hx∈R,x2-2x+ ≠0是真命题，等价于一元二次方程 x2一2x+m=0没有实数根，所以△= 4一4m<0,所以m>1,即实数m的取 值范围是(1，十∞)。 (2)因为命题“3x∈R,4x2+(a 2》x十}<0“是假命题，所以Yx∈R, 4x2+(a-2)x+4≥0恒成立，所以 A=a-2)2-4×4×≤0，解得0≤ a≤4，即实数a的取值范围是[0,4]。 点评：全称量词命题的常见题型是 “恒成立”问题，全称量词命题为真时， 其对应集合中的每一个元素都具有某 种性质。存在量词命题的常见题型是 以适合某种条件的结论“存在”“不存 在”“是否存在”等语句表述，解题时，一 般要先对结论作出肯定存在的假设，再 名师在线 从肯定的假设出发，结合已知条件进行 推理证明，若推出合理的结论，则存在 性随之解决；若导致矛盾，则就否定了 假设。 题型4：对含有一个量词的全称量 词命题的否定 例4已知命题力：Vx∈R,x2一 2m.x十m2-4=0,则7p为。 解：由题意知，一p为“了x。∈R, x6-2mx0十m2-4≠0”。 点评：对全称量词命题否定，先改 变量词，把全称量词换为恰当的存在量 词，再否定结论，将原命题中的“是”“成 立”等改为“不是”“不成立”等。 题型5：根据命题或命题的否定的 真假求参数 例5已知命题p:3x∈R,2x2+ (a-2)x+2<0,若力是假命题，则实 数a的取值范围是()。 A.（-∞，0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4) 解：因为p是假命题，所以一p: Yx∈R,2x2+(a-2)x+≥0为真 命题，所以△=(a-2)2-4×2×2 0,解得0≤a≤4。应选B。 点评：命题的否定与原命题的真假 总是对立的，即两者中有且只有一个为 真命题。 41