集合与常用逻辑用语题型突破-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

名师在线 集合与常用逻辑用语题型突破 ■江苏省无锡市青山高级中学 汪乐 张启兆 集合与常用逻辑用语是高中数学 二、充分条件与必要条件 的预备知识，也是衔接初高中数学的重 例2(1)王昌龄是盛唐著名的边 要桥梁。为帮助同学们精准把握核心 塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军 概念、熟练掌握解题方法，下面精选典 行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城 型例题，系统梳理含参运算、充要条件 遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼 及量词应用这三类常见题型，帮助同学 兰终不还。”由此推断，其中最后一句 们夯实基础，提升思维能力。 “攻破楼兰”是“返回家乡”的()。 一、含参数的集合运算 A.充分不必要条件 例1已知集合A={x|x2-ax B.必要不充分条件 十4>0}，B={x|b+2<x<2b},若 C.充要条件 1∈A,2￠A,则a的取值集合为C。 D.既不充分也不必要条件 (1)求集合C。 (2)(多选题)“集合A={(x,y) (2)若CU(CRB)≠R,求实数b 3x2+y2<a,x∈N,y∈N}只有3个真 的取值范围。 子集”的充分不必要条件是( )。 解：(1)因为1∈A,2在A,所以 A.1<a<4 B.1<a≤3 12-a+4>0, a<5, 解得 所以集合 22-2a+4≤0， a≥4， C.1<a≤2 D4<9 C={a|4≤a<5}。 解：(1)根据诗句可知，作者想表达 (2)若CU(CRB)≠R,则B≠⑦， 的是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”， 所以b+2<2b,即b>2。所以CRB= 但并没有表明“攻破楼兰”后就一定会 (-∞，b+2]U[2b,+∞)。要使CU “返回家乡”，所以“攻破楼兰”←“返回 (CRB)≠R,需满足b+2<4或2b>5, 家乡”，即满足必要性。而“返回家乡” 解得b<2或b> 故实数b的取值 不一定是“攻破楼兰”的唯一结果，如 “驻守楼兰”等，即不满足充分性。所以 范是>引 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充 评注：解答本题的关键是将元素与 分条件。应选B。 集合的关系转化为不等式组，但要注意 (2)因为集合A只有3个真子集， 端点值的取舍。 所以集合A中有且只有2个元素。已 38 名师在线 知x∈N,y∈N,当x=0,y=0时，3x2 a<2, a≥2；当力为假q为真时，由 解 +y2=0;当x=0,y=1时，3x2+y2= a<1, 1;当x=1,y=0时，3x2+y2=3。因 得a<1。 为集合A中只有2个元素，所以1< 综上所述，实数a的取值范围为 a≤3，所以选项C和D中的取值范围 (-∞，1)U[2,+∞)。 符合充分不必要条件。应选CD。 评注：求解(1)问需要将全称命题 评注：判断(1)问需准确理解诗句 转化为最值不等式；求解(2)问需要分 中的逻辑关系；求解(2)问关键在于由 类讨论a=0和a≠0的情况，并注意 真子集个数反推集合中元素的个数，再 “有且只有一个为真命题”的两种情况。 结合充分不必要条件的概念进行取值 范围的判断。 感悟写收一 1.“方程x2-2mx十m=0至多有 三、全称量词与存在量词 一个实数解”的一个必要不充分条件是 例3已知命题p:Hx∈[1,3]， x≤a十1恒成立；命题q:3x∈R,使 “m a十1”，则实数a的取值范围是 得ax2-2x+1<0成立。 (1)若p为真命题，求实数a的取 提示：由方程x2-2mx+m=0至 值范围。 多有一个实数解得△=(-2m)2-4m (2)若饣，q有且只有一个为真命 题，求实数a的取值范围。 ≤0，解得0≤m≤1。由题意得十1 2 解：(1)由p为真命题，可得a十 1,解得a>1,故实数a的取值范围为 1≥3，即a≥2，所以实数a的取值范围 {ala>1}。 为{a|a≥2}。 2.设A,B是R的两个子集，定 (2)当q为真命题时需分情况讨 义：m= 0,A,,B, n= 对于 论。当a=0时，由一2x+1<0,可得 1,x∈A,1,x∈B, x>2,满足题意；当a<0时，ax2 任意x∈R,m十n=1。若A={1,2, 3},则用描述法表示集合B= 2x+1<0总有解；当a>0时，由△= 提示：对于任意x∈R,m十n=1, 4-4a>0,可得0<a<1。故当q为真 则m,n的值一个为0，另一个为1，即 命题时，实数a的取值范围为 若x∈A,则必有x庄B;若x庄A,则必 {ala<1}。 有x∈B,所以A,B的关系为A 已知p,q有且只有一个为真命 CRB。又A={1,2,3},则B={x| a≥2， 题，当力为真g为假时，由 、，解得 x∈R,x≠1，x≠2，x≠3}。数 a≥1， 39