常用逻辑用语易错点分类精讲-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

错解制析 常用逻辑用语易错点分类精讲 ■广东省深圳市南头中学 田彦武 常用逻辑用语是高中数学逻辑推 两根为x1,x2,由两根均为正实数，可 理的基础，在全称与特称命题否定、复 得x1十x2=4>0,x1x2=m>0,故p 合命题联结词变换、充分与必要条件判 为假命题时，m≤0。 定中，同学们容易出现规律性错误。下 当q为真命题时，存在x≥一3使 面将围绕两大易错点，剖析错解原因， x≤一1-m,需满足-1一m≥-3，解 规范解题方法。 得m≤2，故g为假命题时，m>2。 一、命题否定易错：且与或变换 因为p,q均为假命题，所以取并 失误 集得m≤0或m>2。 对含有全称、存在量词的命题进行 综上所述，实数m的取值范围为 否定时，需要互换量词并否定结论。对 {m|m≤0或m>2}。 复合命题进行否定时，应遵循“且变或， 错因分析：①逻辑关系出错，“p,q 或变且”的规则。遇到依托方程、不等 均为假命题”等价于p假且q假，应该 式设置的含参数命题，常规思路为先求 取交集，而不是取并集；②判断p的真 出原命题为真时的参数范围，再取补集 假时遗漏一元二次方程判别式的约束， 得到命题为假时的取值。 p成立不仅需要两根之积大于0，还需 例1已知命题p:关于x的方程 要△=16-4m>0。 x2一4x十m=0有两个不相等的正实 正解：若p,q均为假命题，则一p 数根，命题q:3x≥-3，x十1十m≤0。 与q均为真命题。 若p,q均为假命题，求实数m的取值 若p是真命题，则需满足 范围。 △=16-4m>0 解得0<m<4,故一p 错解：当饣为真命题时，设方程的 m>0, (2)若Hx∈[-1,3]，f(x)≥ 19.(1)设关于x的方程tx2+（1 mx2,求实数m的取值范围。 一t)x+t一1=0有两个不相等的实数 18.已知关于x的不等式ax2+ 根x1,x2。①求实数t的取值范围； 2ax+1≥0对于Hx∈R恒成立. ②若x号+x?=3,求t的值。 (1)求实数a的取值范围。 (2)求关于x的不等式tx2+(1 (2)在(1)的条件下，解关于x的 t)x+t一1<t(t为常数且t∈R)的解 不等式x2-x-a2+a<0。 集。® 34 错解制析 为真命题等价于力为假命题，所以 错因分析：上述解法的结果虽然正 m≤0或m≥4。 确，但解答过程是错误的。错解误认为 由题意知，g为真命题等价于y= “x∈B是x∈A的必要不充分条件” x+1+m在[一3，+o∞)上的最小值小 等价于“A二B”,事实上应该等价于 于或等于0，所以一3十1十m≤0，解得 “A军B”,同时还要分A=⑦和A≠ m≤2，故q为真命题等价于q为假命 两种情况进行讨论。 题，所以m>2。 正解：已知A={x|a一1≤x≤3 综上所述，若p,q均为假命题，则 2a},B={x|-2≤x≤4}，由x∈B是 m≤0或m≥4， x∈A的必要不充分条件，可得A二B 解得m≥4，所以实数 m>2, 且A≠B,即AB(若A=B,则为充 m的取值范围是{mm≥4}。 要条件，与“不充分”矛盾)。 二、充分与必要条件易错：集合包 当A=☑时，由a-1>3-2a,解 含关系混淆 “x∈A是x∈B的充分条件”等 得a>3,满足题意。 价于“A二B”;“x∈A是x∈B的充分 当A≠0时，要使A三B,需满足 不必要条件”等价于“A手B”;“x∈A a-13-2a, 是x∈B的必要不充分条件”等价于 a-1≥-2， 解得 长a “B军A”。解题时，首先要将已知条件 3-2a≤4， 转化为集合的包含关系，注意端点是否 另外，当集合A=B时，需满足 相等，并优先考虑空集的情况。 a=-1, a-1=-2, 例2已知集合A={x|a-1≤ 解得 1这时无解， 3-2a=4, a=- x≤3-2a},B={x|x2-2x-8≤0}。 2 若x∈B是x∈A的必要不充分条件， 故x∈B不会是x∈A的充要条件。 求实数a的取值范围。 综上新述，实数a的取值范围为 错解：已知A={x|a-1≤x≤3 1 aa≥-2} 2a},B={x|-2≤x≤4}，由x∈B是 总结：在常用逻辑用语的学习中， x∈A的必要不充分条件，可得A二B, 同学们若能掌握正确的解题策略，并养 a≥-1， 所以 a-1≥-2， 即 成分类讨论、代回验证的习惯，就能有 3-2a≤4， a≥一1解得 2 效规避常见错误，为后续的函数、不等 a≥- 2,所以实数。的取值范围为 式等知识的学习奠定扎实基础。希望 同学们在学习中不断反思，逐步提高， 将“易错”变为“易对”。 35