集合与常用逻辑用语学习导引-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

夯基固本 集合与常用逻辑用语学习导引 ■河南省开封高级中学 张文伟赵昆 集合是研究数学问题的基础和工 组成的点集，故M≠P。应选ABD。 具，是每年高考的必考内容之一。下面 跟踪训练1：（多选题）非空集合A 详细介绍集合与常用逻辑用语的知识 具有如下性质：①若x,y∈A,则工∈ 要点和常考题型，旨在帮助同学们构建 完整的知识体系，提高解题效率。 A;②若x,y∈A,则x+y∈A。现有 要点一：集合的含义与表示 下列四个判断，其中正确的是( )。 解决集合含义问题的关键：确定集 A.-1A 合中的代表元素；确定元素的限制条 2025 A 件；理解元素的互异性。在解决含参数 B.2026 C.若x,y∈A,则xy∈A 集合问题时，一定要代回检验，防止出 D.若x,y∈A,则x-y∈A 现元素重复，与互异性相矛盾。 提示：因集合A非空，故任取∈ 例1（多选题）下列各组中M,P 表示不同集合的是( )。 A,令x=y=k,则工=1∈A。对于 A.M={3,-1},P={(3,-1)》 A,假设-1∈A,取x=一1，y=1,则 B.M={(3,1)},P={(1,3)} x十y=0∈A。取x=-1,y=0,这时 C.M={y|y=x2+1,x∈R}, P={x|x=t2+1,t∈R 没意义，且与‘∈A矛盾，所以假设 2 2 D.M={y|y=x2-1,x∈R}, 一1∈A不成立，则一1在A,A正确。 P={(xy)ly=x2-1,x∈R} 对于B,由1∈A得1+1=2∈A,2+ 解：A中，M={3,一1}是数集， 1=3∈A,…,2025∈A,2026∈A,所 P={(3,一1)}是点集，元素类型不同， 0 ∈A,B正确。对于C,由1∈ 故M≠P。B中，(3,1)与(1,3)表示不 同的点，故M≠P。C中，M={y|y= A,x∈A得1∈A,因为y∈A,1∈ x2+1,x∈R}=[1,+o∞)，P={x x=t2+1,t∈R}=[1,+∞)，故M= A,所以兰-xy∈A,C正确。对于D, P。D中，M是二次函数y=x2-1, x∈R的所有y组成的数集，而P是二 由1∈A,2∈A,令x=1,y=2,则x一 次函数y=x2一1，x∈R图像上所有点 y=一1在A,D错误。应选ABC。 务基固木 要点二：集合间的基本关系 或m=-1或m=1。应选BCD。 空集是任何集合的子集，在涉及集 要点三：集合的交、并、补集运算 合关系的问题中，必须考虑空集的情 涉及集合的交、并、补集运算问题， 况，否则容易造成漏解。已知两个集合 如果集合中的元素是离散的，那么可用 间的关系求参数的关键是将已知条件 Venn图表示；如果集合中的元素是连 转化为元素或区间端点间的关系，进而 续的，那么可用数轴表示，此时要注意 转化为参数所满足的关系，常用数轴或 端点的情况。 Venn图来直观解决这类问题。 例3设全集U=Z,集合M 例2已知全集U=R,集合A,B (xx=3k+1,kEZ),N=xx=3k 满足A二(A∩B),则下列关系一定正 +2,k∈Z},则C(MUN)为()。 确的是( ）。 A.{x|x=3k,k∈Z A.A=B B.{x|x=3k-1,k∈Z} B.B二A C.{x|x=3k-2,k∈Z C.A∩(CB)=☑ D.0 D.(CA)∩B= 解：（方法1）由题意得M={…, 解：由集合A,B满足A三(A∩ -2,1,4,7,10,…},V={…,-1,2,5, B)得A二B。对于A,当A是B的真 8,11,…},所以MUN={…,-2, 子集时，A=B不成立。对于B,当A -1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以 是B的真子集时，B二A不成立。对于 Cw(MUV)={…,-3,0,3,6,9,…}, C,A∩(CB)=必恒成立。对于D,当 其元素都是3的倍数，所以Cu(MU A是B的真子集时，(CA)∩B=⑦不 N)={x|x=3k,k∈Z}。应选A 成立。应选C。 (方法2)集合MUN表示被3除 跟踪训练2：（多选题）已知集合M 余1或2的整数集，则它在整数集中的 ={-1,1},N={x|mx=1},且Ng 补集Cu(MUN)恰好是被3整除的整 M,则实数m的值可能为()。 数集。应选A。 A.-2B.-1C.0 D.1 跟踪训练3：设集合A={xx< 提示：当N=⑦时，满足N二M, a2},B={x|x>a},若A∩(CRB)= 此时m=0;当N≠时，m≠0，由mz A,则实数a的取值范围为()。 =1得x=】。因为VCM,所以 A.[0,1] 17m B.[0,1) -1或2-1。当2=-1时，m=-1: C.(0,1) 7 m D.(一∞，0]U[1,+∞) 当1=1时，m=1。综上所述，m=0 m 提示：由B={x|x>a}得CRB 夯基固本 {xlx≤a}。因为A∩(CRB)=A,所 空集合B没有相同元素，充分性不成 以A二CRB。又A={x|x<a2},所以 立。所以“A∩B=必”是“A=心或 a2≤a,解得0≤a≤1，即实数a的取值 B=心”的必要不充分条件。应选C 范围为[0,1]。应选A。 (2)已知p:x≤1，q:x≤a,若p 要点四：充分条件、必要条件及充 是q的必要不充分条件，则（一∞，a] 要条件的判断 (一c∞，1]，所以a<1,即实数a的取值 充分条件、必要条件的三种判断方 范围是（一∞，1）。 法：定义法，根据p→q,9→p是否成立 若p是g的必要条件，则（一∞， 进行判断；集合法，根据p,q成立对应 a]三(-∞，1]，所以a≤1，即实数a的 的集合之间的包含关系进行判断；等价 取值范围是(-∞，1]。 转化法，对题目所给的条件进行一系列 跟踪训练4：已知a:一1<x<0, 的等价转化，简化后再判断充分、必要 B:m一1<x<一3m,若a是B的充分 条件是否成立。若p→q,则称p是q 不必要条件，则实数m的取值范围是 的充分条件，q是p的必要条件；若 p台q,则称p是q的充要条件；若p→ 提示：因为α是3的充分不必要条 q,且q本p,则称p是q的充分不必要 件，所以{x|一1<x<0}是{x|m一1< 条件；若p力q,且q→p,则称p是q的 x<一3m}的真子集。由此可得 必要不充分条件；若p为q,且q力p,则 m-1≤-1， (两不等式不同时取等 称力是q的既不充分也不必要条件。 -3m≥0 例4(1)设A,B是两个集合，则 号)，解得m<0,所以实数m的取值范 “A∩B=⑦”是“A=0或B=财”的 围是(-∞，0)。 ()。 要点五：含量词命题的解题策略 A.充要条件 判定全称量词命题是真命题，需证 B.充分不必要条件 明都成立；判定存在量词命题是真命 C.必要不充分条件 题，只要找到一个成立即可。当一个命 D.既不充分也不必要条件 题的真假不易判断时，可先判断其否定 (2)已知p:x≤1，q:x≤a。若p 的真假。由命题的真假求参数范围的 是q的必要不充分条件，则实数a的取 两种思维方法：一是直接由命题的真假 值范围是；若p是q的必要条件， 求参数的范围，二是利用等价命题求参 则实数a的取值范围是 数的范围。 解：(1)若A=0或B=0,则A∩ 例5(1)若命题“3x∈R,使得 B=,必要性成立。若A∩B=心， x2一x一m=0”是真命题，则实数m的 则A=必或B=心或非空集合A与非 取值范围是( ）。 8 务基固木 Am-<m0 |x十1|=0<1，即力是假命题，则p 是真命题。对于命题q,取x=1,则 B.m0≤m≤ x3=13=1=x,即q是真命题，则7g 是假命题。综上可得，一p和g都是真 Cmm≥- 命题。应选B。 D. 感体与限司一 1.已知命题p:Ha∈R,一元二次 (2)已知命题“]x∈R,使得ax 方程x2-ax十1=0有实根。若一饣是 一ax+1≤0”是假命题，则实数a的取 真命题，则实数a的取值范围是 值范围是( ）。 )。 A.(0,4) B.[0,4) A.（-∞，-2) B.(-2,2) C.(0,4] D.[0,4] C.(-4,4) D.（-2,4) 解：(1)因为“3x∈R,使得x2 提示：命题p:Ha∈R,一元二次 x一m=0”是真命题，所以△=1一4× 方程x2一ax十1=0有实根，若一p是 (-m)≥0，解得m≥-，应选C 真命题，则饣是假命题，所以一元二次 (2)由命题的真假得不等式a.x2- 方程x2一ax十1=0没有实根，即△ a.x+1>0对Hx∈R恒成立。 a2一4<0，解得-2<a<2,所以实数a 当a=0时，不等式1>0在R上 的取值范围是（一2,2）。应选B。 恒成立，符合题意；当a≠0时，若不等 2.现有下列五个式子：①a二{a, 式a.x2-ax+1>0对Hx∈R恒成立， ②二{a},③{a}∈{a,b},④{a}□ 则/>0， {a},⑤a∈{b,c,a}。其中正确的是 解得0<a<4。 △=a2-4a<0, ( )。 综上可得，实数a的取值范围是 A.②④⑤ B.②③④⑤ [0,4)。应选B。 C.②④ D.①⑤ 跟踪训练5：已知命题p:Hx∈R, 提示：a是集合{a}中的元素，应表 |x+1|>1,命题q:3x>0,x3=x,则 示为a∈{a},①错误。0是不含任何 ()。 元素的集合且☑是任意集合的子集，所 A.p和q都是真命题 以⑦二{a},②正确。“∈”用于元素与 B.一p和q都是真命题 集合的关系，③错误。任意非空集合是 C.p和q都是真命题 其本身的子集，所以{a}三{a},④正 D.一p和q都是真命题 确。a是集合{b,c,a}中的元素，⑤正 提示：对于命题力，取x=一1，则 确。应选A。蝨