运用基本不等式求最值的四种策略&一元二次函数、方程和不等式解法精讲-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

解题锦囊 运用基本不等式求最值的四种策略 ■江苏省昆山中学 张怡文 策略一：直接套用，构造定值方程 例1已知x>0,y>0,且2x+y 等号成立。答案为 十6=xy,则xy的最小值为。 策略三：多次连用，分步配凑定值 点拨：先利用基本不等式对式子进 例3已知x>0,y>0,则x十 行放缩，再通过换元转化为一元二次不 y+16 的最小值为。 xy 等式求解。 点拔：分两次使用基本不等式进行 解：由x>0,y>0,可得xy= 放缩，进而求出最小值。 2x+y+6≥2W2xy+6,当且仅当2x 解：因为x>0,y>0,所以x十 =y时等号成立。令xy=t2,即t= √xy>0,可得t2-2√2t-6≥0，即(t +16=x+y+16≥x+8y≥ x xy xy ry -3√2)(t+√2)≥0，结合t>0得t≥ 22.8过=42，当且仅当x=22, 3√2，所以xy≥18，当且仅当x=3, xy y=6时等号成立。答案为18。 y=4时等号成立。答案为4√2。 策略二：整体换元，简化分式结构 策略四：拆分变形，配凑积为定值 例2已知x>0,y>0,且x+y 员4已知>2.则2+3的 x-2 -6则行十并的最小值为 最小值为 点拔：对分母整体换元，结合已知 ,点拨：对分式进行拆分变形，构造 条件，利用基本不等式求最值。 出积为定值。 解：已知x>0,y>0,令a=x十1， 解：由x>2,可得x-2>0,所以 b=y+1,则a>1,b>1,a+b=8。故 x2-2x+3x(x-2)+3 6-+-2+6+ x-2 x-2 =x-2+ 1 b x-2 十2≥2 /(x-2).3 -2 十2= -2=8-4+安（日+2》a+6)=4+ 3 23+2,当且仅当x-2= 5++≥4+2+28 x2,即 x=√3十2时等号成立。答案为2√3十 当且仅当a=b=4,即x=y=3时 9 2。® 26 解题锦囊 一元二次函数、方程和不等式是高 中数学的核心内容之一，贯穿高中函数 知识体系。下面梳理三类经典解题方 一元二次函数、 法，结合例题进行阐述，供同学们参考。 方程和不等式解法精讲 一、构造乘积法 ■安徽省马鞍山市和县第二中学 例1已知正实数x,y满足 x+1 王伟 1 +十2y1,求2x+y的最小值。 求+a+ 的最小值。 ab 点拨：本题条件复杂，可先利用待 点拨：先利用a十b=1,将原式化 定系数法对目标式进行配凑，再通过整 为齐次式，再利用基本不等式求最值。 体换元，构造出可使用基本不等式的乘 解：由a十b=1,可得+a+1。 ab 积结构，进而求出最值。 b2+a(a+b)+(a+b) 解：设x+1=a,x+2y=b,则 26+ 2a十 ab x=a-1,y=-a+1 ,且a>0,b>0, 26 2a 2 3≥2 a b +3=7,当且仅当2 。+1=1所以2x+y=2(a-1)h 、a,即a=b= 2时等号成立，所以 b-a+1_3a+b_ b2+a+1 2 2 2。因为3a+6 的最小值为7。 ab (a十)日+2)=4++≥4+ 三、参数分离法 例3已知关于x的不等式x2 ,名=4+2，当且仅当2 ax+1>0对一切x≥0恒成立，求实 2b a 数a的取值范围。 ,即a=3+5,b=5+1时等号成 点拔：按自变量范围进行分类讨 论，分离参数后结合基本不等式确定取 立，所以2x+y≥4+23 3 值范围。 2 解：将原不等式转化为x2十1> 2+即2z+y的最小值为 ax。当x=0时，不等式恒成立；当x>0 23+1 时，可得a<x+,因为x+≥2（当且 2。 仅当x=1时等号成立)，所以a<2。 二、齐次化法 综上所述，实数a的取值范围为 例2正实数a,b满足a+b=1, (一∞，2)。® 27