“一元二次函数方程和不等式”综合检测题-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

学以致用 “一元二次函数、方程和不等式”综合检测题 ■河南省开封高级中学 王国平（特级教师） 一、单选题 C.m≤-1或m≥3 1.已知a>b,则下列不等式一定 D.m≤-3或m≥1 成立的是( )。 5.已知a为常数且a≠0，函数 f(x)=(ax-1)(x-a)。甲同学： B.2“>2b f(x)>0的解集为（一o∞，a)U C.a2>b2 D.a>b 2.已知a,b,x均为实数，则下列 (日十：乙同学：/x)<0的解集为 不等式一定成立的是( )。 (-∞，a)U(月，+∞：丙同学：f(x) A.若a<b,则a2026<b2026 存在最小值。在这三个同学的论述中， B.若a<b,则 0262026 6 只有一个是错误的，则a的取值范围为 C.若a.x2026<bx2026,则a<b ( ）。 D.若a<b,则ax2026<bx2026 A.a<-1 B.-1<a<0 3.A,B,C,D四名同学的年龄关 C.0<a<1D.a>1 系如下：A,C的年龄之和与B,D的年 6.已知x>0,y>0,2x十y=xy 龄之和相同，C,D的年龄之和大于A, 一1，则x+y的最小值为( )。 B的年龄之和，B的年龄大于A,D的 A.3 B.1 年龄之和，则A,B,C,D的年龄关系 C.23 D.23+3 是()。 7.已知x>0,3y>0,1+4 2 =2,且 A.B>C>A>D x十y≥m恒成立，则实数m的取值范 B.B>C>D>A 围为( C.C>B>A>D D.C>B>D>A A.（-∞2 B.(-∞，9] 4.若命题“3x∈R,-x2-2mx十 2m一3≥0”为真命题，则实数m的取 D.[9,+∞) 值范围是( )。 8.中国南宋著名数学家秦九韶曾 A.-1≤m≤3 提出“三斜求积术”，即假设在平面内有 B.-3≤m≤1 一个三角形，其三条边长分别为a,b, 32 学以致用 c,则三角形的面积S可由公式S= A.Lo.5(a,b)≤A(a,b) √p(p一a)(p-b)(p-c)求得，其中 B.Lo(a,b)≥G(a,b) p为三角形周长的一半。已知△ABC C.L2(a,b)≥L1(a,b) 的周长为12，c=4,则此三角形面积最 D.Lm+1(a,b)≤Ln(a,b) 大时，A等于()。 三、填空题 A.30°B.45°C.60°D.90 12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈ 二、多选题 R),则x2+y2的最小值是 9.已知x>0,y>0,且2x+y=1, 13.已知函数f(x)=a.x2+2x十b 的值域为[0，+∞)，其中a>b,则 若mzy≤x十2y恒成立，则实数m的 m-1 a2+b2 的最小值是 可能取值为( ）。 a-b 14.设集合A={x∈Nx3<150}, A司 9 B.8 17 C.3 D.16 B={x|-x2+(4a+2)x-3a2-6a> 10.若关于x的不等式ax2+bx十 0},则A的真子集个数为；若集合 c<0的解集为（一1,2），则下列结论正 A∩B中只有2个元素，则实数a的取 确的是( ）。 值范围是 A.a<0 四、解答题 B.关于x的不等式bx+c>0的 15.已知x>0,y>0,且x+2y+ 解集为（一∞，一2） xy=30。 C.4a-2b+c>0 (1)求xy的最大值。 D.关于x的不等式x2一bx十 (2)求2x+y的最小值。 16.设函数f(x)=x2-a.x十b。 2>0的解集为(-1，》 (1)若不等式f(x)<0的解集是 11.设a,b为两个正数，定义a,b {x|1<x<4,求不等式bx2-a.x+ 2几何 的算术平均数为A(a,b)=a十 1>0的解集。 (2)若f(-2)=8,m2-3m-8≥ 平均数为G(a,b)=√ab,则G(a,b)≤ ab对于任意的正数a,b恒成立，求实 A(a,b),这是我们熟知的基本不等式。 数m的取值范围。 20世纪50年代，美国数学家D.H. 17.设一元二次函数f(x)=ax Lehmer提出了“Lehmer均值”，即 十bx十3，关于x的不等式f(x)>0的 Lp(a,b)=_aPtbe 解集为(-3,1)。 a-1+b,其中力为有理 (1)求不等式x2+a.x+b>0的 数。下列关系式正确的是()。 解集。 33 错解制析 常用逻辑用语易错点分类精讲 ■广东省深圳市南头中学 田彦武 常用逻辑用语是高中数学逻辑推 两根为x1,x2,由两根均为正实数，可 理的基础，在全称与特称命题否定、复 得x1十x2=4>0,x1x2=m>0,故p 合命题联结词变换、充分与必要条件判 为假命题时，m≤0。 定中，同学们容易出现规律性错误。下 当q为真命题时，存在x≥一3使 面将围绕两大易错点，剖析错解原因， x≤一1-m,需满足-1一m≥-3，解 规范解题方法。 得m≤2，故g为假命题时，m>2。 一、命题否定易错：且与或变换 因为p,q均为假命题，所以取并 失误 集得m≤0或m>2。 对含有全称、存在量词的命题进行 综上所述，实数m的取值范围为 否定时，需要互换量词并否定结论。对 {m|m≤0或m>2}。 复合命题进行否定时，应遵循“且变或， 错因分析：①逻辑关系出错，“p,q 或变且”的规则。遇到依托方程、不等 均为假命题”等价于p假且q假，应该 式设置的含参数命题，常规思路为先求 取交集，而不是取并集；②判断p的真 出原命题为真时的参数范围，再取补集 假时遗漏一元二次方程判别式的约束， 得到命题为假时的取值。 p成立不仅需要两根之积大于0，还需 例1已知命题p:关于x的方程 要△=16-4m>0。 x2一4x十m=0有两个不相等的正实 正解：若p,q均为假命题，则一p 数根，命题q:3x≥-3，x十1十m≤0。 与q均为真命题。 若p,q均为假命题，求实数m的取值 若p是真命题，则需满足 范围。 △=16-4m>0 解得0<m<4,故一p 错解：当饣为真命题时，设方程的 m>0, (2)若Hx∈[-1,3]，f(x)≥ 19.(1)设关于x的方程tx2+（1 mx2,求实数m的取值范围。 一t)x+t一1=0有两个不相等的实数 18.已知关于x的不等式ax2+ 根x1,x2。①求实数t的取值范围； 2ax+1≥0对于Hx∈R恒成立. ②若x号+x?=3,求t的值。 (1)求实数a的取值范围。 (2)求关于x的不等式tx2+(1 (2)在(1)的条件下，解关于x的 t)x+t一1<t(t为常数且t∈R)的解 不等式x2-x-a2+a<0。 集。® 34参老搭架 一元二次函数、方程和不等式”综合检测题 6 参考答案与提示 一、单选题 的论述正确，则a<0且a<,即a< 1.提示：取a=1,b=一2，满足 a>6,显然>分a<6,a1<61 一1。若丙同学的论述正确，则二次函 数f(x)的图像开口向上，即a>0。因 即A,C,D都不正确。y=2x为增函数， 为只有一个同学的论述是错误的，所以 若a>b,则2>2，B正确。应选B。 只能是乙同学的论述错误，所以a的取 2.提示：当a=一2，b=1时， 值范围为0<a<1。应选C。 (-2)2026>12026,A错误。当a=0时， 6.提示：由题设得(x一1)(y-2) 2026无意义，B错误。由ax2s< =3(x>1,y>2)。设a=x-1>0,b a =y-2>0,则ab=3,所以x+y=a十 bx2026得x2026>0,所以a<b,C正确。 b+3≥23+3，当且仅当a=b=√3， 当x=0时，a.x2026<bx2026不成立，D 即x=√3十1，y=3+2时等号成立，所 错误。应选C。 以x十y的最小值为2√3十3。应选D。 3.提示：用A,B,C,D表示A,B, C,D四名同学的年龄，则A>0,B> 7桃示：+安+号 0,C>0,D>0,可得①A+C=B+D, 1。因为x>0,y>0,所以x+y=(x+ ②C+D>A+B,③B>A+D。①+ ②得C>B,由③得B>A,B>D,由 -+云+华当日 ①得C一B=D一A。因为C>B,所 仅当，=，即y=2x=3时等号成 以C一B>0,所以D-A>0,所以D> 立，所以(x+y)m=2。由x+y≥m 9 A。综上得C>B>D>A。应选D。 4.提示：由题意知x2十2mx一2m +3≤0有解。设函数f(x)=x2十 恒威立得m《+m-号应选A. 2mx一2m+3,要使不等式f(x)≤0 8.提示：由题意得a十b=8,c=4, 有解，则△=4m2-4(-2m+3)≥0，解 p=6,所以S=√12(6-a)(6-b)≤ 得m≤-3或m≥1。应选D。 v12×6-a+6-b 2 =43,当且仅当 5.提示：若甲同学的论述正确，则 a=b=4时等号成立，此时△ABC为 a>0且1>a,即0<a<1。若乙同学 a 等边三角形，则A=60°。应选C。 45 参老答架 二、多选题 a2+b2+a2+b2 a2+62+2ab 9.提示：由x>0,y>0得xy>0。 2(a+b) 2(a+b) 由0号+2y恒成立，可得”≤ a+b =L1(a,b),当且仅当a=b时等 2+恒成立。因为2+-(十 号成立，C正确。当n=1时，由C知 y L2(a,b)≥L1(a,b),D错误。应选 2x+y=5+2+号9.当且仅 ACo 三、填空题 当=)=号时等号成立，所以”≤ 12.提示：因为5x2y2+y=1,所 9,即一8m十9≤0，解得m<1或m≥ 以3y≠0且x2=1,所以x+y2一 m-1 1 8。应选ABC 行，当且仅当1一4 5,即 10.提示：由题意得a>0且一1,2 x2- 10y2 3 时等号成立，所以x2十 2 是方程ax2十bx十c=0的两根，A不 正确。由韦达定理得b=一a,c= y的最小值为子 -2a,则bx+c>0可转化为-a.x-2a 13.提示：由函数f(x)=ax2+2x >0,即x+2<0,解得x<-2,B正 十b的值域为[0，+c∞)，令a.x2+2x+ 确。4a-2b+c=4a+2a-2a=4a> △=4-4ab=0, 0,C正确。cx2一bx十a>0可转化为 b=0,可得 解得ab=1 -2ax2+ax+a>0,即2x2-x-1< a>0, 0,解得二)x,D不正确。应选C 且a>0。 因为a>6,所以 a-b (a-b)2+2ab 2 11.提示：Lo.5(a,b)= Ja+B =(a-b)+ a-b a-b 1,1 22,当且仅当a-b=√2且ab=1,即 a =A(a,b),当且仅当a=b 6十2.6-6,2时等号成立， 2 2 时等号成立，A正确。L。(a,b)= 所以所求的最小值为2√2。 2ab 2ab =√ab=G(a, 14.提示：由题意得A={x∈Nx3 + a+b 2/ab <150}={0,1,2,3,4,5},则A的真子 b),当且仅当a=b时等号成立，B错 集个数为26-1=63。B={x|-x2+ (4a+2)x-3a2-6a>0}={x|(x 误。对于C,L2（a,b)= a2+b2 a+b 3a)(x-a-2)<0},当3a>a+2,即 46 参老搭架 a>1时，B={x|a+2<x<3a},由集 程x2一ax十b=0的两个实根，由韦达 合A∩B中只有2个元素，结合a十 定理得a=5,b=4,所以不等式bx2 2>3,可知这2个元素为4,5，则 ax+1>0为4x2-5x+1>0,解得 3<a+2<4, 3a>5, 解得号<a<2:当a x<或x>1,则所求不等式的解集为 a+2,即a=1时，B=,不符合题意； xx<或x>1 当3a<a+2,即a<1时，B={x|3a< x<a+2},此时a十2<3，集合A∩B (2)f(-2)=4+2a+b=8,即2a 中的2个元素为1,2或0,1，则 十6=4，所以6-号·286≤}， 2<a+2<3, 1<a+2≤2， 或 解得 0≤3a<1 3a0, 2)°=2，当且仅当2a=6,即a 0<< 3或-1<a<0。综上，a的取 1,b=2时等号成立，则ab的最大值为 2。要使m2-3m一8≥ab对于任意的 值范用是-1<a<0或0<a<写或 .5 正数a,b恒成立，则需m2-3m-8≥ <a<2。 (ab)mx=2,所以m2-3m-10≥0，解 四、解答题 得m≤-2或m≥5。故实数m的取 15.提示：(1)已知x>0,y>0,由 值范围为（一∞，-2]U[5,十∞）。 基本不等式得30=x+2y+xy≥ 17.提示：(1)因为f(x)>0的解 集为(-3,1)，所以-3和1是方程ax2 2√2xy+xy(当且仅当x=2y=6时 十bx十3=0的两个实根。由韦达定理 等号成立)。令√xy=t(t>0),则t2+ 得a=-1,b=一2，所以求不等式为 22t-30≤0，解得0<t≤3√2，即0< x2一x一2>0，其解集为{x|x<-1或 √xy≤3√2，所以0<xy≤18，所以xy x>2}。 的最大值为18。 (2)f(x)≥mx2可转化为(m+ (2)由x+2y+xy=30得y= 1)x2≤-2x+3,x∈[-1,3]。 30-x>0,则0<x<30,所以2x十y= 当x=0时，不等式0<3显然成 2+x 立；当x≠0时，不等式可转化为m十 2a+ 30-x=2(x+2)+ 32 2十x 2+x -5≥ 1-+3 ,对于Hx∈[-1,0) 32 11,当且仅当2(x+2)=2+ -,即x=2 U(0,3]恒成立。令函数1=1，则t∈ 时等号成立，所以2x十y的最小值为11。 16.提示：(1)由题意知1和4是方 47 参老答架 -2t+3t2= --当= 不符合题意，所以t≠0。由△=(1一 )2-1-1D>0,解得-日<1<1，所 即x=3时，(-2t+3t2)mm=- 3所 以：∈(-3oUo,1D. 以a十1≤-一专所以m≤-台 ②由x7+x?=(x1+x2)2 故实数m的取值范围为（一∞， 2x1x2=3,结合韦达定理得1=士2。 结合①得， 18.提示：(1)当a=0时，不等式 (2)当t=0时，原不等式为x一 1>0恒成立：当a≠0时，若不等式 1<0,其解集为{x|x<1}。 a.x2+2ax+1≥0对于Hx∈R恒成 当t≠0时，原不等式可转化为(tx a>0, 立，则 解得0<a≤1。故 4a2-4a≤0， +1)(x-1)<0。若t>0,则-1<0， t 实数a的取值范围为[0,1。 其解集为-<x<:若=-1， (2)由x2-x-a2+a<0,且0≤ a≤1，可得(x-a)[x-(1-a)]<0。 则一 =1,其解集为{x|x≠1}；若 已知0≤a≤1，①当1-a>a,即 0≤a<2时，可得a<x<1-a:②当 -1K1<0,则-}>1，其解集为 1-a=a,即a=2时，可得(x-)'< 女<1或>若-1则月 <1,其解集为xx<-或>1。 0,这时无解；③当1-a<a,即2<a≤ 综上，当t<-1时，原不等式的解 1时，可得1-a<x<a。 综上，当0<a<时，所求不等式的 集为女<或>1小：当1-1 时，原不等式的解集为{x|x≠1；当 解集为xla<x<1-a:当a=2时，所 一1<t<0时，原不等式的解集为 求不等式的解集为；当2<a≤1时，所 女<1或x>-}当1=0时，原不 等式的解集为{x|x<1};当t>0时，原 求不等式的解集为{x|1一a<x<a}。 19.提示：(1)①当t=0时，原方程 不等式的解集为-}<<1，因 为x一1=0，该方程只有一个实数根， (参考答案与提示由命题者提供)》 48