重难点突破：二次函数的最值问题（5大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

重难点突破：二次函数的最值问题 一、二次函数的三种形式 1、一般式： 2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为 3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，， 则其解析式为 二、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 三、二次函数在闭区间上的最值类型 1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）； 2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解； 3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论； 4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。 题型一 二次函数在定轴定区间的最值 【例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数的值域是，则的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【变式1-4】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知函数的图象关于直线对称且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域. 题型二 二次函数在动轴定区间上的最值 【例2】求函数在上的最小值． 【变式2-1】（21-22高一上·湖南株洲·开学考试）当时，求函数的最小值（其中t为常数）. 【变式2-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合,不等式的解集为． (1)当，求实数的取值范围； (2)已知函数,且,求此函数的最小值构成的函数． 【变式2-3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【变式2-4】（23-24高一上·海南海口·月考）已知函数（）． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，最大值为，求函数与的表达式． 题型三 二次函数在定轴动区间上的最值 【例3】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知是二次函数，且，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值. 【变式3-1】（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知函数． (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值． 【变式3-2】（23-24高一上·天津静海·月考）已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 【变式3-3】（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 【变式3-4】（23-24高一上·重庆永川·期中）已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 题型四 二次函数在动轴动区间上的最值 【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【变式4-1】设是正数，且函数在上的最大值为，求的表达式． 【变式4-2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式. 【变式4-3】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型五 逆向型二次函数最值问题 【例5】（23-24高一上·江苏镇江·月考）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·湖南·月考）已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（23-24高一上·湖北荆州·月考）已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·四川仁寿·月考）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】（23-24高一上·吉林长春·月考）已知函数，. (1)当，时，求函数的值域； (2)是否存在实数a，使得函数在上的最小值为1，若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：二次函数的最值问题 一、二次函数的三种形式 1、一般式： 2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为 3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，， 则其解析式为 二、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 三、二次函数在闭区间上的最值类型 1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）； 2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解； 3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论； 4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。 题型一 二次函数在定轴定区间的最值 【例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数， 因为，所以当时，函数取得最小值，最小值为.故选：C. 【变式1-1】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数的值域是，则的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】函数的值域是，，， 故函数的定义域是的子集，且含有，且至少有一个端点值， 对比选项知：ACD满足条件.故选：ACD 【变式1-3】（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)；(2)，． 【解析】（1）设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 【变式1-4】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知函数的图象关于直线对称且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，函数的图象关于直线对称且， 所以，解得，所以. （2）由于的开口向下，对称轴为， 所以在上的最大值为， ， 故在的值域是. 题型二 二次函数在动轴定区间上的最值 【例2】求函数在上的最小值． 【答案】最小值为 【解析】∵的图像开口向上，对称轴为． （1）当，即时，在上严格减， 故当时，函数的最小值为． （2）当，即时，在上严格增， 故当时，函数的最小值为． （3）当时，对称轴， 故当时，函数的最小值为． 综上，记最小值为，则 【变式2-1】（21-22高一上·湖南株洲·开学考试）当时，求函数的最小值（其中t为常数）. 【答案】答案见解析 【解析】因为的图象开口向上，对称轴为. 当时，即时，在上单调递增， 当时，取得最小值为； 当时，即时， 当时，取得最小值为； 当时，即时，在上单调递减， 当时，取得最小值为； 综上可得：时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为. 【变式2-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合,不等式的解集为． (1)当，求实数的取值范围； (2)已知函数,且,求此函数的最小值构成的函数． 【答案】(1)或；(2). 【解析】（1）由，得，解得或，即， 当时，即时，，满足， 当时，由，则，解得， 综上：实数的取值范围或. （2）由（1）得函数,， 图像开口向上，对称轴为， 当或时，即或时， ， 当，即时，， 当，即时，， 综上，则函数的最小值构成的函数为. 【变式2-3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，此时在区间上单调递增， 所以的最小值； （）当，即时，此时在区间上单调递减， 所以的最小值； （）当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值； 综上所述，. （2）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，右端点距离对称性较远， 此时的最大值； （）当，即时，左端点距离对称轴较远， 此时的最大值； 综上所述，. 【变式2-4】（23-24高一上·海南海口·月考）已知函数（）． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，最大值为，求函数与的表达式． 【答案】(1)；(2)； 【解析】（1）因为函数在上是减函数，且其对称轴为，所以． （2）①当时，函数单调递增，； ②当时，函数先减后增； ③当时，函数单调递减． 故； 当时，；当时， 故 题型三 二次函数在定轴动区间上的最值 【例3】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知是二次函数，且，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）根据题意，设， 因为，可得，即， 又由， 且， 又因为，即， 所以， 可得，解得，所以. （2）由（1）知， 可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以， 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为， 综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【变式3-1】（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知函数． (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为函数在上不单调，对称轴， 所以，即，解得， 故实数的取值范围为； （2）因为开口向上，对称轴， 当时，函数在上单调递减，所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以； 故. 【变式3-2】（23-24高一上·天津静海·月考）已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）函数满足， 则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 【变式3-3】（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）若存在使成立， 则，解得或， 所以k的取值范围是； （2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时，； 当即时，； 当即时，； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 【变式3-4】（23-24高一上·重庆永川·期中）已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，， ∵，∴① 又，∴对称轴为， ② 由①②，，， ∴； （2）由题知，最大值在或取得， ，， 当，即，解得； 当，即； 综上，. 题型四 二次函数在动轴动区间上的最值 【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】 【解析】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为 ∵， ∴，即 . 【变式4-1】设是正数，且函数在上的最大值为，求的表达式． 【答案】 【解析】，，， 对称轴为直线， 将区间看作是不动的，对称轴变化，进行如下讨论． （1）当，即时，解得或． 此时． （2）当，即时，解得． 此时． （3）当，即时，． 综上所述，. 【变式4-2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式. 【答案】， 【解析】函数的顶点坐标为，开口向上，对称轴为， 分以下四种情况求最值： ①当，即时，在上单调递增， 所以，； ②当，即时， 此时在上单调递减，在单调递增，且， 所以，； ③当，即时， 在上单调递减，在单调递增，且， 所以， ④当，即时，在上单调递减， 所以，； 综上知，在的最大值与最小值分别为： ，. 【变式4-3】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 题型五 逆向型二次函数最值问题 【例5】（23-24高一上·江苏镇江·月考）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的定义域为，对称轴为, 当时，在单调递减， 则，， 而函数的值域为，则，解得，故， 当时，在单调递减，在单调递增， 则，， ，故，解得，故， 综上所述，的取值范围为，故选：A 【变式5-1】（23-24高一上·湖南·月考）已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由的图象关于直线对称，可得，，所以. 因为的最小值为2，所以，可得，故. 令，解得或. 所以最小为，最大为3，则的最大值为4.故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·湖北荆州·月考）已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的图象与直线有且只有一个公共点， 所以仅有一个解，所以仅有一个解， 所以，所以， 所以即为， 令， 且开口向下，对称轴为，，如下图： 又因为在上的最大值为，最小值为， 由图象可知：，故选：C. 【变式5-3】（23-24高一上·四川仁寿·月考）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时，由，方程无解； 由，解得由； 由，方程组无解； 时，只须即可，解得； 时，，时单调递减，，满足题意； 综上所述，.故选：B. 【变式5-5】（23-24高一上·吉林长春·月考）已知函数，. (1)当，时，求函数的值域； (2)是否存在实数a，使得函数在上的最小值为1，若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1);(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）当时，，， ∵函数的图象开口向上，对称轴， ∴，. ∴当，时，函数的值域为. （2）函数的图象开口向上，对称轴， 当，则时，即，即，不符合； 当，则时，即，即，不符合； 当，则时，即，无解. ∴不存在实数a，使得函数在上的最小值为1.ss 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$