点击“一元二次”综合题型-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

解题锦囊 点击“一元二次”综合题型 ■河南省光山县第二高级中学 胡莹张付坤 一元二次函数、一元二次方程、一 △=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2= 元二次不等式常被简称为“三个二次”， 2a,x1x2=-8a2。因为x2-x1=15, 三者联系紧密，互相渗透，组成了一个 所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+ 特殊的知识板块。下面就让我们一起 来看看它们有哪些常见的考法吧！ 32a2=36a2,所以a= ,C结误。由 一、一元二次不等式的解法 例1（多选题）下列选项正确的 0得 1x-1<1得0<x<2,由+4 是()。 -4<x<5,所以“|x-1|<1”是 A.不等式x2+x一2>0的解集是 {x|x<-2或x>1} 牛0的充分不必要条件，D正 .x+1 确。应选ABD。 B.不等式 x-2 ≤1的解集是{x 点评：解一元二次不等式需熟记 -3≤x<2} “大于取两边，小于取中间”的法则。 C.不等式x2-2a.x-8a2<0(a> 二、“三个二次”的关系 0)的解集为{x|x1<x<x2,若x2 例2（多选题）已知关于x的不 x1=15,则a=5 等式a,x2+bx+c≤0的解集为{x|x≤ D.设x∈R,则“|x一1|<1”是 一2或x≥1}，则下列说法正确的是 工十4<0"的充分不必要条件 ）。 x-5 A.a<0 解：因为方程x2+x一2=0的解 B.ax+c>0的解集为{x|x>2} 为x1=1,x2=一2，所以不等式x2十x C.a-b+c>0 -2>0的解集为{x|x<-2或x> ,A正确。由红十-1≤0得+8 D.cx2+bx+a<0的解集为 x-2 x-2 x ≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)， 解得一3≤工<2，所以不等式2+)≤1 解：由关于x的不等式a.x2+bx+ x-2 c≤0的解集为{x|x≤一2或x≥1}， 的解集为{x|一3≤x<2},B正确。由 可知函数y=a.x2+bx十c的图像开口 题意知x1,x2是一元二次方程x2一 向下，故a<0,A正确。由一2和1是 2a.x-8a2=0(a>0)的两实根，所以 方程ax2+bx十c=0的两实根，可得 28 解题锦囊 -2+1=-6,(-2)×1=9,即a= 对任意x∈R恒成立？请说明理由。 (2)若该不等式对a∈[-1,1]恒 b,c=-2a,结合a.x十c>0,a<0,解 成立，求实数x的取值范围。 得x<2,B错误。a一b十c=a一a十 (3)若存在x∈[2，十∞)，使该不 (-2a)=-2a>0,C正确。由cx2+ 等式成立，求实数a的取值范围。 bx+a<0得-2a.x2+ax+a<0,解得 解：(1)当a=0时，原不等式为 2<x<1,D正确。应选ACD。 一2x+1<0,显然不满足对任意x∈R 恒成立；当a≠0时，要使不等式对任意 例3（多选题)已知关于x的不 x∈R恒成立，需满足a<0且△=4 等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解 4a(1-a)=4(a2-a+1)<0,这时无 集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),则下 解。故不存在实数a,使该不等式对任 列结论正确的是()。 意x∈R恒成立。 A.x1十x2=2 (2)由题意设f(a)=(x2-1)a B.x1x2<-8 (2x-1)。因为对a∈[-1,1]， C.-2<x1<x2<4 f(-1)<0, D.x2-x1>6 f(a)<0恒成立，所以 即 f(1)<0, 解：由题意知x1,x2是一元二次 x2+2x-2>0, 方程(x+2)(x一4)+a=x2-2x- 解得-1+√3<x< x2-2x<0, 8+a=0的两实根，则x1十x2=2, 2,即实数x的取值范围是（一1+√3,2）。 x1x2=a-8<一8，A,B正确。x2 (3)因为x∈[2，+∞)，所以原不 x1=√(x2+x1)2-4x1x2=2√9-a 等式可转化为a< 2x-1 >6,D正确。由x2一x1>6,x1十x2= x2-1 设m=2x 2,可得x1<-2,x2>4,C错误。应选 -1(m≥3)，则x2-1= m2+2m-3 ABD. 点评：一元二次方程的根对应的是 2x-1 Am 4 所以 x2-1m2+2m-3 二次函数图像与x轴交点的横坐标， 3 +2 也是一元二次不等式解集的端点值；已 3 知一元二次不等式的解集，即可得到相 令函数g(m)=m- 十2(m≥3)，显 m 应二次函数图像的开口方向和对称轴。 然g(m)在[3，十∞)上为增函数，所以 三、恒成立与能成立问题 g（m)mim=g(3)=4,所以a<1,即实 例4已知关于x的不等式ax2一 数a的取值范围是(-∞，1)。 2x-a+1<0。 点评：由(2)，(3)两问的解法可知， (1)是否存在实数a,使该不等式 求谁的范围，谁就是参数。 29