常用逻辑用语题型扫描&基本不等式的解题认知-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

解题锦囊 常用逻辑用语题型扫描 ■湖北省巴东县第一高级中学 施雅琴 常用逻辑用语是高一学习的基础 1-m≥-2， 知识，它主要包括量词，命题的否定，充 S二P,所以1+m≤10， 解得0≤ 分与必要条件。下面就常见的题型进 1-m≤1+m, 行举例分析，供同学们学习与参考。 m≤3，即实数m的取值范围是[0,3]。 一、充分条件与必要条件的判断 评注：解答本题的关键是依据集合 例1若a∈R,则“a3>1”是“a2 之间的关系，列出关于参数的不等式 >1”的( ）。 (组)并求解。 A.充分不必要条件 三、含量词命题的否定及真假判断 B.必要不充分条件 例3下列命题的否定为假命题 C.充要条件 的是( )。 D.既不充分也不必要条件 A.3x∈Z,1<4x<3 解：由a3>1得a>1,由a2>1得 B.3x∈Z,5x+1=0 a<-1或a>1。因为{a|a>1}{a| C.Hx∈R,x2-1=0 a<-1或a>1},所以“a3>1”是“a D.3x∈R,x2+3x+2=0 解：原命题的否定为假命题等价于 >1”的充分不必要条件。应选A。 原命题是真命题。对于A,由1<4x< 评注：判断充分条件、必要条件要 先分清条件与结论，再由p→q及q→ 3得x<子这样的整数x不行在。 p的真假得出结论。 A为假命题。对于B,由5x十1=0得 二、充分条件与必要条件的应用 例2已知集合P={x|x2-8x x=- 5Z,B为假命题。对于C,当 一20≤0}，非空集合S={x|1-m≤ x=0时，x2一1≠0，C为假命题。对于 x≤1+m},若x∈P是x∈S的必要 D,存在实数x=一1或x=一2，使得 条件，则实数m的取值范围是 x2+3x+2=0,D为真命题。应选D。 解：由x2-8x-20≤0得-2≤ 评注：要判断一个全称量词命题是 x≤10，所以P={x|-2≤x≤10}。因 真命题，必须限定集合内所有元素都满 为x∈P是x∈S的必要条件，厅以 足结论；要判断一个全称量词命题是假 21 解题锦囊 命题，只要能举出一个反例即可；要判 △=4-2m<0, 意得 解得m>2。 断一个存在量词命题是真命题，只要在 m>0, 限定集合内找到一个满足结论的元素 故当p为真命题时，实数m的取 即可。 值范围是(2，十∞)。 四、根据含量词命题的否定求参数 (2)当g为真命题时，由|m一2< 的范围 1,解得1<m<3。由(1)知当p为真 例4已知命题p:Hx∈R,m+ 命题时m>2。 x2-2x十5>0，若p为假命题，则实 当p为真命题，q为假命题时，可 数m的取值范围是 m>2, 得 解得m≥3。 解：因为一饣为假命题，所以命题 m≤1或m≥3， p:Hx∈R,m十x2-2x+5>0为真命 当p为假命题，g为真命题时，可 题。m+x2-2x+5>0可转化为m> m≤2， 得 解得1<m≤2。 1<m<3, -x2+2x-5=-(x-1)2-4,则m≥ -(x-1)2一4对任意x∈R恒成立， 综上可得，实数m的取值范围为 (1,2]U[3,+∞)。 所以m>一4，即实数m的取值范围为 评注：由命题的真假求参数范围需 {mm>-4}。 要巧用三个转化，即全称量词命题可转 评注：本题也可以利用二次函数 化为恒成立问题，存在量词命题可转化 y=x2一2x十5十m的图像恒在x轴上 为有解问题，全称量词、存在量词命题 方，转化为对应方程的判别式△<0进 为假可转化为它的否定命题为真。 行求解。解题时，应注意p与一饣只能 一真一假。 感悟与 五、根据命题的真假求参数的范围 已知命题p:高三(1)班所有的男 例5已知命题p:对任意实数x, 生都爱踢足球，则命题p的否定应为 ( ）。 不等式m-2x+号>0：命题g:实数 A.高三(1)班至多有一个男生爱 m满足|m-2<1。 踢足球 (1)若力为真命题，求实数m的取 B.高三(1)班至少有一个男生不 值范围。 爱踢足球 (2)若力，q有且只有一个是真命 C.高三(1)班所有的男生都不爱 题，求实数m的取值范围。 踢足球 解：(1)当m=0时，不等式为一2x十 D.高三(1)班所有的女生都爱踢 足球 号>0，不符合题意。当m≠0时，由题 提示：应选B。 22 解题锦囊 基本不等式的解题认知 ■陕西省西安中学 李 超 ■西大附中产灞中学 欧倩 一、整体把控，拆分组合 等式。这一方法是基本不等式应用的 基本不等式的应用不限于两个正数 延伸与提高。 的和与积，还可延伸到“整体与部分”的关 二、多元归一元，消元转化 系。可将所求表达式看作“整体”，拆分为 基本不等式的本质是多元函数最 多个“部分”，调整“部分”关系凑出和或积 值问题，这类问题通常含两个及以上变 为定值以求解“整体”的最值；反之，也可 量。可运用函数思想，通过代入消元、 将多个“部分”的和或积看作整体，利用 参数代换等方法，将多元表达式转化为 “整体”的性质推导“部分”的最值。 一元函数，再结合基本不等式或函数的 例1已知a>0,b>0,则√ab+ 单调性求解最值。 例2已知正数a,b满足a2一2ab 工+4的最小值为 a b 十4=0，则6一号的最小值为 解：因为a>0,b>0,所以Vab+ 解：由a>0,b>0,a2-2ab+4= 2 14 +6≥a6+2后· 4 =√ab+ 0.可得6=+名所以6--号十 2 √ab ≥2 √ab =4,当且仅当2-4 2-=+2 2 8.2 =√2，当且 aAAa- 4 a 仅当4= 2 ，即a=2√2时等号成立，所 且√ab=于 4 ,即a=1,b=4时等号成 a ab 立，所以+十着的最小值为4. 以6二的最小值为，巨。 a 点评：该视角的核心为“消元转 点评：该视角的核心是“整体把控、 化”一利用变量关系，将多元问题转 灵活拆分”—既可以对整个表达式直 化为一元问题，再结合基本不等式或函 接使用基本不等式，也可以在分析不等 数的单调性求解。其本质是借助函数思 式的结构形式后，对部分表达式，甚至 想，拓宽基本不等式的适用范围，降低多 部分表达式的分子或分母使用基本不 元问题的求解难度。 23