聚焦基本不等式求最值的常用方法-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

解题锦囊 聚焦基本不等式求 ■安徽省阜阳市第十 基本不等式可以正用、逆用及变形 应用，下面聚焦利用基本不等式求最值 的四种常用方法。 方法一：正用或逆用 例1 若一6≤a≤3，则 √/(3-a)(a+6)的最大值是()。 A.9 b. C.3 解：因为-6≤a≤3，所以3-a≥ 0,a+6≥0。由基本不等式得 √3-a)(a+6)≤(3-a)+(a+6) 2 2当且仅当。-一时等号成立，所以 VGaa+6的最大值是。应选B, 例2若a>0,b>0,且ab=a+ b+8,则ab的最小值是。 解：由ab=a+b+8≥2√ab+8, 可得ab-2√ab-8≥0，解得√ab≥4 或√ab≤-2（舍去），所以ab≥16，当 且仅当a=b=4时等号成立，所以ab 的最小值是16。 聚焦：利用基本不等式求最值的关 键是确定两个数的和或积为定值。 方法二：常数“1”的代换 例3已知x,y∈(0，十∞)，若 2z+3y=1,则上+1的最小值是 x y 24 最值的常用方法 一中学 夏鸿伟 解+}-+2十w) 5+3+5≥5+26，当且仅当 x y ,即x=5-2y-3-6 2 2y= 3时等号成 立，所以+1的最小值是5十26 例4已知a>0,b>0,a十2b= 3,则2+2的最小值是一。 解：因为。+26-3，所以+分 a+6+=+0+8≥ 台+2·芳-号当日仅等=号 =子时等号成立，所以2+方的最小 值是3 8 聚焦：“已知x十y=t(t为常数)， 求“+的最值”问题，先将4+b转化 x y 为（但+·十，再利用基本不等式 Ax y/ t 求最值。 方法三：凑项 例5已知>则x十的 最小值是。 解：因为x之7所以2x之0 1 2x-1 所以x十2x-12 。1 +2x-1+2 2x-1.1 ,122+1 √2·2x-+2 ≥2 2 当且仅当2x-1.1 2 2x-1,即x= 时等号成立，所以工十21 2 2x7的 最小值是22+1 2 1 聚焦：x与 2.x-1 是和的形式，但 乘积不是常数，这时需要凑项。 方法四：消元 例6设正实数x,y,之满足x2一 xy十y2-之=0，则的最大值是 )。 A.4B.3C.2D.1 解：因为正实数x,y,之满足x2 xy十y2-之=0，所以之=x2十y2-xy, 所以= 1 之x2+y2-xy+义-1 =1，当且仅当2=义，即 22.-1 x=y时等号成立，所以义的最大值是 1。应选D。 聚焦：当所求最值的代数式中的变 量比较多时，通常考虑先利用已知条件 消去部分变量，再利用基本不等式求其 解题锦囊 最值。 1.已知0<x<2,则函数y= √x(4-2x)的最大值是 提示：由0<x<2得4一2x>0,所 以y=√x(4-2x)= 22x(4-2x 2.2x+(4-2）=2,当且仅当 2 2x=4一2x,即x=1时等号成立，所以 函数y=√x(4-2x)的最大值是√2。 2.函数y= (x+5)(x+2) (x> x+1 一1)的最小值是 提示：因为x>-1,所以x+1> 0,所以y= [(x+1)+4][(x+1)+1] x+1 (x+1)2+5(x+1)+4 x+1 =(x+1)+ +≥2+0+5=8 4 当且仅当x+1=x十1，即x=1时等 号成立，所以函数y=x十5)(x+2) x+1 (x>一1)的最小值是9。 3.若x>0,y>0,且x十y=18,则 xy的最大值是()。 A.77 B.80 C.81 D.82 提示：因为2y≤) (）=81,当且仅当x=y=9时等号成 立，所以xy的最大值是81。应选C。® 25