拓展02 基本不等式求最值的常用方法（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

素养拓展02 基本不等式求最值的常用方法 预习精讲 知识点01 直接法 适用场景：代数式本身天然满足“一正、二定、三相等”，无需变形，可直接套用均值不等式公式。 步骤：①逐一验证所有项均为正数；②判断和或乘积是否为定值；③列出等号成立条件，求解最值。 注意 负数处理公式：若，令： 【即学即练】 1．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 知识点02 配凑法 适用场景：原式无定值结构，需要通过恒等变形构造和定或积定。 变形手段：通过调整系数、拆分常数、添项拆项完成等价变形，保证式子数值不变。 核心要求：变形后必须重新完整检验三项条件：各项为正、和/积为定值、等号有可取取值。 【即学即练】 2．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 知识点03 分离常数法 适用场景：分子、分母均含同一变量的分式型代数式，将变形为 步骤：①将分子配凑为分母的倍数形式，拆分分式；②对分母整体换元，将原式转化为常数加标准对勾函数；③化为恒正或恒负结构后，使用基本不等式求最值。 【即学即练】 3．若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 知识点04 消元法 适用场景：含两个及以上变量，且带有约束等式的多元最值问题。 步骤：①利用约束等式，用单一变量表示其余变量，完成消元；②明确剩余变量的取值范围；③将多元式转化为单变量代数式，再结合配凑、基本不等式求解。 【即学即练】 4．已知，若，则的最小值为___________． 【答案】3 【详解】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3， 故答案为：3. 知识点05 代换法（乘1法） 类型1：分母为单项式，1的代换 已知等式结构等于1，将所求代数式整体乘以该等式，展开后构造定值交叉项。 设，求： 类型2：分母为多项式 1.分母仅含单个字母：对分母配凑构造数值为1的式子，再与目标式相乘展开； 2.待定系数通用法：设参数拆分条件式，联立方程求解系数，构造定值结构，适配所有多项式分母题型。 【即学即练】 5．已知，则的最小值为____. 【答案】4 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 知识点06 构造目标不等式法 核心思路：不直接对原式配凑定值，结合已知条件多次均值放缩，推导出仅包含目标代数式的一元不等式； 求解流程：通过解不等式得到目标式整体取值范围，进而求出最大、最小值，全程校验等号成立条件。 【即学即练】 6．若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 知识点07 多次使用基本不等式法 核心约束：同一题目中两次及以上运用均值不等式时，两条硬性规则： 1.每一次使用不等式都要单独验证“一正、二定、三相等”； 2.所有不等式取等号的条件必须同时成立，若条件相互冲突，该解法失效。 知识点08 三元均值不等式法 三元均值不等式： 当且仅当时取等，多用于三项式求和最小、求积最大问题，同样遵守均值不等式三要素。 【即学即练】 7．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 【详解】方法一：， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 方法二：， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 题型速练 题型01 直接法求最值 例1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 【小试牛刀】 变式1-1．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设条件，条件。 已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立）， 若，则，即成立，故必要性成立； 取，满足，且，但， 即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 变式1-2．已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 变式1-3．已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 题型02 配凑法求最值 例2．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【小试牛刀】 变式2-1．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 变式2-2．求函数的最大值. 【答案】 【详解】因为，， 所以, 当且仅当，即时，. 故函数的最大值为. 故答案为： 变式2-3．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 题型03 分式分离法求最值 例3．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 【小试牛刀】 变式3-1．（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 变式3-2．求函数的最小值． 【答案】9 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 变式3-3．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 题型04 消元法求最值 例4．已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小试牛刀】 变式4-1．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 变式4-2．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 变式4-3．已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以.所以当时，取最大值. 题型05 乘“1”法求最值（分母为单项式） 例5．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【小试牛刀】 变式5-1．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 变式5-2．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 变式5-3．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 题型06 乘“1”法求最值（分母为多项式） 例6．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【小试牛刀】 变式6-1．已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 变式6-2．已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 变式6-3．已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 题型07 构造不等式法求最值 例7．已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 【小试牛刀】 变式7-1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 变式7-2．已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 变式7-3．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 题型08 多次使用基本不等式求最值 例8．若是正数，则的最小值是__________． 【答案】4 【详解】 当且仅当时取等. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题的应用．考查了学生对均值不等式的理解和应用． 【小试牛刀】 变式8-1．已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________． 【答案】 6 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 变式8-2．若，，则的最小值为___________. 【答案】4 【详解】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）. 【考点】均值不等式 【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 题型09 多元均值不等式求最值 例9．函数的最小值为___________． 【答案】9 【详解】∵，∴， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为9． 故答案为：9． 【小试牛刀】 变式9-1．设，且，则的最小值是__________. 【答案】3 【详解】，当且仅当时等号成立. 所以的最小值3， 故答案为：3. 变式9-2．已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 变式9-3．已知a，b，c是正实数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即； （2）因为，当且仅当等号成立 所以，即． 1．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 2．若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 【答案】D 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为． 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 【答案】C 【详解】由，得同号，且， 则，即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为20. 故选：C 4．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 5．已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解:由题知, , 当且仅当时取等号, 所以． 故选:C． 6．（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确； B.由得， =，当且仅当， 即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 7．已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 8．函数的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为： 9．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 10．已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 11．若，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 12．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 13．已知且，求的最小值为__________. 【答案】 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养拓展02 基本不等式求最值的常用方法 预习精讲 知识点01 直接法 适用场景：代数式本身天然满足“一正、二定、三相等”，无需变形，可直接套用均值不等式公式。 步骤：①逐一验证所有项均为正数；②判断和或乘积是否为定值；③列出等号成立条件，求解最值。 注意 负数处理公式：若，令： 【即学即练】 1．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 知识点02 配凑法 适用场景：原式无定值结构，需要通过恒等变形构造和定或积定。 变形手段：通过调整系数、拆分常数、添项拆项完成等价变形，保证式子数值不变。 核心要求：变形后必须重新完整检验三项条件：各项为正、和/积为定值、等号有可取取值。 【即学即练】 2．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点03 分离常数法 适用场景：分子、分母均含同一变量的分式型代数式，将变形为 步骤：①将分子配凑为分母的倍数形式，拆分分式；②对分母整体换元，将原式转化为常数加标准对勾函数；③化为恒正或恒负结构后，使用基本不等式求最值。 【即学即练】 3．若，则的最大值是______． 知识点04 消元法 适用场景：含两个及以上变量，且带有约束等式的多元最值问题。 步骤：①利用约束等式，用单一变量表示其余变量，完成消元；②明确剩余变量的取值范围；③将多元式转化为单变量代数式，再结合配凑、基本不等式求解。 【即学即练】 4．已知，若，则的最小值为___________． 知识点05 代换法（乘1法） 类型1：分母为单项式，1的代换 已知等式结构等于1，将所求代数式整体乘以该等式，展开后构造定值交叉项。 设，求： 类型2：分母为多项式 1.分母仅含单个字母：对分母配凑构造数值为1的式子，再与目标式相乘展开； 2.待定系数通用法：设参数拆分条件式，联立方程求解系数，构造定值结构，适配所有多项式分母题型。 【即学即练】 5．已知，则的最小值为____. 知识点06 构造目标不等式法 核心思路：不直接对原式配凑定值，结合已知条件多次均值放缩，推导出仅包含目标代数式的一元不等式； 求解流程：通过解不等式得到目标式整体取值范围，进而求出最大、最小值，全程校验等号成立条件。 【即学即练】 6．若，且，则ab的最小值是______． 知识点07 多次使用基本不等式法 核心约束：同一题目中两次及以上运用均值不等式时，两条硬性规则： 1.每一次使用不等式都要单独验证“一正、二定、三相等”； 2.所有不等式取等号的条件必须同时成立，若条件相互冲突，该解法失效。 知识点08 三元均值不等式法 三元均值不等式： 当且仅当时取等，多用于三项式求和最小、求积最大问题，同样遵守均值不等式三要素。 【即学即练】 7．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型速练 题型01 直接法求最值 例1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【小试牛刀】 变式1-1．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2．已知，则的最小值为______________. 变式1-3．已知，则的最大值为__________． 题型02 配凑法求最值 例2．若，则函数的最小值为_____. 【小试牛刀】 变式2-1．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-2．求函数的最大值. 变式2-3．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型03 分式分离法求最值 例3．设，则的最小值为_____________． 【小试牛刀】 变式3-1．（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 变式3-2．求函数的最小值． 变式3-3．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 题型04 消元法求最值 例4．已知为实数，且，则的最小值为________. 【小试牛刀】 变式4-1．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 变式4-2．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 变式4-3．已知，则的最大值为__________. 题型05 乘“1”法求最值（分母为单项式） 例5．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【小试牛刀】 变式5-1．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 变式5-2．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 变式5-3．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 题型06 乘“1”法求最值（分母为多项式） 例6．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【小试牛刀】 变式6-1．已知，则的最小值为_______. 变式6-2．已知，则的最小值为________． 变式6-3．已知，，且，则的最小值为__________． 题型07 构造不等式法求最值 例7．已知实数，满足，则的最大值为_____． 【小试牛刀】 变式7-1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 变式7-2．已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式7-3．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 题型08 多次使用基本不等式求最值 例8．若是正数，则的最小值是__________． 【小试牛刀】 变式8-1．已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________． 变式8-2．若，，则的最小值为___________. 题型09 多元均值不等式求最值 例9．函数的最小值为___________． 【小试牛刀】 变式9-1．设，且，则的最小值是__________. 变式9-2．已知，则的最小值为________． 变式9-3．已知a，b，c是正实数，且．求证： (1)； (2)． 1．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 4．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 7．已知实数，则的最小值是__________. 8．函数的最小值为__________. 9．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 10．已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 11．若，则的最大值为________． 12．已知，则的最小值为_____． 13．已知且，求的最小值为__________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $