例析求平面向量的模的四种常用方法&例析平面向量的坐标表示的常见题型-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

高一数型识施物卓骨中学生表理化 例析求平面向量的模的四种常用方法 ■陈婷婷 一、几何法 依据：la|=1OA1,其中a=OA。 a=(x,y)。由a·b=a·c=8,可得 例1如图1，已知等边△ABC的边长 2x=8, x=4, 为6，点P满足PA+2P言一P亡=0，则 解得’所以|a|=√x'十y= 2y=8, y=4, |PA1=()。 4√2。 例4已知平面向量a,b,c,若a⊥b, |c|=1,且|a-c=|b-c|=√3，则 |a一b的最大值为_。 解：由题意设a=(a,0),b=(0,b),c= (cos8,sin0)。由a-c|=|b-c|=√I3,可 图1 得(a-cos0)2+sin0=13,且cos0+(b 4.③ 2 B.2√3 sin0)2=13。两式相加整理得a2十b2-24= 2acos日+2bsin0,所以a2+b2一24= C.3√5 D.43 解：由PA+2P-PC=0,可得CA= 2√a+bsin(0十9)，其中cosp= Va+b -2PB=2BP。取AC的中点D,连接BD, 则BD⊥AC,所以∠ABD=∠CBD=30°。 sin b一，所以-2Va+b≤a2十 Va'+b 由CA=2BP,可得DA=BP,所以四边形 b2-24≤2√a+b,解得4≤√a+b≤6， BDAP为矩形，所以∠ABP=60°。 即4≤|a一b|≤6。故|a一b|的最大值为6。 在Rt△ABP中，PA=ABsin60°= 四、不等式法 3√3，即1PA1=3√3。应选C。 依据：lla|-|b||≤|a±b|≤|a|十 二、公式法 b,a·ba|b。 依据：|a1=√a2,如|a-2b1= 例5已知向量a,b满足b=(3,1),且 √(a-2b)z。 |2a一b=1,则a|的取值范围是()。 例2若向量a,b满足a1=3,|a一b B.(1,3) =5,且a·b=1,则|b1=。 A[层引 解：因为a-b|=5,所以(a一b)2=25, D.(2,4) 即a2+b2-2a·b=25,所以9十b2-2=25, e[g] 解：易得|b|=2。由2a=(2a-b)+b, 即b2=18,解得1b=3√2。 三、坐标法 可得1=|2a-b1-1b11≤|2a|12a-b 依据：a=√/x十y,其中a=(x,y)。 +b1=3,即1<2a<3,所以2≤a1≤ 例3已知平面向量a,b,c满足b⊥c, 3 |b|=|c|=2,若a·b=a·c=8,则|a= 。应选C。 作者单位：河南省商丘市实验中学 解：由已知可设b=(2,0),c=(0,2), (责任编辑王琼霞) 3 中学生教理化高数学2026年2月 知识结构与拓展 例析平面向量的坐标表示的常见题型 ■王刚 张启兆 题型一：平面向量的正交分解的坐标表示 (x一2，y一1)。因为AB和CD是相反向 例1己知点A(2,1),将向量OA绕原 量，所以向量CD= 一 AB,所以 点0逆时针方向旋转无得到向量O,则点 x-2=-2, x=0, 4 解得 y-1=-2, y=-1, 所以点D(0, B的坐标为( )o 1)。应选A。 A停） B.(-3E,E 小贴士：利用向量的坐标运算解题， 22 需熟练掌握向量的加、减运算法则。解答 c.( D. √23√2 本题时，根据“相反向量对应的坐标互为 22 相反数”的原则，可转化为代数方程进行 解：设向量OA与x正半轴的夹角为a, 求解。 则cosa= 25 5 题型三：平面向量的数乘运算的坐标表示 5 sin a= 5。 将向量OA绕原 例3已知点A(2,3),B(4,一3)，点P 点0逆时针方向旋转军得到向量O,则点 在线段AB的延长线上，且|A下|=3PB1, 则点P的坐标为一。 B(V5cos(a+),5sin(a+)) 解：已知点A(2,3),B(4,一3)，点P在 因为cos(a十于)=cos acos-开 sina· 线段AB的延长线上，且A方 =3,设点P PB 的坐标为(x,y),则A户=(x一2，y-3), sin P言=(4一x,一3一y)。因为点P在线段 +cos a sin AB的延长线上，所以A户=一3PB,所以 sin a cos 1x-2=-3(4-x), x=5, 解得 y-3=-3(-3-y), y=-6, 所以点 2W5\ 3√10 5 10 所以点B停，)应 P的坐标为(5，一6)。 选A。 小贴士：向量的数乘运算与加、减运算共 小贴士：向量的坐标表示使向量的运算 同构成了向量坐标运算的基础。解题时，要 代数化，让“数”与“形”有机结合，可将复杂的 避免因向量的方向判断错误，导致系数符号 几何问题转化为熟悉的代数计算，从而降低 出错。 解题的难度。 题型四：向量共线的坐标表示 题型二：平面向量加、减运算的坐标表示 例4（多选题）已知向量m和向量a,b 例2已知三点A(一1,0)，B(1,2), 均不共线，且m=xa十yb(x,y∈R),则向量 C(2,1),若AB和CD是相反向量，则点D a,b可以是()。 的坐标为( )。 A.a=(1,3),b=(3,-1) A.(0,-1) B.(4,3) B.a=(2,-4),b=(-1,2) C.(1,-1) D.(-1,3) C.a=(3,2),b=(3,2) 解：设点D(x,y)。由点A(-1,0), D.a=(0,2),b=(0,1) B(1,2),C(2,1),可得AB=(2,2),CD= 解：因为向量m和向量a,b均不共线， 高一数型识施物氧骨中学生表理化 且m=xa十yb(x,y∈R),所以向量a,b不 数入的取值范围。 共线。 因为1×（一1）一3×3=一10≠0，所 以向量a,b不共线，A正确。因为a三 (2,-4),b=(-1,2),所以a=-2b,所 以a,b为共线向量，B错误。因为一3× 2一2×3=一12≠0，所以向量a,b不共 线，C正确。因为a=(0,2),b=(0,1), 图1 所以a=2b,所以向量a,b为共线向量，D 解：由四边形ABCD为菱形，BD=BC, 错误。应选AC。 可得△BCD为等边三角形。以B为坐标原 小贴士：本题条件中隐含了向量a,b不 点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐 共线，解题时依据向量共线的坐标表示，排除 标系（如图1）。设AB=2,则点B(0,0), 共线向量即可。 C(1,√3)，D(-1,√3)，CD=(-2,0)。因为 题型五：平面向量的数量积的坐标表示 CP=λCD=(-2λ，0)，BP=BC+CP=(1, 例5（多选题）已知向量a=(一2,1)，√3)十（一2入，0）=(1-2入，√3)，所以点P(1 b=(1,t),则下列说法正确的是( )。 -2入，√5)。因为BP=(1-2入，√3)，PC A.若a历，则1=一号 (2λ，0)，Pd=(-2+2x,0),CD=(-2,0), 所以B卫·CD=-2(1-2λ)，PC·PD= B.若a与b的夹角为钝角，则t的取值 2λ(-2+2)。由BP·CD≥PC·PD,可 范围是（一∞，2） C.若(a十b)⊥(a-b),则t=2 21-2入)22入（一2+2），解得1-2 D.若t=一3，则向量b在a方向上的投 影向量为(2，一1) 。因为0≤X≤1，所以1- A≤1+② ≤≤ 2 解：由a仍，可得-2×t=1,即t=一2， 即实数入的取值范围为号， A正确。取t=一号∈（一∞，2），结合A知此 小贴士：解答本题的关键是建立平面直 2 角坐标系，把向量的数量积转化为坐标运算， 时ab,且向量a与b的夹角为180°，B错误。 同时要注意点的位置对参数范围的限制。 因为a=(-2,1),b=(1,t),所以a十b= (-1,1+t),a一b=(3,1一t)。又(a+b)⊥ 感任与收合 (a-b),所以(a十b)·(a-b)=(-1,1十t)· 已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若 (-3,1t)=3十1一t2=0,解得t=士2，C错 AP=AB+λAC(A∈R),且点P在直线x一 误。若t=一3，则b=(1,一3)，所以向量b在 2y=0上，则入的值为一 a方向上的投影向量为a:b.0=二2一3. a·a5 提示：设点P(x,y)。由A卫=A方十 λAC,可得(x-2,y-3)=(2,2)+入(5,7)= a 5 :=一a=(2,一1)，D正确。应选AD。 (2+5入，2十7入)，所以x=5入+4，y=7入+5。 因为点P在直线x一2y=0上，所以5入十4一 小贴士：判断两个向量的夹角为钝角时， 除了数量积为负，还要排除两向量反向共线 27x+5)=0,解得入三一3 的情况，否则会漏掉限制条件。 作者单位：1.江苏省梅村高级中学 例6如图1，在菱形ABCD中，点P为 2.江苏省无锡市青山高 线段CD上一点，且CP=入C市(0≤入≤1)。 级中学 若BD=BC,且BP·CD≥PC·PD,求实 (责任编辑王琼霞) 5