掌握百分位数，用好数据排位尺”&分层随机抽样题型扫描-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

育一黄职结胸家柄骨中学生款理化 掌握百分位数，用好数据排位“尺 ■薛家兵 一组容量为n的样本，计算其第力百分 位数的步骤：将原始数据按从小到大排序：计 846分位数不超过10 算i=n×p%,若i不是整数，记大于i的最 解：结合用户购买手机价格的频数表求 小整数为j,则第p百分位数为排序后的第方 解。对于A,估计1000名用户购买手机价格 项数据，若i是整数，则第p百分位数为排序 1 后的第i项与第i十1项数据的平均数。百分 的众数为2(5十10)=7.5，A正确。对于B, 位数能精准刻画一个数据在整体中的相对位 同一组中的数据用该区间的中点值代表，则 置，为我们提供了评估个体、制定基准、分析 平均数为2.5×0.15+7.5×0.6+12.5× 分布的数据排位“尺”。 0.18+17.5×0.05+22.5×0.02=8.45,B 题型一：离散型数据求百分位数 正确。对于C,因为1O00 150 =0.150.5, 例1一个容量为20的样本，其数据按 150+600 从小到大的顺序排列为1,2,2,3,5,6,6,7， 1000 =0.75>0.5,所以中位数落在 8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该 0.5-0.15 组数据的第60百分位数为 (5,10]内，则中位数为5+ ×5≈ 0.75-0.15 解：因为20×60%=12，且12是整数，所 7.92>6,C错误。对于D,因为150+600 以第60百分位数为10十13_23 1000 2 2 =11.5。 0.75<0.84.150+600+180=0.93>0.84. 点评：求百分位数时，把一组数据按从小 1000 到大的顺序完整排列，重复数据也需要全部 所以84%分位数落在(10,15]内，则84%分 排列。 位数为10+084-0.75 0.93-0.75 ×5=12.5>10,D 题型二：连续型数据求百分位数 错误。应选AB。 例2（多选题）2025年手机迎来发展新 点评：解答本题的关键是读懂频率分布 机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手 表，理解众数、平均数、中位数、百分位数的 机消费行为调查，表1是根据调查得到的 含义。 2025年1000名中国手机用户购买手机价格 的频数表，同一组中的数据用该区间的中点 感悟收。 值代表，则( )o 有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12 表1 次。这5人投中的次数形成一组数据，中位 价格（千元） (0,5] (5,10](10,15](15,20](20,25 数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数 频数 150 600 180 50 20 据的第40百分位数为】 A.估计1000名用户购买手机价格的众 提示：答案为9.5。 数为7.5 说明：本文系2026年云南省教育厅科学 B.估计1000名用户购买手机价格的平 研究基金项目立项课题“A】赋能高中数学大 均数超过8 概念教学的实践研究”（课题编号： C.估计1000名用户购买手机价格的中 2026J0615)的研究成果。 位数不超过6 作者单位：云南省富源县第九中学 D.估计1000名用户购买手机价格的 (责任编辑王琼霞) 3 知识结构与拓展 中学生教理化高数学2026年5月 分层随机抽样题型扫描 ■宋秀华 分层随机抽样也称比例随机抽样或配额 选C。 随机抽样。下面举例分析分层随机抽样的八 评注：在一个调查中，我们把调查对象的 种常见题型。 全体称为总体。 题型一：分层随机抽样的判断 题型三：求层中容量 例1下列问题中，最适合用分层随机 例3某地区的鸿蒙用户中心的客服人 抽样抽取样本的是()。 员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽 A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 车的60名车主，问界汽车的40名车主中用 B.某社区有500个家庭，其中高收入的 分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本 家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入 进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽 的家庭95户，为了解生活购买力的某项指 取的人数是()。 标，要从中抽取一个容量为100的样本 A.8B.10C.11 D.12 C.从1000名工人中，抽取100人调查上 解：按照分层随机抽样，在智界汽车车主 班途中所用时间 50 中抽取的人数为30×50十60+40=10。应 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品 选B。 质量 解：A中总体所含个体无差异且个数较 评注：在分层随机抽样中，总体容量等于 各层容量之和。 少，适合用简单随机抽样。C、D中总体所含 题型四：求总体样本量 个体无差异但个数较多，不适合用分层随机 例4某学校有教师300人，男学生 抽样。B中总体所含个体差异明显，适合用 1200人，女学生900人，现用分层抽样的方 分层随机抽样。应选B。 法从全体师生中抽取一个容量为n的样本， 评注：分层随机抽样适用于总体情况复 已知抽取的男生比女生多6人，则的值是 杂、各单位之间差异较大的情况。 ()。 题型二：求总体容量 A.56 B.52C.48D.44 例2用分层随机抽样的方法从某校学 解：根据分层随机抽样中每层所抽取的 生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年 级有25人，高三年级有15人。已知该校高 比例相等，可得300+1200十900×1200 二年级共有学生600人，则该校学生总人数 是()。 300+1200+900×900=6,解得n=48。应 A.1440 B.1600 选C。 C.1800 D.2400 评注：在分层随机抽样中，在每个子总体 解：设该校学生总人数为x。由题意得 中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总 样本容量为60，样本中高一年级学生有25 体中抽取的样本合在一起作为总样本。 人，高三年级学生有15人，所以样本中高二 题型五：求层中样本量 年级学生有20人。由题意得2=品解特 例5一支田径队有男、女运动员98人， 其中男运动员有56人。按男、女比例用分层 x=1800,所以该校学生总人数是1800。应 随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个 资一数型识糖构室预骨中学生教理化 容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人 59编号，将三级品的40个产品按00,01， 数是()。 02,·,39编号：第四步，采用随机数法，分别 A.12B.42C.24 D.36 从中抽取10个，6个，4个，这样就得到一个 解：由分层随机抽样可得，抽取女运动员 容量为20的样本。 评注：分层随机抽样的五个步骤：分层， 人数为68×(98-56)=12。应选A 按某种特征将总体分成若干部分（层）；计算 评注：在分层随机抽样中，每个个体等可 能抽取，每层样本量与每层个体数量的比等 抽样比，抽样比一样本：定数，按抽样比 于抽样比。 确定每层抽取的个体数：抽样，各层分别按照 题型六：样本平均数的计算 简单随机抽样方法抽取样本：成样，综合各层 例6高一和高二两个年级的同学参加 抽样，组成样本。 了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有 题型八：分层随机抽样的方差 350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容 例8在对某中学高一年级学生体重 量为160的样本，得到两个年级的竞赛成绩 (单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用 的平均分分别为80分和90分，则高一和高 分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测 二数学竞赛的平均分约为分。 量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均 解：由题意得高一年级抽取的样本量为 数和方差分别为54,20，抽取的女生有40人， 160 其体重的平均数和方差分别为45,11，则估 450十350×450=90，高二年级抽取的样本量 计该校高一年级学生体重的方差是 160 为450十350×350=70，所以高一和高二数学 参考公式：已知总体分为两层，各层的样 本量，平均数，方差分别为m,x,s;n,y,s, 90+70×80+ 90 70 竞赛的平均分约为”= 记总的样本平均数和样本方差为”，s2,其中 90+70 ×90=84.375(分)。 s=m[+(x-@)]+”[s+(y m+n m+n 评注：样本的平均数和各层的样本平均 0)2]。 M 数的关系为而=n件n十n升n=MN 解：根据题意可得，抽取的男生有50人， 其体重的平均数和方差分别为54,20，抽取 M+V。 的女生有40人，其体重的平均数和方差分别 题型七：分层随机抽样方案的设计 为45,11，则总体的平均数为0= 例7一批产品中有一级品100个，二级 50×54+40×45 50+40 =50,所以估计高一年级学 品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从 50 这批产品中抽取一个容量为20的样本。请 生体重的方差是s=50十40[20+(54一 利用分层随机抽样的方法抽取，并写出抽样 过程。 50)门+0P40[11+(45-50)]= 40 9(20+ 解：第一步，确定抽样比，由100+60+ 16)+4 (11+25)=20+16=36。 40=20,可得0-品：第二步，确定各层拥 评注：计算分层随机抽样的方差s的步 骤：确定x1,x2,s,s;确定x;应用公式s2= 取的样本数，一级品为100×10=10，二级品 0[s+(x,-)]+n[s+(x, n1+n2 n1十ng 为60×0=6，三级品为40×0=4：第三步， 1 x)2],计算s。 将一级品的100个产品按00,01,02，，99 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…， (责任编辑王琼霞) 5