方差题型扫描&正难则反求概率-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

商一黄学职结胸军柄骨中学生款理化 ò差题型扫描 ■李世兰 方差是测度数据变异程度的最重要、最 十d)+36×4=12,可得a+b2+c+d 常用的指标。在概率论和统计学中，一个随 156。当加入一个数据8时，其平均数为 机变量的方差描述的是它的离散程度。 (a+6+c+d+8)-号(24+8) ,所以 32 一、已知样本数据求方差 例1国庆8天小长假过后，某同学统计 这5个数据的方差为号[(。-号)十 了该年级3个班级的同学在假期旅游去过的 城市个数分别为12,15,18，则这三个数据的 (6-)+(e-）)+(d-)°+(8-)] 方差是()。 A.3B.4C.5D.6 -[a2++c2+d)-(a+6+c+d 解析：依题意得这三个数据的平均数 云-12+5+18-15，方差=号[12 +()×4+】]=号[156×21+()× 3 4+64776 15)2+(15-15)2+(18-15)]=6。应选D。 25」=25 评注：数据x1,x2,…,x。的标准差s= 评注：在原数据中加入新数据，个数变多 了，这时要灵活应用方差公式求解。 √月-+a:-+…+.-. 四、分层随机抽样的方差 二、已知样本数据的方差，求新数据的方差 例4某学校为了解高一学生每周的课 例2已知数据x1,x2,…,xm的方差为 余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时 3,则数据2x1一1,2x2一1，…，2x。一1的方差 长平均为4.2h,方差为1.96，高一女生锻炼 是。 时长平均为3.7h,方差为1.91，高一年级男 解析：因为数据x1,x2,·,x的方差为 生、女生人数之比为3：2。则该校高一学生 3,所以数据2x1一1,2x2一1，…，2xm一1的方 每周平均锻炼时长的方差是一。 差为2×3=12。 解析：高一男生、女生锻炼时长的平均数 评注：若数据x1,x2,…,x。的平均数是 分别为x=4.2,y=3.7,方差分别为s x,方差为s,则数据mx1十a,mx2十a,mx3 1.96,s=1.91,则该校高一学生每周锻炼时 十a,…,mxm十a的平均数是mx十a,方差是 长的平均数=多十会=1，所以该校商 m2s2。 三、求已知数据中加入新数后的方差 学生每周平均锻炼时长的方差=号1.96 例3已知某4个数据的平均数为6，方 差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据 +4.2-40]+号1.1+37-4门=2 的方差是。 评注：计算分层随机抽样的方差的步骤： 解析：设原来4个数据依次为a,b,c,d, 确定x1,x2,s,s;确定x;应用公式s2= 则a+b+c十d=24。由方差为3，可得 0[s+(元，-x)]+[s+(: [a-6)+6-6)+c-6)+(d-6门 n1十n2 n1十n2 x)]求方差。 =3,即(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d 作者单位：重庆市茄子溪中学 6)=12,所以a2+b+c2+d2-12(a+b+c (责任编辑王琼霞) 9 中学生表理化贺识皱种与拓年月 解：设事件A=“两道选择题答案不都选 错”，则A=“两道选择题答案都选错”。因为 P(A)=3X39 4×4 6,所以P(A)=1-p(A) 9 7 正难则反求概率 =1 16一16，即两道答案不都选错的概率为 16。应选C。 三、“A或B发生”型问题 例3现有5个球分别记为A,B,C,D, ■张振继（特级教师） E,随机放进三个盒子中，每个盒子只能放1 个球，则A或B被放进盒子中的概率为 当从正面求事件A发生的概率有困难 时，可考虑对立事件A的概率，即利用公式 P(A)+P(A)=1求解。 解：设事件M=“A,B两个球都不在盒 子里”，则M=“A或B在盒子里”。由题意 一、“至多、至少”型问题 例1现有相同的哪吒玩偶和相同的敖 得球的投放结果2={(A,B,C),(A,B, D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A, 丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人 去拿1个或2个玩偶，至少有一个小朋友拿 D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E), 到哪吒的概率为一。 (C,D,E)},共10种情况，而A,B两个球都 解：设事件A=“甲、乙、丙三个小朋友至 不在盒子里为(C,D,E),即1种情况，所以 少有一个小朋友拿到哪吒”，则A=“甲、乙、 所以P(M)=1-Pm)=1-0 P(M)=1 丙三个小朋友都没有拿到哪吒”。每人拿1 个玩偶，可以是1个哪吒或1个敖丙：每人拿 0,所以A或B被放进盒子中的概率为 2个玩偶，可以是2个哪吒或2个敖丙或1个 9 哪吒1个敖丙，所以每人共有5种不同的拿 109 法。故甲、乙、丙三个小朋友，每人拿1个或2 四、“A且B发生”型问题 个玩偶，一共有5×5×5=125（种）不同的拿 例4设A,B是两个互斥事件，它们都 法。而甲、乙、丙三个小朋友，没有拿到哪吒 不发生的概率为后，且P(A)=2P(B),求 有2×2×2=8（种），所以甲、乙、丙三个小朋 P(A)。 友都设有拿到哪吒的概率P(A)三5所以 解：因为A,B都不发生的概率为2 ,即 P4)=1-P(A)=1-8s号即甲，乙 P(AnB=号，所以P(AUB)=1-Pn 丙三个小朋友至少有一个小朋友拿到哪吒的 2=3 概率为品。 万)=1一号-子。因为A,B是两个互斥事 3 二、“都（在）与不都（在）”型问题 件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)= 5 例2某同学在一次数学考试中，对其 中两道四选一的选择题不会做，于是他在答 结合P(A)=2P(B),解得P(A)=号，所以 题卡上各随意地填上一个，则两道选择题答 P(A)=1-P(A)=5。 案不都选错的概率为()。 A 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 B品 7 1 C.16 D.2 (责任编辑王琼霞) 10