探究三角形求值问题中的一题多解&剖析三角形“四心”的向量处理方法-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

中学生数理化驾识赞锌与年2月 知识结构与拓展 探究三角形求值问题中的一题多解 ■曲华 题目：(2025年北京航空航天大学强基 方法3：利用目标式的几何特征求解。 试题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边 分析：由目标式的几何特征，可将目标式 分别为a,b,c,且a十c=4b,求an2tan之 转化为内切圆半径与三角形三边之间的关 系，然后通过代数变形即得结果。 的值。 解：如图1，设△ABC的内切圆的圆心为 方法1：利用边化角、和差化积和倍角公 O,圆O与三条边的切点分别为D,E,F,圆 式求解。 O的半径为r。 分析：条件式是三边之间的等量关系，目 标式是求半角的正切值。利用正弦定理将边 化角，再利用和差化积及二倍角公式化为角 A,C的形式即得结果。 解：由a十c=4b,可得sinA+sinC= 图1 B sinB,所以2sinA十Ccos A C8sn 2 -cos 2 BD=BF=x,AD=AE=y,CE= CF=之。因为a十c=4b,所以(x十x)十 2 2 2 （x十y)=4(y十)，可得y十= 3x。在 2 A 1 △ABC中，由tan C an(号+】 B C 除以cos会cos号得1十an合an号 A C =4 1-tan 2tan 2 C A B B 化简得tan乞tan tan 2+tan 2 4tan an，所以tan tanz=5。 B tan A=1,所以· 方法2：利用半角公式tan2 sina 2tan之+tantan y x 1+cos a 十 + y =1,所以x2= 工y之， =1一cosc和正余弦定理，结合角化边求解。 x x十y+? sin a 3 分析：先将切化为弦、半角化为整角，转 x+ 2 化为关于角A,B,C的正余弦形式，再利用 32 正弦定理、余弦定理将角化为边即得结果。 r2 3 5° 解：由半角公式，结合正余弦定理得tan 2 或者，由S△ABc= 1 (a十b十c)r,结合海 C a(1-a+b2-c2 Vayz(x+y+) tan 2 sin A(1-cos C) 2ab c(1+tc-a 伦公式得r= 2S AABC= (1+cos A)sin C a+b+c x十y十之 2bc xy之 所以r= xyz一= 2ab-(a2+b2-c2) c2-(a-b)2 x+y十之 2 5v,所以 2bc+(b2+c2-a') (b+c)2-a (c+a-b)(c-a+b)a+c-b3b3 A C r r 3 (b+c-a)(b+c+a)a+c+b =56=5 tan乞tanz=y·=亏 作者单位：山东省胶州市第一中学 A 所以tan2tan之-5 (责任编辑郭正华) 12 高一数识施物卓骨中学生教理化 三角形的“四心”是指三角形的重心、内 心、外心和垂心，它们是与三角形有关的四个 特殊点。利用向量的相关知识解决三角形的 “四心”问题，这在一定程度上发挥了向量的工 剖析三角形“四心”的 具作用，很好地体现了数形结合的数学思想。 题型一：重心的向量式 向量处理方法 例1如图1所示，已知点G是△ABC 的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边 交于M,N两点，设AM=xAB,AN=yAC, ■刘长柏 则上十上的值为( )。 M 解：由Aò=入AB十uBC,可得Aò= A(O庐-OA)+4(O元-Oi),则(1-A)OA+ (入-4)OB+OC=0 图1 因为O为△ABC的内心，所以|BC IOA A.3 B.4 C.5 D.6 +|AC1O店+1AB|OC=0,所以(1-A): 解：因为G是△ABC的重心，所以 Q-)公=5：43，解得入=6么- AG=号A+号花。 因为AM=xAB,AN=yAC,所以 所以X+=名，应选C AG=ai十不.肉为M,6,N三点 评析：常见的三角形内心的向量表示：若 O为△ABC的内心，则|BC|OA+|ACIOB 共线，所以品十=1，所以上十号一。应 +ABOC=0 aOA+60B+cOC=0); y P为平面内任意一点，若A户= 选A。 评析：常见的三角形重心的向量表示：设 警十忍)4∈o十则点P的 G是△ABC的重心，P为平面内任意一点， 轨迹一定经过三角形的内心。 则GA+G+GC=0,PG-号(P+P店+ 题型三：外心的向量式 例3如图2，记△ABC的三个内角 PC:AG=号(A店+AC),BG-}(BA+ A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c= BC),C亡=号(C+C):若A=A(A店+ 2,若O是△ABC的外心，则A石·BC= ()。 AC),入∈[0，十∞)，则点P的轨迹一定经过 三角形的重心。 题型二：内心的向量式 例2在△ABC中，AB=3,AC=4, BC=5,O为△ABC的内心，若A0=AAB+ BC,则入十=( )。 号 B 图2 c D A号 B. c.-8 D.6 13 中学生款理化实皱种与拓质年2月 解：作OD⊥AB于点D,OE LAC于点 BC的中点，所以AD是BC的中线，所以 E。在圆O中，因为OD⊥AB,所以AD= A币=名(A店+AC)。故D京，B元 2AB,所以Aò·A方=1Aò1·1A店1· (AH-AD).BC=AH.BC-AD.BC= coS∠0AD=|A币1·Ai1=2A=2. -A市.元--号店+AC)·(AC-A) 同理得Ad.亡=合C=是 -2A-a)-25236-号 所以Aò·BC=AO·(AC-AB)= 2.如图3，已知点O是△ABC的内心， A6,A亡-Ad.A店-号-2-吾.应述B AB=4,AC=3, CB=CA+Cδ，则 评析：常用的三角形外心的向量表示：若 入+=（ )。 O是△ABC的外心，则|OA1=1O店|= 10元1=OA=o馆=0元：OA+Oi)· A.3 4 B.3 AB=(OB+O元)·BC=(OA+O元)·AC= C.2 D子 图3 0:AO AB-BO.BA-2ABI,AO. 提示：连接AO并延长交BC于D, AC-C0.CA-ACBOBC-CO. 连接CO(如图3)。因为O是△ABC的 内心，所以AD为∠BAC的平分线。由 C防=2C. 角平分线定理得0-把-专，所以 题型四：垂心的向量式 例4已知平面上四个点A,B,C,D,其 C店=子CD。因为A,O,D三点共线， 中任意三个点不共线。若AB·AD=AC· 所以设CD=tCA+(1一t)CO,t∈R, AD,则直线AD一定经过△ABC的()。 所以防=子C币=+6， A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 又因为可=ACi+Gd,所以A+从=若十 解：因为AB·AD=AC·AD,所以 CB·AD=(AB-AC)·AD=AB·AD 7”-子应选D。 3 AC·AD=0,所以AD⊥CB,即直线AD一 3.在△ABC内，使AP+BP+CP的 定经过△ABC的边BC上的高，所以直线 值最小的点P是△ABC的()。 AD一定经过△ABC的垂心。应选D。 A.外心B.内心C.垂心D.重心 评析：常见的三角形垂心的向量表示：若 提示：令C=a,C=b。设C市=m, O为△ABC的垂心，则OA·O元=Oi.O心 则A户=m-a,B市=m-b,所以Ap2十 =O元.OA,1OA1+1BC12=1O序+ BP2+CP2=3m2-2(a+b)·m+a2+b2= CA=1O心12+1A1。 m-子(a+b]-吉(a+b)+a+b 1 当m=3(a十b)时，AP+BP+CP最小， 1.在△ABC中，AB=5,AC=6,D是 此时PA+PB+P=(a-m)+(b一m)+ BC的中点，H是△ABC的垂心，则Di· (-m)=a+b一3m=a+b一(a+b)=0,所 BC= 以点P为△ABC的重心。应选D。 提示：因为H是△ABC的垂心，所以 作者单位：江苏省盐城市时杨中学 AH⊥BC,所以Ai·BC=0。又因为D是 (责任编辑王琼霞) 14