不可忽视的课本习题学习-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

教材利申 不可忽视的课本习题学习 ■安徽省来安中学 赵文龙 不少同学在学习课本知识的时候， 二、提供方法 会只关注新知识的学习，而忽视课本习 不少课本习题蕴含通用解题技巧， 题的学习。课本习题不仅能够帮助同 认真梳理并熟练运用这些方法，可高效 学们巩固课堂知识，还能积累解题思 解决相关复杂题目。 路、掌握实用方法、领悟数学思想，是提 例2（人教A版必修第一册，第 升解题能力的重要载体。 48页，习题2.2，第1题)(1)已知x> 一、提供题型 1,求x+1 二的最小值。 课本习题汇聚了知识点的典型考 查方法，吃透课本习题，就能举一反三， (2)求√x(10一x)的最大值。 轻松应对同类问题。 解：x+-1+t 1 例1（人教A版必修第一册，第 1≥3，当且仅当x=2时等号成立。答 58页，复习参考题2，第5题)若a,b> 案为3。 0,且ab=a十b+3,求ab的取值范围。 解：由基本不等式得a+b≥ (2)由x(10-x)≤(+10-2)= 2 2√ab,代入化简求解，可得ab≥9（当 25,可得√Jx(10-x)≤5，当且仅当x= 且仅当a=b=3时等号成立)。 10一x,即x=5时等号成立。答案为5。 作用说明：本题结合基本不等式与 作用说明：本题展示了基本不等式 一元二次不等式，求解双变量代数式的 的核心用法—凑积或凑和为定值。 取值范围。也可变换条件求解a十b 的取值范围。 习题2当>1时，2x+乙的 习题1已知x>0,y>0,且x+ 最小值为。 y一xy十8=0，则xy的最小值为 提示：因为x>1,所以x-1>0, (）。 所以2x+ 7 A.4 B.8 C.16 D.32 x-1 -2x-10++2 提示：由题意得xy=x十y十8≥ ≥22-0·+2=2m+2 2√xy+8,即xy-2√xy-8≥0。令 √xy=t(t>0),解得t≥4或t≤-2 当且仅当2(x-1)=7 -1,即x=1+ (舍去)，所以xy≥16，当且仅当x= √14 y=4时等号成立。应选C。 2 时等号成立。答案为2√14+2。 17 教材1申 习题3已知0<x<2,则3x(2 提示：当a=3时，原不等式为一6< x)的最大值是( )。 0,对x∈R恒成立；当a≠3时，可得 A.-3 B.3 C.1 D.6 a-3<0, 提示：因为0<x<2,所以3x(2- △=4(a-3)2-4(a-3)(-6)<0, x)≤3×4[x十(2-x)]=3,当且仅当 a<3, 即 解得一3<a<3。综上， a2-9<0, x=2一x,即x=1时等号成立。应选B。 实数a的取值范围为一3<a≤3。 三、提供重要数学思想 很多核心数学思想，都会依托课本 习题逐步渗透，同学们若能在平时的练 (多选题)已知a,b∈R,且ab>0, 习中主动总结归纳，则能有效提升综合 则下列不等式中恒成立的是()。 解题能力。 例3（人教A版必修第一册，第 A.9 58页，复习参考题2，第6题)当k取什 B.2(a2+b2)≥(a+b)2 么值时，一元二次不等式2kx2+kx一 c+ 。<0对一切实数x都成立？ D.a+2b+)≥4 解：当=0时，原不等式为一 提示：对于A,当a,b都为负数时 0,对一切实数x都成立。 满足ab>0,但不等式不成立，A错误。 当k≠0时，一元二次不等式2kx2 对于B,由2(a2+b2)-(a十b)2=(a -b)2≥0，可得2(a2+b2)≥(a+b)2, 十kx一 ；0对一切实数x都成立司 f2k<0, B正确。对于C由6>0，可得会会 满足 解得 4=k2-4·2k 都为正数，所以2+号≥2，当且仅当分 -3<k<0。 ，即a=b时等号成立，C正确。对 = 综上，k的取值范围为一3<k≤0。 作用说明：本题关联一元二次函 于D.a+6+》=a6++(8 数、方程与不等式，体现了分类讨论的 数学思想。 +分)≥2+2=4，当且仅当ab=6和 习题4已知不等式(a一3)x2十 b a 2(a-3)x-6<0对一切x∈R恒成 2方，即Q=b=士1时等号成立，D 立，则实数a的取值范围为 正确。应选BCD。 18