概率复习专项检测题-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

中学生数理化终数享练6车7-8月 概率复习专项检测题 ■杜海洋 一、选择题 A.甲、乙两人进行象棋比赛，若甲胜的 1.如果在1,2,3，…，10这10个数字中， 任取3个数字，那么下列事件是不可能事件 概率为号，则比赛5场，甲胜3场 的是( )。 B.某商场一次抽奖活动的中奖率为 A.3个数字相邻 10%,若前9人均未中奖，则第10个人一定 B.3个数字全是偶数 中奖 C.3个数字的和小于5 C.随机试验的频率与概率相等 D.3个数字两两互质 D.天气预报播报明天降水概率为90%， 2.若从1,2,3,4中随机抽取三个不同的 是指降水的可能性约为906 数相加，得到的和记为X,剩余的数乘以3， 7.某班学生在一次数学考试中成绩的分 记为Y,则P(X>Y)=()。 布如表1所示。 A 1 表1 B.2 c D.1 分数段 [0,80) [80,90) 90,100) [100,110 3.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概 人数 5 6 8 率均为日。事件A表示“小于5的奇数点出 分数段 [110,120)120,130) [130,140)140,150 现”，事件B表示“不大于5的点数出现”，则 人数 12 4 2 一次试验中，事件A十B(B表示事件B的对 立事件)发生的概率为()。 分数在[100,110)内的频率和分数不满 110分的频率分别是( )(精确到0.01)。 A.0.18,0.47 B.0.47,0.18 4.在某地区的一个电视节目中，某“专 C.0.18,0.5 D.0.38,0.75 家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3 8.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛 枚这种防空导弹就有210%的拦截率。你认 中，运动员甲和乙进入了决赛。假设每局比 为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚 赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为 拦截成功的概率为( )。 0.4,用计算机产生1一5之间的随机数，当出 A.210% B.100% 现1,2,3时表示一局比赛甲获胜，当出现4,5 C.97.3% D.70% 时表示一局比赛乙获胜。由于要比赛3局， 5.把标号为1,2,3的三张卡片分发给 所以每3个随机数为一组，现产生20组随机 甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号 数，结果如下： 卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件 423123423344114453525 C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误 332152342534443512541 的是()。 125432334151314354 A.A∩B是不可能事件 估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是 B.A,B是互斥事件 )。 C.AUBUC是必然事件 A.0.35 B.0.55 D.B,C是对立事件 C.0.6 D.0.65 6.下列说法正确的是( )o 9.(多选题)如图1，圆O的半径为1，六 90 高一数学德心幸点清育中学生款理化 边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从 下列说法错误的是()。 A,B,C,D,E,F六点中任意取两点，并连接 A.A1UA2与A是互斥事件，也是对立 成线段，则下列结论正确的是()。 事件 B.A,UA,UA:是必然事件 C.P(A2UA)=0.8 D.事件A1,A2,A,的关系不确定 13.(多选题)已知事件A,B为一组相互 独立的事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.8,则 ()。 图1 A.P(AB)=0.48 A.线段的长为1的概率是0.4 B.P(AUB)=0.94 B.线段的长为2的概率是0.5 C.P(AB)=0.24 C.线段的长为√3的概率是0.4 D.P(AUB)=0.68 D.线段的长不超过√的概率是0.8 14.(多选题)甲、乙两人下棋，和棋的概 10.(多选题)下列说法正确的是()。 率为2，乙获胜的概率为日，则下列说法错误 A.若事件A与事件B相互独立，且 的是( )。 P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AUB)= 0.28 A.甲获胜的概率是】 B.若样本数据x1,x2,…,xm的方差为 4,则数据2x1一3,2x2一3，…，2xm一3的方差 B.甲不输的概率是号 为8 C.乙输的概率是 2 C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1 3 个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球， 1 D.乙不输的概率是 则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜 色相同”互斥 15.(多选题)下列说法正确的是()。 D.1,2,3,…,2024,2025,2026这2026 A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发 个数的上四分位数是507 子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 11.(多选题)已知随机事件A,B发生的 B.某地发行福利彩票，其回报率为 47%,有个人花了100元钱买彩票，一定会有 概率分别为P(A)=子，P(B)=号，则 47元回报 ()。 C.若5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙 A若A与B互斥，则P(AUB)=5 后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 28 D.大量试验后，可以用频率近似估计概 B.若A与B相互独立，则P(AUB)= 为 13 28 16.(多选题)若随机事件A,B满足 P(A)>P(B)>P(AB)>0,则()。 C若A∈B,则P(AUB)=15 28 A.B∈A D.若P(AB)-是则事件不与B相互 B.A与B不是互斥事件 C.P(A)<P(B) 独立 D.P(A)>P(B) 12.(多选题)在一次试验中，若事件A1, 二、填空题 A2,Ag发生的概率分别为0.2,0.3,0.5，则 17,某产品按质量分为甲、乙、丙三个级 91 中学生款理化簧心整卓清练6车7-8月 别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设 据分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， “抽到甲级品”的概率为0.8，“抽到乙级品” [90,100]五组，制成如图4所示的频率分布 的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为 直方图。 ◆频率/组距 18.有4个大小、形状相同的球，分别标 0.03 0.025 有数字1,2,3,4，从中随机取球一次（至少取 0.02 一个)，则取出的球的标号之和不超过5的概 0.01 率为 成绩/分 19.先后抛掷1分，2分的硬币各一枚， 5060708090100 观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记 图4 录了以下三个事件。 (1)求a的值，并估计竞赛成绩的平均值 A事件：只有一枚硬币正面向上。B事 (同一组中的数据以该组数据所在区间的中 件：两枚硬币均正面向上。C事件：至少一枚 点值作为代表)和第80百分位数。 硬币正面向上。 (2)若用按比例分配的分层随机抽样的 则在三个事件中含有三个样本点的事件 方法从样本中成绩在[50,60)，[60,70)内的 为。 两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机 20.如图2，一只蚂蚁在三边长分别为3， 抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞 4,5的△ABC的边上爬行，某时刻该蚂蚁距 赛成绩在[60,70)内的概率。 离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率 24.某校运动会期间开设了知识竞赛，比 为 赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮 比赛。若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢 得比赛。已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜 出的概率分别为子，专在第二轮比赛中，甲、 1.1 图2 乙胜出的概率分别为2,3。甲、乙两人在每 21.在如图3所示的电路图中，若开关 轮比赛中是否胜出互不影响。 (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比 a,6e正常工作的概率分别为号受·弓，日 赛，则选谁参赛赢得比赛的概率更大？ 是相互独立的，则灯亮的概率是一。 (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中 恰好只有1人赢得比赛的概率。 25.一个盒子中装有4张卡片，卡片上分 别写有数字1,2,3,4。现从盒子中随机抽取 卡片。 图3 (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽 22.从集合A={0,1,2}中随机抽取2个 取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片 不同元素作为(s,t),使得1ogt有意义的慨 上数字之和大于6”，求P(B)。 率为 (2)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2 三、解答题 张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表 23.某学校工会为了迎接“五一”劳动节， 示“2张卡片上数字之积是4的倍数”。判断 特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞 事件C与D是否独立，并证明。 赛（满分100分），共有100名教职工参加，其 26.一个盒子中装有标号为1,2,3,5的4 成绩均落在区间[50,100]内，将竞赛成绩数 张标签，依次随机选取2张标签，用数组(m, 92 高一数学德心幸点清育中学生款理化 n)表示可能的结果，其中m表示第一次取出 3,则X=1+2+3=6,剩余数为4，Y=4×3 的标签上的数字，n表示第二次取出的标签 =12,此时X<Y。②抽取1,2,4，则X=1+ 上的数字。 2+十4=7，剩余数为3，Y=3×3=9,此时X< (1)若标签的选取是不放回的，写出样本 Y。③抽取1,3,4，则X=1+3+4=8,剩余 空间2，并求m十n>5的概率。 数为2，Y=2×3=6,此时X>Y。④抽取2， (2)若标签的选取是有放回的，求n<n 3,4,则X=2十3十4=9，剩余数为1，Y=1× 的概率。 3=3,此时X>Y。在总共4种等可能的情 27.已知n是一个三位正整数，若n的个 况中，满足X>Y的情况有2种，所以P(X 位数字大于十位数字，十位数字大于百位数 字，则称n为“三位递增数”（如135,256,345 >Y)-是-方，应选B, 等)。现要从甲、乙两名同学中，选出一人参 3.提示：由题意知B表示“大于5的点 加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从 数出现”，事件A与事件B互斥，由互斥事件 由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中 的概率加法公式得P(A十B)=P(A)+ 随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的 “三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛：否 PE)=普十言-音-子应选B 则，乙参加数学竞赛。 4.提示：因为一枚都没拦截成功的概率 为0.3×0.3×0.3=0.027，所以至少一枚拦 (1)由1,2,3,4,5,6可组成多少个“三位 递增数”？请一一列举出来。 截成功的概率为1一0.027=0.973= 97.3%。应选C。 (2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平 吗？请说明理由。 5.提示：对于A,事件A(甲得1号)和事 件B(乙得1号)不可能同时发生，因此A∩ 28.某停车场临时停车按时段收费，标准 为：每辆车一次停车不超过1h收费6元，超 B是不可能事件，A正确。对于B,事件A和 过1h的部分每小时按8元收费（不足1h的 B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确。 部分按1h计算)。现有甲、乙两人临时停 对于C,AUBUC表示“1号卡片分给甲、乙 车，两人停车都不超过4h。 或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然 事件，C正确。对于D,事件B(乙得1号)和 1)若甲停车不超过1h的概率为子，停 C(丙得1号)是互斥事件，但不是对立事件， 5 因为还存在“甲得1号”的情况（事件A),两 车费超过14元的概率为2，求甲停车1h以 者的并集不是必然事件，D错误。应选D。 上且不超过2h的概率。 6.提示：对于A,此概率只表示事件发生 (2)若每人停车的时长在每个时间段的 的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5 可能性相同，求甲、乙两人停车费之和超过 场必胜3场，A错误。对于B,此中奖率只表 36元的概率。 示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表 10人必有1人中奖，B错误。对于C,随机试 参考答柴与提示 险的频率可以估计概率，并不等于慨率，C错 一、选择题 误。对于D,天气预报播报明天降水概率为 90%,是指降水的可能性约为90%，D正确 1.提示：从10个数字中任取3个数字， 应选D。 这3个数字的和一定大于或等于6，则小于5 的情况不可能发生，故“3个数字的和小于5” 7.提示：分数在[100,110)的频率为 8 这一事件是不可能事件。应选C。 2+5+6+8+12+6+4十2≈0.18，分数不满 2.提示：从1,2,3,4中随机抽取三个不 2+5+6+8 同的数，共有4种等可能的情况：①抽取1,2， 110分的频率为2+5+6+8+12+6+4+2 93 中学生款理化终心薇室流6车-心月 ≈0.47。应选A。 11.提示：对于A,因为A与B互斥，所 8.提示：20组随机数中表示甲获得冠军 的数为423,123,423,114,332,152,342,512， 以PAUB)=P(A)+P(B)=子+号 125,432,334,151,314,共13组数，故估计该场 1 28,A正确。对于B,因为A与B相互独立， 比赛甲获胜的概率为8-0,65。应选D 所以P(AB)=P(A)P(B)=子X号- 9.提示：在A,B,C,D,E,F中任取两点 的样本空间2={(A,B),(A,C),(A,D), 所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) (A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E), 子+号--是B正确对于C因为AC (B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E), (D,F),(E,F)},共15个样本点，线段的长 B,所以P(AUB)=P(B)=号≠器C错 为1的样本点为(A,B),(B,C),(C,D), (D,E),(E,F),(F,A),共6个样本点，所 误。对于D.由P(A)=子，可得P()=1- 以线段的长为1的概率户，=号=0,4，A正 PA)=所以P()P(B)=是×号-是 确。线段的长为2的样本点为(A,D), =P(AB),所以事件A与B相互独立，D正 (B,E),(C,F),共3个样本点，所以线段的 确。应选ABD。 长为2的概率P:=是=0.2B不正确。线 12.提示：选项A,B,C错误，举反例如 下：在一个箱子中有白球，黄球和红球若干， 段的长为√3的样本点为(A,C),(A,E),(B, 从中任取一球，取到红球的事件A的概率为 D),(B,F),(C,E),(D,F),共6个样本点， 0.2,取到黄球的事件A的概率为0.3，取到 所以线段的长为Vg的概率P,=是=0.4，C 黄球或红球的事件A,的概率为0.5，显然 AUA:与A,既不是互斥事件，也不是对立 正确。线段的长不超过√的概率是P,+P, 事件，A错误；A,UA:UA?是“取到黄球或 =0.4+0.4=0.8,D正确。应选ACD。 红球”，不是必然事件，B错误；P(A2UAg)= 10.提示：对于A,事件A与B相互独 P(A,)=0.5,C错误。由题设条件无法确定 立，则P(AUB)=P(A)+P(B) 事件A1,A。,Ag的关系，D正确。应选 P(A)P(B)。因为P(A)=0.1,P(B)= ABC。 0.2,所以P(AUB)=0.1+0.2-0.1×0.2 13.提示：对于A,因为事件A与事件B =0.28,A正确。对于B,设原数据的方差为 相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.6 D(X)=4,则新数据为Y=2X一3。因为 ×0.8=0.48,A正确。对于B,因为P(AU D(aX+b)=aD(X)(a,b为常数)，所以 B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.8- D(Y)=D(2X-3)=2°·D(X)=4×4= 0.48=0.92,B错误。对于C,因为P(B)= 16,B错误。对于C,记“至少有一个红球”为 0.8,所以P(B)=1一P(B)=1-0.8=0.2。 事件M,“两个球颜色相同”为事件N,事件 因为事件A与事件B相互独立，所以事件A M的样本点为（红，黑），（红，白），（黑，红）， 与事件B相互独立，所以P(AB)= (白，红)，事件的样本点为（黑，黑），（白， P(A)P(B)=0.6×0.2=0.12,C错误。对 白)，事件M与N无公共样本点，不可能同 于D,易得P(AUB)=P(A)+P(B) 时发生，故M与N互斥，C正确。对于D, P(AB)=0.6+0.2-0.12=0.68,D正确。 2026个数按从小到大排列，则上四分位数的 应选AD。 位置为i=n×75%=2026×0.75= 14.提示：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的 1519.5,所以上四分位数是1520，D错误。 应选AC。 、对立事件，所以“甲获胜”的概率是1二？一 94 高一数学德心点清育中学生款理化 合言，A正确。设“甲不缩”为事件A,则事 (正，反)，（反，正），B事件只有1个样本点， 即（正，正），C事件有3个样本点，即（正， 件A是“甲获胜”与“和棋”这两个互斥事件 正)，（正，反），（反，正）。答案为C事件。 的并事作，所以P(A)=日+合-号 23,B错 20.提示：要使某时刻该蚂蚁距离三角形 的三个顶点的距离均超过1，需进行讨论求 误。“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为。， 解。AC边上存在的长度为1，使蚂蚁距离三 角形的三个顶点的距离均超过1：AB边上存 C错误。设“乙不输”为事件B,则事件B是 “乙获胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事 在的长度为2，使蚂蚁距离三角形的三个顶 3+} 点的距离均超过1；BC边上存在的长度为3， 件，所以P(B)= 2=6,D错误。应选 使蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 BCD. 1。所以某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶 15.提示：对于A,某人打靶，射击10次， 点的距离均超过1的概率为3+4+5=2· 61 击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，A错 21,提示：设“开关a,b,c正常工作”分别 误。对于B,买这种彩票是一个随机事件，中 为事件A,B,C。由题意知事件A,B,C是 奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，B 相互独立的，则灯亮这一事件为A∩(BU 错误。对于C,由古典概型的概率公式知C C),所以P(A∩(BUC)=P(A)P(BUC) 正确。对于D,大量试验后，可以用频率近似 估计概率，D正确。应选CD。 =P(A)[1-P(BnG)]=号×1-× 16.提示：若B三A,则P(AB)=P(B), 与题设矛盾，A错误。因为P(AB)>0,所以 )=； 随机事件A,B可以同时发生，即A与B不 22.提示：从集合A={0,1,2}中随机抽 是互斥事件，B正确。因为P(A)>P(B), 取2个不同元素作为(s,t),所有的(s,t)为 所以1一P(A)<1一P(B),即P(A)<P (0,1),(0,2),(1,2),(1,0),(2,0),(2,1),共 (B),C正确，D错误。应选BC。 6种，其中(2,1)，即1og21有意义，所以使得 二、填空题 1ogt有意义的概率为6。 1 17.提示：因为一批产品按质量只分为 三、解答题 甲、乙、丙三个级别，随机抽取一件产品，抽到 23.提示：(1)由频率分布直方图知 三个等级的事件是互斥事件，且所有可能结 (0.01+a+0.02+0.025+0.03)×10=1,解 果的概率和为1，所以抽到丙级品的概率为 得a=0.015。 1-0.8-0.15=0.05。 估计这次竞赛的平均成绩为55×0.1+ 18.提示：设集合A={1,2,3,4},数字代 65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.15= 表对应标号的小球。根据题意每次至少取一 76.5。 个球，总的取球情况数就是集合A的非空子 因为前三组的频率之和为0.01×10十 集的个数，即为2一1=15，满足取出的球的 0.02×10+0.03×1=0.6,前四组的频率之 标号之和不超过5的样本点为1}，{2}，(3}， 和为0.6+0.025×10=0.85，所以第80百分 {4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},共有8种， 位数在[80,90)内。设这次竞赛成绩的第80 所以取出的球的标号之和不超过5的概率为 百分位数为x,则0.6十(x一80)×0.025= 8 0.8,解得x=88。 15o (2)采用按比例分配的分层随机抽样的 19.提示：先后抛掷1分，2分的硬币各 方法抽取6人，竞赛成绩在[50,60)内的有6 一枚，其样本空间2={（正，正），（正，反）， 0.1 (反，正)，（反，反）}，A事件有2个样本点，即 ×0.1十0.2=2（人），记为a,b,竞赛成绩在 95 中学生款理化接心整卓清练6车7-8月 [60,70)内的有4人，记为C,D,E,F。所有 >5的概率P,=2=2 61 的选法为ab,aC,aD,aE,aF,bC,bD,bE bF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种，其 (2)若标签的选取是有放回的，则样本空 中恰有1人的竞赛成绩在「60,70)内的选法 间2'={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)， 为aC,aD,aE,aF,bC,bD,bE,bF,共8种， (2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3) 故所求概率为品 (3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)},共16种 等可能情况，满足m<n的为{(1,2)，(1,3)， 24.提示：(1)甲赢得比赛的概率P,=三 (1,5),(2,3),(2,5),(3,5)},共6种情况，所 4 13 4..1 以满足m<n的概率P:=品-会。 ×2=8,乙赢得比赛的概率P:=5×3 27.提示：(1)由1,2,3,4,5,6组成的“三 4 3 4 位递增数”共有20个，分别是123,124,125， 15。 因为8>15，所以甲赢得比赛的概率更 126,134,135,136,145,146,156,234,235, 大。 236,245,246,256,345,346,356,456。 (2)甲赢乙输的概率为名×0-) (2)不公平。由(1)知由1,2,3,4,5,6组 成的“三位递增数”共有20个，记“甲参加数 甲输乙赢的概率为1-)×告-品 33 学竞赛”为事件A,“乙参加数学竞赛”为事件 则两人中恰好只有1人赢得比赛的概率为 B,则事件A包含的基本事件为124,134， 234,126,136,146,156,236,246,256,346, 33120_53 120120-120° 356,456,共13个。由古典概型公式得 25.提示：(1)因为每次抽取都有4种可 PA)号因为A与B对立，所以P(B) 能情况，两次抽取相互独立，共包含4×4= 16(个)基本事件，其中事件B={(3,4),(4, =1-P(A)=1-号=易所以P(A)> 4),(4,3)},包含3个基本事件，所以P(B) P(B)。故选取规则对甲、乙两名学生不公平。 3 1 28.提示：(1)设“甲停车1h以上且不超 (2)一次抽取2张卡片包含的基本事件 过2h为事件A,则P(A)=1-}音=子即 为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3， 4)},共6个基本事件，事件C={(1,2),(2, 甲停车1h以上且不超过2h的概率为3。 0,可得P(C)=号-号事件D=0,4 (2)设甲付停车费a元，乙付停车费b 元，则a,b可取6,14,22,30，记“甲、乙两人 (2,4),(3,4),可得P(D)=3= 62:事件C 1 停车费之和超过36元”为事件B。甲、乙两 人的停车费用构成的基本事件空间为(6,6)， nD=(2,4),可得P(CnD)-言。因为 (6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14), (14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, P(C∩D)=P(C)P(D),所以事件C与D 22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22), 相互独立。 (30,30),共16种情况，事件B包含(14， 26.提示：(1)若标签的选取是不放回的， 30),(22,22),(22,30),(30,14),(30,22), 则样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2， (30,30),共6种情况，所以甲、乙两人停车费 1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5),(5, 1),(5,2),(5,3)},共12种等可能情况，满足 之和超过36元的概率P(B)6-名。 m+n>5的为{(1,5)，(2,5)，(3,5)，(5,1)， 作者单位：成都经济技术开发区实验中学校 (5,2),(5,3)},共6种情况，所以满足m+n (责任编辑郭正华) 96