基本不等式的应用“分类汇总”-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

夯基固木 基本不等式：若 a>0,b>0,则ab≤ ,当且仅当a=6 a+b ■ 时等号成立。基本不 基本不等式的应用分类汇总 广 等式主要应用于比较 省 大小、求最值、求参数 的取值范围，以及解决 市 恒（能）成立问题。 新 应用一：比较大小 会华 例1 设a,b为 侨 中 a2+b2 正数，则 2 a+b 2ab 2 ,√ab a+6的大 梅 小关系是 解：因为a,b为 正数，a2+b2≥2ab,所 以2(a2+b2)≥a2+ b2+2ab=(a+b)2,所 以a2+b2≥a+b)2 所以a+62 2 ≥ 2 所以 2 2当且 +b≥a十， 仅当a=b时等号成立。因为。十b 2ab 2ab √ab,当且仅当a=b时等号成 2√ab 立，又a 2 ≥ab,当且仅当a=b时 a2+b2、a+b 等号成立，所以 2 2 ≥√ab a十b,当且仅当a=b时等号成立。 2ab 10 e+abb≥2ab 故 a+b 评注：实质上，本题是证明常用的 基本不等式链。 应用二：求最值 例2（多选题)设正实数m,n满 足m十n=2,则下列说法正确的是 ()。 A.”+2的最小值为2 m n B.mn的最大值为1 C.√m十√Jn的最小值为2 D.m2+n2的最小值为2 解：因为m>0,n>0,m+n=2, 所以”+2”+m+”-”+m+1≥ m n m n m n 2 n m +1=2+1=3,当且仅当 m n ”=”,即m=n=1时等号成立，所以 m n ”十2的最小值为3，A错误。mn≤ m)=1,当且仅当m==1时， mn取得最大值1，B正确。因为（√m +√n)2=m+n十2√mn=2+2√mm ≤2十m十n=4,当且仅当m=n=1时 等号成立，所以√m+n≤2，即√m十 √n的最大值为2，C错误。因为m2+ n2=(m+n)2-2mn=4-2mn≥4- 2×m”）=2,当且仅当m=a=1 时等号成立，所以m2+n2的最小值为 2,D正确。应选BD。 评注：应用基本不等式求最值要遵 循“一正，二定，三相等”的原则。 应用三：求参数的取值范围 例3若x,y满足x2+y2-xy= 1且x十y≥2-3k恒成立，则k的取 值范围是 解：易得x2+y2-xy=(x+y)2 -3xy=1。 由基本不等式得y≤x+y) 4 当且仅当x=y时等号成立，所以(x十 y)2-3w≥(x+y)2-3 4(x+y)2= x+w,所以(+)≤1，所以 (x十y)≤4，解得一2≤x+y≤2，故x 十y的最小值为一2。要使x十y≥k2 3k恒成立，需满足一2≥2一3k,解得 1≤k≤2，所以k的取值范围是[1,2]。 评注：利用基本不等式解题的关键 是准确识别相当于基本不等式√Jab≤ a+b, 2 (a>0,b>0)中a,b的代数式。 应用四：解决恒成立问题 例4若关于x的不等式a.x2 |x|+2a≥0的解集是R,则实数a的 取值范围是 解：若不等式ax2-|x|十2a≥0 的解集是R,则对于Hx∈R,ax2一|x +2a≥0恒成立，即对于Hx∈R,a≥ x恒成立。 x2+2 当x=0时，a≥0；当x≠0时，a≥ 夯基固本 x 1 1 一，因为 x2+2 z1+Tz 2 z1+Tzl √2 2 ,当且仅当1x1 2Jx· 2时等号成立，所以a≥ 4。 综上所述，实数a的取值范围是 竖+ 评注：若a>f(x)恒成立，则a> f(x)mx;若a<f(x)恒成立，则a< f(x）mino 应用五：解决能成立问题 例5若存在x∈(0,2]，使不等 式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的 取值范围是 解：当x∈(0,2]时，由ax2一2x+ 3a<0得a(x2+3)<2x。由题意得 a<( 2x ）x∈(0,2]。 2+3/max 2x 因为2+3 2 2 3 2x· 当且仅当x=三（x>0),即z=5 3 3 时等号成立，所以a< 3,所以实数a 的取值范围是 3 评注：若a>f(x)能成立，则a> f(x)min;若a<f(x)能成立，则a< f(x）max。图 11