平面向量及其应用学霸不服强化训练-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

高一数学德心幸点清育中学生款理化 年面向量及其应用学霸不服强化别训练 ■王佩其 一、选择题 1.已知向量a∥b,且|a>|b|>0,则向 量a十b的方向()。 A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 图2 C.与向量b一a的方向相同 A.(-11,1) B.(-1,11) D.与向量b的方向相反 C.(-6√3，-3√3) D.(3√3,6√3) 2.给出以下五个结论：①0·a=0:②a· 6.(多选题)下列各组向量中，可以作为 b=b·a;③a=|a|2;④(a·b)·c=a· 基底的是()。 (b·c):⑤a·b|≤a·b。其中正确结论的 A.e1=(1,1),e2=(0,1) 个数为()。 B.e1=(1,2),e2=(2,1) A.1 B.2 C.e1=(1,-3),e2=(1,-3) C.3 D.4 D.e1=(-2,6),e2=(-1,3) 3.已知△ABC的三边满足a:b:c= 7.(多选题)设O,A,M,B为平面上四 5:11:13,则△ABC()。 点，OM=OB+(1-入)OA,且入∈(1,2)，则 A.一定是锐角三角形 下列结论不正确的是()。 B.一定是直角三角形 A.点M在线段AB上 C.一定是钝角三角形 B.点B在线段AM上 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三 C.点A在线段BM上 角形 D.O,A,M,B四点共线 +.如图1，在△ABC中，A寸=号NC,P 8.(多选题)根据下列情况，判断三角形 是BN上一点，若A产=mA店+号AC,则实 解的情况，其中错误的是()。 A.a=8,b=16,A=30°，有两解 数m的值为( )。 B.b=18,c=20,B=60°，有一解 C.a=5,c=2,A=90°，无解 D.a=30,b=25,A=150°，有一解 9.(多选题)下列说法正确的是()。 A.已知|a|=1,b|=2,则b·(a+2b) 图1 的最小值为6 B.在△ABC中，若AB·BC<0,则 C.1 D.3 △ABC为钝角三角形 5.如图2，在平行四边形ABCD中，∠A C.若G是△ABC的重心，则AB=3AG =60°，AB=3,AD=2,点G在边DC上，且 -AC 满足DG=专DC,点E为线段AB上的动点 D.若|a|=2√3，|b|=2,a与b的夹角 (不含端点)，则G正·AC的取值范围为 为警，则a在么方向上的投影向量为-号0 ()。 10.(多选题)已知a,b,c分别是△ABC 67 中学生数理化筒心数学2026年7-8月 核心考点演练 的内角A,B,C的对边，给出下列四个条件， 二、填空题 能推出△ABC为等腰三角形的是()。 13.已知△ABC是边长为4的等边三角 A.sin A=sin B 形，则AB在AC上的投影数量为。 B.sin'B=sin'A++sin'C 14.在△ABC中，BC=2√3，A=60°， C.sin A=2cos Bsin C △ABC的面积等于2√3，则角平分线AD的 D.cos 2A=cos 2B 长等于。 11.(多选题)已知O为坐标原点，坐标 15.如图4，在△ABC中，D为AC的中 平面内点P,(cosa,sina),P:（cosB, 点，BC=3BE,BD与AE交于点F,若AF -sin B),P;(cos(a+B),sin(a+B)),A (1, =A它，则实数入的值为 0),则( )。 A.OP=OP. B.AP=AP, C.OA·OP-OP·OP D.OA·OP=OP.OP 图4 12.(多选题)十七世纪法国数学家费马 16.在△ABC中，若b+c=2a,3sinA= 提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角 5sinB,则角C= 形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点 的距离之和最小”。它的答案是：当三角形的 17,已知向量p=(2x+1,3x),q= (2,2x),若p∥q,且|p|<|q,则(p+q)· 三个角均小于受时，所求点与三角形的三个 (p-q)= 顶点的连线两两成角三：当三角形有一内角 18.如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC, 大于或等于时，所求点为三角形最大内角 BC=2AB=2AD=8,B=于，若M,N是线 段BC上的动点，且MN|=2,则DM.DN 的顶点。在费马问题中，所求点称为费马点。 的最小值为 如图3，在△ABC中，C-警AC=1,BC 2,CM是∠ACB的角平分线，交AB于点 M,若P为△ACM的费马点，则下列说法正 图5 确的是( )。 19.已知△ABC的面积S=b'sin A,角 A的平分线AD交BC于D,AD=2E. 3,a 3,则b= 图3 20.已知平面向量a,b满足a·b=2,且 A.CM=2 不等式a十b≥。-合b1对任意实数入都 B.Saw= 成立，则b的值为一。 3 三、解答题 C.△ACM外接圆的半径为2 21.已知平行四边形ABCD的三个顶点 9 A(-1,0),B(3,3),C(4,5),且A,B,C,D D.PA.PM+PC.PM+PA PC= 按逆时针方向排列。 3 (1)求点D的坐标。 68 高一数学糖心幸点清育中学生教理化 (2)求向量AB与AD夹角的余弦值。 (3)求平行四边形ABCD的面积。 22.已知a,b,c分别为△ABC三个内角 A,B,C的对边，满足acos C+√3 a sin C= b+c。 (1)求A。 1 (2)若△ABC的周长为20，面积为 图8 10√3，求a。 系，判断A(7,10)是否为鸿蒙点，并说明理 23.如图6，在△OAB中，延长BA到C, 由。 使AB=AC,D是将OB分成2：1的一个分 (2)证明：若(x,y)是鸿蒙点，则(x十5， 点，DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b。 y)也是鸿蒙点。 (3)若某些鸿蒙点满足x十y=200,求在 所有满足条件的鸿蒙点中，m十n最小的点 及此时m十n的值。 27.如图9，已知 △ABC的面积为 图6 14,D,E分别为边 (1)用a,b表示向量O心，DC。 AB,BC上的点，且 (2)若OE=OA,求实数入的值。 AD:DB=BE:EC C =2:1,AE与CD 图9 24.如图7，记△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,已知b=ac,点D在边 交于点P。设存在A和4，使AP=λA正，PD AC上，BDsin∠ABC=asin C。 =CD,AB=a,BC=b。 (1)求入及4。 (2)用a,b表示B。 (3)求△PAC的面积。 28.如图10所示， 在△ABC中，AM 图7 子A店+子Ad (1)证明：BD=b。 (1)求△ABM与B M (2)若AD=2DC,求cos∠ABC。 △ABC的面积之比。 图10 25.在△ABC中，已知AB·AC+ (2)若N为AB的中点，AM与CN交 2BA·BC=3CA.CB。 于点P,且A户=xAB+yAC(x,y∈R),求 (1)将BC,CA,AB的长分别记为a,b, x十y的值 c,证明：a+2b=3c2。 (2)求sinC的最大值。 厂广参考答案与提示 26.如图8，在平面直角坐标系中，从原 一、选择题 点出发，按a=(2,1)或b=(1,3)这两个方向 1.提示：已知a∥b,且|a|>b|>0,当 进行，且每次只能走一步。若某点P(x,y) a,b同向时，a十b的方向与a相同：当a,b 可以表示为ma十nb(m,n为自然数)，则称 反向时，由a>b|,可知a十b的方向仍与 P为鸿蒙点。 a相同。应选A。 (1)通过鸿蒙点(x,y)中x,y满足的关 2.提示：对于①，0·a=0,①正确。对于 69 中学生款理化终心薇室流6车-心月 ②，a·b=b·a,②正确。对于③，a2=|a12, 于-2×3=6×(-1)，所以e1=(-2,6)与e2 ③正确。对于④，(a·b)·c与c共线，而 =(一1,3)共线，D错误。应选AB。 a·(b·c)与a共线，a与c的关系不确定， 7.提示：由题意得OM=λO店+(1-A)· ④错误。对于⑤，a·b=a|b|cos〈a,b》是 OA,则OM-OA=A(O店-OA),所以AM 一个实数，且a·b|≥a·b,⑤错误。应选C。 =AAB,所以A,M,B三点共线。因为λ∈ 3.提示：由△ABC的三边a,b,c满足 (1,2),所以AM|>AB|,所以点B在线段 a:b:c=5:11:13,可设a=5k,b=11k, AM上。又点O的位置不确定，所以不能说 c=13k(k>0),则cosC= a2+b2-c2 明O,A,M,B四点共线。应选ACD。 2ab a b 25k+121k-169k2=- 8.提示：对于A,由snA=sinB,可得 110k2 23<0,所以角C 110 sinB=16Xn30°=1，则B=90,即只有一 是钝角，即△ABC是钝角三角形。应选C。 8 4提示：因为A不=子N心，A市=mA店 解，A错误。对于B,易得sinC= 20×sin60 18 +名A花，所以A立=m花+8AN。 =53且C>B,因为B为锐角，所以有两 9 (方法1)设B卫=PN(A>0),则B卫= 解，B错误。对于C,由A=90°，a=5,c=2, 十丽=产（示-），所以市- 可得b=√a-c2=√25-4=√21，这时有 解，C错误。对于D,由a=30,b=25得a> A+丽=十A店+个A,所以 1 b,因为A=150°>90°，所以B是锐角，有一 1 解，D正确。应选ABC。 1+λ /入=8， 9.提示：对于A,b·(a+2b)=a·b+ 解得1应选A。 8 m=9 2b=2cos〈a,b)+8≥8-2=6，当a与b反 1+A' 向共线时等号成立，A正确。对于B,由AB· (方法2)已知A立=mA+号A心，且 BC<0知∠ABC的外角为钝角，所以 ∠ABC为锐角，故不能判断△ABC为钝角 B,P,N三点其线，所以m十8=1，所以 三角形，B错误。对于C,由G是△ABC的 m=寸应选A 重心，可知AG=子×号(A店+A心) 5.提示：以A为坐标原点，AB所在的直 子(A店+AC),所以A店=3AG-AC,C正 线为x轴，建立平面直角坐标系（作法略），则 确。对于D,因为a|=2√3，|b|=2,a与b 点A(0,0),D(1,3),G(2,√5)，C(4,√3)。 设E(a,0)(0<a<3),则GE=(a一2， 的夹角为，所以。在6方向上的投影向量 -√3)，AC=(4,3),所以GE·AC=4(a 2W3×2×cos 5π 2)-3=4a-11。因为0<a<3,所以-11< b·b、 6 ·b= 2 4a一11<1，所以GE·AC的取值范围为 (-11,1)。应选A。 之b,D正确。应选ACD。 6.提示：由于1×1≠1×0，所以e1=(1, 10.提示：A中，由sinA=sinB,可得 1)与e,=(0,1)不共线，A正确。由于1×1 a=b,故△ABC为等腰三角形。B中，由 ≠2×2，所以e1=(1,2)与e2=(2,1)不共线， sinB=sinA+sinC,可得b2=a2+c2,故 B正确。由于1×(-3)=（一3）×1，所以e1 △ABC为直角三角形，不能确定两直角边是 =(1,一3)与e2=(1,-3)共线，C错误。由 否相等。C中，由sinA=2 cos Bsin C,可得 70 高-数学20车考点清籍中学生教理化 核心考点演练 sin(x-B-C)=sin(B+C)=2cos Bsin C, AM- 2√7 即sin Bcos C+cos Bsin C=2 cos Bsin C,所 3 。在△ACM中，由正弦 以sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C) √分 =0。因为B,C∈(0，π)，所以B=C,故 AM 3 定理得2R= 221,所 9 △ABC为等腰三角形。D中，由cos2A= sin∠ACM= sin 3 cos2B,结合A,B∈(0，π)，可得2A,2B∈ (0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=2π，即A 以△ACM外接圆的半径为会，C错误。对 =B或A+B=π（舍去），故△ABC为等腰 1 三角形。应选ACD。 于D,S△ACM= 11.提示：对于A,由题意知1OP,1= △ABC中，由A>B,可得2A>A+B=3, OP|=1,A正确。对于B,1AP|= √(cosa-1)+sin'a=√2-2cosa,|AP:l 则若<A<号.在△AMC中，∠AMC- 3 =√(cosB-1)+sinB=√/2-2cosB,B不 正确。对于C,OA·OP,=cos(&十B), -A∈（经，），易知点P与△AMC的三个 OP,·OP,=cos acos B-sinasinB=cos(a十 顶点的连线两两成角为，即∠MPA B),C正确。对于D,OA·OP=cosB, OP.OP:=cos acos(a+8)+sin asin(a+ ∠MPC=∠APC=。因为SA B)=cos[a&一(a十B)]=cosB,D正确。应选 P1 M+名1piI1r元sn爱 ACD。 12提示：对丁A,因为C-罗AC=1 +元n要-(1+ BC=2,且CM是△ABC的角平分线，所以 成+P1)-所以P· ∠ACM=∠BCM-S,且Sae=S6aw+ P+PP元+PP=号，所 Saw,所以专×1 CMain号+名×2× 2 以PA·PM+PC·PM+PA·P元= CMin吾-号×1X2×sinm三，解得CM= (PAIPMI+PMPCI+PA. 2π1 =一 ,A正确。对于B,在△BCM中，由BC= 2 1p心1)cos3 3D正确。应选ABD。 二、填空题 2.CM=子且∠CM=舌，可得Sw 13.提示：依题意得AB在AC上的投影 数量为AB|·cos(AB,AC)=4×cos60°= Bc.CMsin∠BcM=×2×号×g 1 2 4x-2 气，B正确。对于C,在△ABC中，因为C= 14.提示：设角A,B,C所对的边分别为 3,AC=1,BC=2,由余弦定理得AB= 2 abe,伥题意得Sm-之csn60=2, 则bc=8。由余弦定理BC2=AC十AB2 AC+BC-2AC·BCcos2m=12+2-2× 3 2AC·ABcos∠BAC得(23)=b2+c2 2 bccos60°=(b+c)-3bc=(b+c)2-24,解 1×2×(-号）=7，所以AB=F。由CM是 得b十c=6。设AD=x,由S△ABC=S△ADe十 △ABC的角平分线得-品-日可得 Sam可得号6csn602=6红sn80+ 71 中学生款理化簧心整卓清练6车7-8月 c7sin30,化简整理得。 1 >之 2√3)。设M(x,0),则N(x十2,0)，其中0 x≤6，所以DM=(x-6,一23)，DN= 解得x-4,即角平分线AD的长为4 3 3 (x-4,-23),所以DM.DN=(x-6)(x 15.提示：因为B,F,D三点共线，且D -4)+(-2W3)=x2-10x+36=(x-5) 为AC的中点，所以存在实数k,使得B下= 十11≥11，当且仅当x=5时等号成立。所以 当x=5时，DM·DN取得最小值11。 kB=令(B+B心)，所以A产-A店+B广 19.提示：依题意知S=名6 esinA A店+冬(B+BC)=(1-冬)A店+号BC。 b'sinA,则c=2b。由角平分线定理知CD BD 因为A正-A店+配-A店+号元，所以A ABC2,所以BD=2CD2BC号 AC b 3 =AA应，即A症=入A店+含B心。据上可得， 1、 -3所以CD=-停。在等联△ABD 2A, 解得入=3 中，因为AB=c=2b,所以cos∠ABD= 48 2AB 16.提示：由3sinA=5sinB,结合正弦定 BD一2痘一.在△ABC中，曲余张定 3 3 理得3a=5b。由3a=5b得b= 5a。因为 理得b2=4b2十3-6b2,解得b=1。 6+c=2a,所以号a+c=2a,即c= 5a。由 20.提示：不等式a十b≥a-2b两 余弦定理得cosC= a2+b2-c2 2ab 边平方得a中6+2a·b≥a+6-a a+(得a）广-(ga)月 b,将a·b=2代入整理得λ2b2十4入+2 名所以C- 2a· 5a 60.令fa)=Xb十4A+2-子6，则 17.提示：因为p∥q,所以(2x+1)·2x f(入)≥0对任意实数入都成立。易得函数 一3x·2=0,即4x(x-1)=0,解得x=0或 f(入)的图像开口向上且△≤0，所以 1b|>0, x=1。当x=0时，p=(1,0),q=(2,0),此 1b>0, 即 4-4b(2-子b）≤0，周 解 时|p=1,q|=2,满足|p|<|q|。当x=1 (b2-4)2≤0， 时，p=(3,3),9=(2,2),此时|p=3√2， 得b=4,所以|b|=2。 |q=22,不满足|p<|q,舍去。故x= 三、解答题 0,p=(1,0),q=(2,0),所以(p+q)·(p 21.提示：(1)由题意得AB=(3,3) q)=|p12-|q12=1-4=-3。 (-1,0)=(4,3)。设点D(x,y),则DC= 18.提示：以点B为坐标原点，BC所在 (4,5)-（x,y)=(4-x,5-y)。由AB= 的直线为x轴，建立平面直角坐标系Bxy D元得A-4-2'即区=0： 所以点D的坐标 (作法略)。因为BC=8,所以C(8,0)。因为 3=5-y,y=2, AB=AD=4,∠ABC=于，所以AB· 为(0,2)。 (2)由题意得AD=(0,2)一(-1,0)= cos∠ABC=4cos3 =2,ABsin∠ABC= (1,2),AB·AD=4×1+3×2=10,1AB|= √4+3=5，|AD1=√+2=5，所以向 4sin受=2E,所以点A(2,25).D(6, 量AB与AD夹角的余弦值为cos〈AB, 72 高-数学20年专点清答中学生数理化 核心考点演练 AD)=- AB·AD2√5 /入+2m-2=0, 5 解得入=5· 4 ABIAD (3)由(2)得向量AB与AD夹角的正弦 3n=0, 24.提示：(1)由题意得BD= 值为n.=√-(-，所 sin∠ABC,由正弦定理C asin C b sin C= sin∠ABC 以平行四边形ABCD的面积为2×号× sin C 2 sin∠ABC-6,所以BD- 得 6 Ax1a花×复-5 因为b2=ac,所以BD=b。 22.提示：(1)由正弦定理得sin Acos C (2)结合(1)知BD=b,AD= 3,DC= +√3 sin Asin C=sinB+sinC。因为sinB b 3。 由余弦定理得cos∠ADB= =sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 以√3 sin Asin C=cos Asin C+sinC。 9c3136 6+46 g-c2 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以 26.26 4b:一，同理得cos∠CDB 3 3 sin A-cosA=1,即2sin(A-若）=1，所 6+ 9a￥ 10b2 9 -a2 以s(A-)=2。因为A∈(0，，所以A 2b2 一。因为∠ADB=π 3 晋∈(-若，）故A-吾-吾，解得A= 13b2 3 -∠CDB,所以9-ca-1 9 ,整理得 (2)因为△ABC的周长为20，且△ABC 4b2 26 3 3 1a+b+c=20, 的面积为10√5，所以 1 即 2bcsin A=103, 2a2+c2=11 3。又b=ac,所以2a+6 11b 1a+b+c=20, 由余弦定理a=b2十c2 3 ,整理得6a‘-11ab+36=0,解得8 bc=40。 2 becos A得a=(b十c)2-3bc,所以a2=(20 或-是 -a)2-3×40,解得a=7。 由余弦定理得cos∠ABC=a+c一b 23.提示：(1)因为A为BC的中点，所以 2ac 4a2 1 0i=2(O店+0C),即0心=2a-b。所以 。当 方交=时，cos∠ABC一G 1,不符合题意：当% 7 D心-0d-oi-0心-2o店=2a-6-号6 =多时，cos∠AsC=12 7 综上可得，cos∠ABC=2 (2)因为O龙=λOA,所以C正=O龙 25.提示：(1)在△ABC中，角A,B,C O元=λOA-OC=λa-(2a-b)=(a-2)a+ 所对的边为a,b,c,由AB.AC+2BA.BC =3CA·CB得cbcos A+2 cacos B=3ba· b。因为C正与CD共线，所以存在实数m, 使得CE=mCD,所以（入一2）a十b= cosC,结合余孩定理得6+e-。)+。十d m(-2a+号b小，所以（入+2m-2)a十 -62= 2(a2+b3-c),所以a2+262=3c2。 (1-m)b=0.因为a,6不共线，所以 (2)由1)得a+26=3c,即 2b2 3+3 73 中学生数理化高数学2026年1-8月 核心考点演练 c2。由余弦定理得cosC= a2+b2-c2 为A户=AA它，PD=CD,所以A户= 2ab a2+b2 +) 2a21 x(a+子b),P元-r(-b-子a),所以AD 3 +3_2a+b 3 2ab 2ab 6ab +p元=(a+子)+(b-名) 2√2ab_ 6ab 3,当且仅当b=V2a时等号成立， (a-3r)a+(号x-rb。 所以cosC的最小值为。。 又因为市=兰A店=导，所以 又因为sinC+cosC=1,所以sinC≤ 1 2 3=3· A=6 7 1-) ，故sinC的最大值为 √7 解得 4 μ=7 26.提示：(1)A不是鸿蒙点，理由如下。 由(x,y)=m(2,1)+n(1,3)=(2m+n, (2)由)知P元=号(-b-3a),B苏- n+3n),可得x=2m+n,即n=x一2m,所 1 以y=m+3n=m+3(x-2n)=3x一5m,即 3a,A店=a,所以B币=B元+D市 3x一y=5m。所有鸿蒙点满足3.x-y可以 1 被5整除，将点A代入得3×7一10=11，不 3a+(6+3)=-7a+b. 能被5整除，故A不是鸿蒙点。 (3)因为BE:EC=2:1,S△Ax=14,所以 (2)由(x,y)是鸿蒙点可知，(x,y)= SaE=名Sam=号又因为A市== na十nb。构造(x+5,y)=na十nb十(5,0)， 将(5,0)表示为pa+gb的形式得 号正.所以Sae一号5as-号×号-4 26+g=5·解得p=3, 故(x十5，y)=(m 28.提示：(1)在△ABC中，由AM= p十3g=0, g=-1, +3)a+(n-1)b。当n≥1时，m+3,n-1 子a店+子AC,可得4A丽-8A店-A花=0， 均为自然数；当n=0时，同理可证存在自然 即3(AM-AB)=AC-AM,所以3BM= 数m',n。因此(.x+5,y)也是鸿蒙点。 MC,即点M是线段BC上的靠近B的一个 (3)由(1)知(x,y)=(2m+n,m+3n), 四等分点，所以△ABM与△ABC的面积之 所以x+y=3m+4n=200。令3n=200 比为 4n,即m= 200-4n 二。由m是整数知200 3 (②)由A-=是+}花，市=花+ 4n可以被3整除，即n被3除余2，不妨设 n=3k十2，k∈N,则m= 200-4(3k+2)_ AC(x,y∈R),AP/Ai,A=A店，可设 3 192-12k=64-4k,所以m十n=(64-4k） -i=染店+A心-A+心 3 十(3十2)=66一k。为使m十n尽可能小， 由N.P,C三点其线，可得经+子=1，解得 4 需使k尽可能大且≥0，解得k16,当k= 16时，m=0,n=50,此时鸿蒙点的坐标为 (50,150),且m+n的最小值为50。 4 27.提示：(1)因为AD:DB=BE 故x十y=7 EC=2:1,AB=a,BC=b,所以AE=AB+ 作者单位：江苏省太仓市明德高级中学 庞-a+号b.c市-+币=-b-言a.因 (责任编辑郭正华) 74