第一章 特殊平行四边形 作业-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

第一章作业 数学九年级上册（北师大版） 第一章作亚 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB= 56°，则∠ACB的度数为() 0 A.56° B.28° C.20° D.18 第1题图 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AB=13,BD=10,则AC的长是() A.48 B.36 C.24 D.12 第2题图 3.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个 锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角α：的度数应为( A.15°或30° B.30°或45° C.30°或60° D.45°或60° 第3题图 4.在复习特殊平行四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①②③④ 处需要添加条件，则下列条件中添加错误的是() A.①填AD=AB B.②填AD⊥AB C.③填∠A=90° D.④填AD=BC D ① 菱形> ② 平行 四边形 正方 矩形 E 第6题图 第4题图 5.在四边形ABCD中，对角线AC与BD垂直，垂足为O,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH是() A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为BC,AD上 一点，CE=5V2,OA=12,则DF的长度是() A.5V2 B.7V2 C.12V2 D.12 65 数学 九年级上册（北师大版） 7.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是( 30 D 609 209 60 30o 30 人60 A B D 8.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边 D AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形向 左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C'处，则点D的对应点D'的 坐标为() A O B A.(-V3,1) B.(-2,1)》 第8题图 C.(-1,V3) D.(-2,V3) 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为线段AB上的动点，DE⊥ AC于点E,DF⊥BC于点F,连接EF。当点D从点A运动到点B的 D 过程中（点D不与点A,B重合），下列关于线段EF长度变化的描述 中，正确的是() A.先变短后变长 B.变化没有规律 第9题图 C.先变长后变短 D.始终保持不变 10.如图，四边形ABCD为矩形纸片。把纸片ABCD折叠，使点A A1--------- 恰好落在BC边的中点E处，折痕为DF。若BC=6,则DF等于( A.3V3 B.4V3 E C.4V2 D.8 第10题图 二、填空题 11.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为2，那 么点O到BC的距离等于 0.- 第11题图 第12题图 第13题图 12如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=62,分别以点1，C为圆心，大于4C 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E,F两点，EF与AC交于点O,则 ∠ABO的度数为 13.如图，矩形ABCD的一条对称轴1与边AD,BC分别交于点E,F,点P是线段 EF上的动点，且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个。 166 第一章作业 14.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在边BC上， ∠BAE=25°。把线段AE绕点A逆时针旋转角a,使点E落在边DC 上，则旋转角的度数为 B E 15.如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB=8m,AD=6m。动 第14题图 态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB,BC以2ms 的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面。当屏幕展开面积达到电 P 子屏面积的}时开始播放广告语，播放时间持续3s,则播放结束时电 第15题图 子屏幕未展开的面积是 m2。 三、解答题 16.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连 接OH。求证：∠DHO=∠DCO。 第16题图 17.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O,四边形AEFC是菱 形，EH⊥AC,垂足为H。求证： (1)四边形OBEH是矩形。 (2)EH=CF. 第17题图 6 数学 九年级上册（北师大版） 18.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点，且 △ACE是等边三角形。 (1)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形。 第18题图 19.如图，已知四边形ABEF是菱形，延长FE到点C使EC=FE,延长BE到点D使 ED=BE,连接BC,CD,DF,CA。 (1)求证：四边形BCDF是矩形。 (2)若CA平分∠BCF,菱形ABEF的边长为3，求矩形BCDF的面积。 A 第19题图 20.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°得到 △DEC,点E在AC上，延长CB到点F,使BF=BC,连接AF,AD。 (1)求证：四边形AFCD是菱形。 (2)连接BE并延长交AD于点G,连接CG,试判断四边形ABCG是什么特殊四边 形，并证明你的结论。 B 第20题图 @ 第一章作业 21.如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形， 点P,Q,M,N分别为边AB,BC,CD,DA的中点。 (1)试判断四边形PQMN的形状，并证明你的结论。 (2)求∠NMQ的度数。 E P 第21题图 22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD=6,BC=10,动点M从点 A出发，以1cms的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以2cms的速度向终 点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为tS。 (1)当四边形ABNM是矩形时，求t的值。 (2)若AB=4,且点N的运动速度不变，要使四边形ABNM能够成为正方形，则点M 的运动速度是多少？ (3)在点M,N运动过程中，四边形BNDM能否成为菱形？请说明理由。 M N >0 第22题图 @© 数学 九年级上册（北师大版） 23.如图1，将一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动， 并使其中一条直角边始终过点A,另一条直角边与BC相交于点E。 (1)猜想PA与PE的数量关系（不必证明）。 (2)如图2，当直角顶点P运动到BD的延长线上时，(1)中猜想的结论还成立吗？ 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 (3)如图3，当直角顶点P运动到DB的延长线上时，(1)中猜想的结论还成立吗？ 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 P 图1 图2 图3 第23题图 远参考答案与提示 柑橘总 验次数较大时，试验频率稳定于理论概率（或频率与 质量 50 100150 200 250 300 350 400 450500 概率的关系)。基本规律：在相同区域内进行大量重复 m/kg 投点试验时，投中某区域的频率会趋近于该区域面积 柑橘损 坏质量5.5010.5015.1519.4224.2530.9335.3239.2444.5751.54 与总面积的比值，应用这个规律可以通过频率估算不 n/kg 规则图形的面积。 柑橘损 5.解：任务1：安排x名工匠主攻宋制，y名工 坏频率 0.1100.1050.1010.09710.0970.10B10.10090.09810.0990.103 匠负责唐制，.加工明制服装的有(60-x-y)人。： n n 明制服装总套数和唐制服装总套数相等，∴.60-x-y=3y。 (2)根据表格中的数据估计柑橘损坏的概率为0.1。 415。在务2：0=30x3x子+15+2x[120- 1 (3)根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘 中完好柑橘的质量为10000x(1-0.1)=9000(kg)。设每 32-15]+90x3x+15,=-12r+240x+5400 千克柑橘的售价为x元，则有9000x=2×10000+5000。 任务3：=-12x2+240x+5400,.抛物线的开口向下， 解得x≈2.8。答：出售柑橘时每千克大约定价为2.8 元可获利润5000元。 对称轴为直线=2双4州20。：宋制汉服至少交付 2解：（山由题意，得0号答：若从该 15套，2≥15。x≥75。x为整数，且-+15 校全体初中生中随机抽取1名学生，估计抽到的学生 为整数，.当x=8或12时，w取得最大值。当x=8 愿意参加该活动的概率为子。 时，y=13,60-x-y=39;当x=12时，y=12,60-x-y= 36。答：安排13名工匠加工唐制汉服、8名工匠加工 (2)由题意知，从该校全体高中生中随机抽取1： 宋制汉服、39名工匠加工明制汉服，或安排12名工 名学生，估计抽到的学生愿意参加该活动的概率为 匠加工唐制汉服，12名工匠加工宋制汉服，36名工匠 20+202。抽到愿意参加该活动的总人数为2400x 201 加工明制汉服，即可获得最大利润。 第一章作业 2500 2+1800x2600+9002500(人)。2400 1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.C8.D 2三。答：估计抽到的学生愿意参加该活动的概率为 9.A10.B 420 42 3.解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的 11.212.28°13.314.60或7015.32 频率为15000=0.25. 16.证明：四边形ABCD是菱形，AB∥CD, 60000 OD=OB,∠COD=90°。DH⊥AB,∴.∠DHB=90°。 (2)由(1)估计从纸箱中随机摸出一个球是红球 OH是Rt△DHB斜边DB的中线，：0H=BD=OB, 的概率约为子。设纸箱中白球的数量为x,从纸箱中 .∠OHB=∠OBH。又AB∥CD,.∠OBH=∠ODC。 随机摸出一个球是红球的概率为2。 .121 12+°12+x-4 ∠OHB=∠ODC。:∠ODC+∠DC0=90°，∠DH0+ ∠OHB=90°，.∠DHO=∠DC0。 解得x=36。经检验，x=36是分式方程的解且符合实 17.证明：（1)：四边形ABCD是正方形， 际，.估计纸箱中白球的数量接近36。 .AC⊥BD。·.EH⊥AC..∠AOB=∠BOH=∠EHO=90° 4解：（山不公平。P影）=)多，即甲 :四边形AEFC是菱形，∴AC∥BF。∴∠OBE=∠AOB= 同学获胜的概窄为)，乙同学获胜的概率为4。 .5 90°。∴.∠OBE=∠B0H=∠EH0=90°。.四边形OBEH 0g。“号> 是矩形。 号，甲同学获胜的概率理大。六游戏对双方不公平。 (2)四边形AEFC是菱形，AC=CF。:四边形 OBEH是矩形，.EH=BO。:四边形ABCD是正方形， (2)甲同学的方法正确。设不规则图形的面积为 S,则掷入不规则图形内的频率=几≈P(掷人不规则图 B0=BD=4C。EH=2CF。 18.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， 形内)=号，“不规则图形的面积5产。依据是当试 .AO=C0。又.△ACE是等边三角形，.EO⊥AC,即 m DB⊥AC。.四边形ABCD是菱形。 43 数学 九年级上册（北师大版） (2):△ACE是等边三角形，.∠AEC=60°。 ∠DAE=∠ADE=6O°。∠DAE=∠DAC+∠CAE,. A0=C0,∠AED=}∠AEC=30°。∠AED=2∠EAD, ∠DAC+∠BDE=6O°。∠AOB=∠DAC+∠ADB= 2 ∠DAC+∠BDE+∠ADE,.∠AOB=120°。由(1)知四 .∠EAD=15°。∴.∠AD0=∠EAD+∠AED=45°。由(1) 边形PQMW是菱形，且MWN∥AC,NMQ=∠DOC= 知，四边形ABCD是菱形，.AD=CD。.∠ADO=∠CDO。 ∠A0B=120°. .∠ADC=2∠ADO=90°。..四边形ABCD是正方形。 22.解：(1)由题意，得AM=t,CW=2t。:BC= 19.（1)证明：EC=EF,ED=BE,.四边形 10,∴BN=BC-CN=10-2t。AD∥BC,∠ABC=90°， BCDF是平行四边形。又：四边形ABEF是菱形， ∠MAB=90°。：四边形ABNM是矩形，.AM=BN。t= BE=EF。EC=FE=ED=BE。∴.EC+FE=ED+BE,即 CF=BD。.四边形BCDF是矩形。 10-2.1=10 9 (2)解：·四边形ABEF是菱形，.AB=EF=3, (2).四边形ABNM是正方形，.AB=AM=BN=4。 CF∥AB。.∠FCA=∠BAC。又CA平分∠BCF,. 设点M的运动速度为acm/s,.10-2t=4。解得t=3。 ∠ACB=∠ACF。.∠ACB=∠BAC。.BC=AB=3。又 ,3a=4。a=子。当点M的运动速度为号cms时， 4 .CE=EF=3,.CF=2EF=6。四边形BCDF是矩形，. 3 四边形ABNM是正方形。 ∠CBF=90°。∴由勾股定理，得BF=VCF2-BC= (3)四边形BNDM不能 3V/3。.SE形=BFXBC=-3V3×3=9V3。 成为菱形。理由：如图，连 20.(1)证明：：△DEC是由Rt△ABC绕点C顺 接BD,BM,DN,MN,AD 时针旋转60°得到的，.∠CED=∠ABC=90°，DC=AC, PA ∥BC,∠ABC=90°，∴.∠A= ∠ACD=∠ACB=60°。∴.△ACD是等边三角形。AD= 90°。.MB,AM是Rt△AMB 第22题答图 DC=AC。又∠ABF=∠ABC=90°，BC=BF,AF=AC。 的斜边和直角边，.MB>AM。假设四边形BNDM是菱 :∠ACB=60°，.△AFC是等边三角形。AF=FC=AC。 形，那么四边形BNDM是平行四边形，MD=BN,即 AD=CD=FC=AF。∴.四边形AFCD是菱形。 6-t=10-2t。此时=4。.AM=4,MD=2。而当平行四边 (2)四边形ABCG是矩形。证明：由(1)可知， 形BNDM是菱形时，有MD=BM=2,此时BM<AM,这 △ACD是等边三角形，∠CED=90°，即DE⊥AC。 与MB>AM矛盾。.四边形BNDM不能成为菱形。 AE=EC。四边形AFCD是菱形，AD∥FC。. 23.解：(1)猜想：PA=PE。(2)成立。证 ∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC。..△AEG≌△CEB。 明：如图1，过点P作PF⊥AD交AD的延长线于点 .GE=BE。.四边形ABCG是平行四边形。又： F,交BE于点G,.∠AFP=∠AFG=90°。四边形 ∠ABC=90°，.四边形ABCG是矩形。 ABCD是正方形，·∠BAD=∠ABC=90°。.四边形 21.(1)四边形POMN为 ABGF是矩形。.BG=AF。∠PBG=45°，∴∠BPG=45°。 菱形。证明：如图，连接AC PG=BG=AF。∠APE=90°，∴.∠APF+∠EPG=90°。又 BD。P,Q分别为AB,BC :∠APF+∠PAF=90°，∴.∠EPG=∠PAF。又∠PFA= 的中点，PQ是△ABC的中 ∠PGE=90°，∴.△APF≌△EPG。PA=PE。 位线。PQ∥AC,PQ=号AC 第21题答图 同理MN∥AC,MN=AC。MN∥PQ,MN=PO。 四边形PQMN为平行四边形。△ADE,△ECB是等 边三角形，AE=DE,EC=BE,∠AED=∠BEC=6O°。 ∠AEC=∠DEB=120°。.△AEC≌△DEB。.'AC=BD 图1 图2 P0=AC=D。P,N分别为AB,AD的中点， 第23题答图 PN是△ABD的中位线。PN=BD。PQ=PN。四 (3)成立。证明：如图2，过点P作PF⊥AD交 边形PQMW为菱形。 DA的延长线于点F,交BE于点G,∴∠AFP=90°。， (2)设AC与BD交于点O,由(1)知，△AEC≌ 四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BAF= △DEB,.∠CAE=∠BDE。△ADE是等边三角形， ∠ABG=90°。.四边形ABGF为矩形。.∠BGF=90°， 参考答案与提示 BG=AF。∠DBC=45°，.∠PBG=45°。.∠BPG=45°。 32cm,7c0-PB=32.7(10-2)12-41)=32。整 PG=BG=AF。∠APE=90°，∴.∠APF+∠EPG=90°。又 .·∠APF+∠PAF=90°，∴.∠EPG=∠PAF。又.∠PFA= 理，得-8t+7=0.1=1或t=7（舍去)。∴.当仁1s时， ∠PGE=90°，∴.△APF≌△PEG(ASA)。∴.PA=PE。 △PQC的面积等于32cm2。 第二章作业 20.解：(1)(48-3x)(2)由题意，得x(48- 3x)=180。整理，得2-16x+60=0。x=6或x=10.48- 1.B2.A3.B4.D5.D6.B7.D8.C 3x≤27，解得x≥7。又x≤15，.7≤x≤15。x=10。 9.A10.C (3)若该实验田的面积能为240m2,则x(48-3x)= 11.x2+2x-2=012.213.405214.-315.2.5m 240。整理，得x2-16x+80=0.4=(-16)2-4×1x80=-64< 16.(1)6=-3,2=-4。 2)=号，子 1 0,∴该方程没有实数根。答：该实验田的面积不能为 (3)x=-1±V5。 (4)x1=0,2=1。 5)3 240m2。 21.解：(1)由题意，得超过部分应交电费(90 =-3。 (6)=-8号。 ·0=09%-001)元。 17.(1)证明：：关于x的一元二次方程为x2-(k+ 4)x+3k+3=0,△=[-(k+4)]2-4×1×(3k+3)=(k-2)2≥0。 (2)由题意，得10+(80-x)·0=25。整理方程， .方程总有两个实数根。 得x2-80x+1500=0。解得x1=30,x2=50。又3月用电 (2)解：方程的两个实数根为，，x+x= 45kWh,且交电费10元，.x>45。x=30不符合题 k+4,x=3+3。又x2=+23,.3k+3=k+4-3。解得 意，舍去。x=50。答：规定的xkWh是50kWh。 k=-1。 22.解：(1)x2+6x-10=x2+6x+9-19=(x+3)2-19, 18.解：(1)一元二次方程4x2-11x+7=0是“黄 (x+3)2≥0，.当x=-3时，(x+3)2取得最小值，最小值 金方程”。理由：这里=4，b=-11,c=7,4+(-11)+ 是0。.(+3)2-19≥-19。.当x=-3时，x2+6r-10取得 7=0,∴.一元二次方程4x2-11x+7=0是“黄金方程”。 最小值，最小值是-19。 (2)ax2-3x+c=0是关于x的“黄金方程”，.a-3+ (2)-344+9=-72-8x+16)+17=2(x-4月 c=0。把x=2代人a2-3x+c=0,得4a-6+c=0。 a-30,解得a这个“黄金方程为-3+ 17,4≥0,4≤0。当x=4时，x 4a-6+c=0。 c=2。 2=0。 4取得最大值，最大值是0。了4+9的最大值 (3),3x2-mx+n=0是关于x的“黄金方程”，又 为17。 m是关于x的方程3a2-mx+n=0的一个根，.3-m+n= (3)-x2+5x+y+20=0,y=x2-5x-20。y+x=x2-4x 0,即n=m-3,且3m2-m2+n=0。将n=m-3代人前式， 20=(x-2)2-24。(x-2)2≥0，.当x=2时，(x-2)2取得 得2m4m3-0,解得网=是，=l。n的值为多 最小值0。y+x的最小值为-24。 23.解：任务1：设从正月初一到正月初三该景区 或1。 春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x。由题意， 19.解：(1)由题意，得AP=2tcm,BQ=4tcm, 得5(1+x)P=7.2。解得x1=0.2=20%,2=-2.2(不符合题 ,AB=10cm,PB=AB-AP=(10-2t)cm。点B在PQ 意，舍去)。答：从正月初一到正月初三该景区春日赏 的垂直平分线上，PB=B0.10-21=4。解得=号。 花专线客运收人的日平均增长率为20%。任务2：设 降价m元，则下调后每份售价为(50-m)元，销售量 当=号s时，点B在PQ的垂直平分线上。 为40+8×号)份。由题意，得(50-m-20)40+8x受) (2)由(1)知BQ=4tcm,AP-2tcm,PB=(10- 2)cm。:四边形ABCD是矩形，.∠B=90°。由勾股 1200。整理，得m2-20m=0。解得m1=20,m2-0(不符 定理，得PQ=PB2+BQ2,.(10-2t)2+(4t)=102。整理， 合题意，舍去)。50-m=30(元)。答：下调后每份套 餐的售价是30元。任务3：该店平均每天能获利1600 得2-2t=0。解得t=0(舍去)，t2=2。.当t=2时，PQ 元。设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售 的长度等于10cm。 (3)由题意，得CQ=BC-BQ=(12-4t)cm,S△wc= 价为(50-y）元，销售量为(40+8x之)份。由题意，