第1章特殊平行四边形考题分析+达标训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以典型考题为载体，系统整合特殊平行四边形判定与性质，通过思路导航与画龙点睛提炼解题方法，强化知识逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考题分析|3道综合题|菱形/矩形判定、辅助线添加（垂线/截取）、动态问题转化（轨迹/最值）|从平行四边形出发，通过边角条件生成特殊四边形，结合全等/勾股构建推理链条| |达标训练|20题（选择/填空/解答）|性质对比（矩形vs菱形）、面积公式应用、正方形综合证明|覆盖概念辨析、计算推理、创新探究，形成“概念-性质-应用”完整逻辑|

第1章特殊平行四边形考题分析+达标训练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 考题分析 1．（2026春•龙泉市期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，EF是BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连结BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）求△CDF的周长． 【思路导航】（1）由线段垂直平分线的性质推出BE＝DE，由等腰三角形的性质和平行线的性质推出∠BFE＝∠BEF，得到BF＝BE，判定四边形BEDF是平行四边形，而BE＝DE，判定四边形BEDF是菱形． （2）由平行四边形的性质推出DC＝AB＝4，由菱形的性质推出DF＝BF，得到△CDF的周长＝CD+BC＝10． 【详细解析】（1）证明：∵EF垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴∠BEF＝∠DEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BF＝BE， ∴BF＝DE， ∵BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE＝DE， ∴四边形BEDF是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝4， ∵四边形BEDF是菱形， ∴DF＝BF， ∴△CDF的周长＝CD+CF+DF＝CD+CF+BF＝CD+BC＝4+6＝10． 【画龙点睛】本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握菱形的判定方法． 2．（2026•宁明县三模）如图，在▱ABCD中，∠BDC＝90°，E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF． （1）已知①AE＝DE；②BF＝BC两个条件，请你从中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝5，直接写出四边形ABCF的面积． 【思路导航】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，选择①：证明△ABE≌△DFE（AAS），得到DF＝AB，进而证明四边形ABDF是平行四边形，结合∠BDC＝90°，推出∠BDF＝90°即可证明； 选择②：由等腰三角形的性质得CD＝FD，进而证明四边形ABDF是平行四边形，推出∠BDF＝90°即可证明； （2）证明AB＝DF＝CD＝3，得CF＝6，再由勾股定理求得BD＝4，即可解决问题． 【详细解析】（1）证明：选①AE＝DE， 证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DFE． 在△ABE和△DFE中， ∵， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDF＝180°﹣90°＝90°， ∴平行四边形ABDF是矩形； 选②BF＝BC， 证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵C，D，F共线， ∴AB∥FD， ∵∠BDC＝90°， ∴BD⊥CF， ∵BF＝BC， ∴CD＝FD， ∴AB＝FD， ∴四边形ABDF是平行四边形， 又∵∠BDF＝180°﹣∠BDC＝90°， ∴平行四边形ABDF是矩形； （2）解：∵四边形ABDF是矩形， ∴AB＝DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝5， ∴AB＝DF＝CD＝3， ∴CF＝DF+CD＝3+3＝6， 在Rt△BDC中，BC＝5，CD＝3， ∴， ∵AB∥CF， ∴四边形ABCF的面积． 【画龙点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2026春•秀山县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC，点E是BC边上一点，连接AE，将AE绕着点A顺时针旋转α得到线段AF． （1）如图1，若α＝∠BAC＝90°，连接BF，BF＝3，BC＝8，求△ABE的面积； （2）如图2，若α＝2∠BAC＝120°，连接CF交AB于H，求证：2AH+CE＝AD； （3）若在（2）的条件下，3CE＝BC＝9，点P为AB边上一动点，连接EP，将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EQ，连接CQ，当线段CQ取得最小值时，直接写出四边形BHQE的面积． 【思路导航】（1）如图，过点A作BC的垂线交BC于点M，再证△FAB≌△EAC可得FB＝CE，进而得到BE＝5，再根据直角三角形的性质可得AMBC＝4，再根据三角形的面积公式计算即可； （2）在BH上截取BP＝CE，连接CP，先证△CBP≌△ACE可得CP＝AE＝AF，再证△AHF≌△CPH可得AH＝AP，然后再线段的和差和等量代换即可详细解析； （3）先求得CE＝3，BE＝BC﹣CE＝6，再连接EH，则EH＝BE＝6，当CQ⊥MH，即CO有最小值，再根据勾股定理求得CQ，最后根据平行四边形的面积即可求解． 【详细解析】（1）解：如图，过点A作BC的垂线交BC于点M， ∵a＝∠BAC＝90°， ∴∠FAB＝∠EAC， 在△FAB和△EAC中， ， ∴△FAB≌△EAC（SAS）， ∴FB＝CE， 又∵BF＝3，BC＝8， ∴BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5， 又∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴AMBC＝4． ∴S△ABEBE•AM5×4＝10． （2）解：在BH上截取BP＝CE，连接CP， ∵a＝2∠BAC＝120°， ∴∠BAC＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC， 在△CBP和△ACE中， ， ∴△CBP≌△ACE（SAS）， ∴CP＝AE＝AF，∠BPC＝∠AEC＝60°+∠BAE， ∴∠APC＝180°﹣（∠BAE+60°）， ∵∠FAB＝120°﹣∠BAE， ∴∠APC＝∠FAB， 在△AHF和△CPH中， ， ∴△AHF≌△PHC（AAS）， ∴AH＝PH， ∵BP＝CE， ∴AB＝BC＝AD＝AH+PH+CE＝2AH+CE． （3）解：如图： ∵3CE＝BC＝9， ∴CE＝3，BE＝BC﹣CE＝6， 连接EH，由（2）可知∠BAC＝∠ABC＝60°，BE＝BH＝6， ∴△BHE是等边三角形， ∴∠BEH＝60°，BE＝HE， 将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EP1， ∴PE＝P1E，∠PEP1＝60°，即，∠HEP1＝∠BEP， 在，△BPE和△HEP1中， ， ∴△BEP≌△HEP1（SAS）， ∴∠B＝∠EHP1＝60°， ∵∠BEH＝60°， ∴∠BEH＝∠EHP1＝60°， ∴HP1∥BC，点P的轨迹为过点H且平行BC的直线 过H作HP1∥BC，其延长线交CD于M，过C作CQ⊥BP于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当CQ⊥MH时，即CQ有最小值， ∵BH∥CM，BC∥HM， ∴四边形BHMC是平行四边形， ∴CM＝BH＝6．∠HMC＝∠B＝60°， ∴∠QCM＝30°， ∴MQCM＝3， ∴CQ3， ∴四边形BHQE的面积为BE•CQ＝6×318． 【画龙点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是详细解析本题的关键． 达标训练 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•湛江校级期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（2026•陆良县校级开学）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．∠ABC＝90° D．∠ABD＝45° 3．（2026春•昭阳区期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 4．（2026•唐山一模）如图，两个边长为2的正方形中心重合，∠1＝45°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•江阳区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6、8，AE⊥BC于E，则AE的长是（　　） A． B．9.6 C．4.8 D． 6．（2026•临潼区校级模拟）如图所示，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，S△AOF＝2，S△ABF＝6，则S四边形DEOF为（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 7．（2026•让胡路区校级模拟）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 8．（2026•海门区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连结DG．当点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•市南区校级开学）正方形的对角线长为6，则这个正方形的面积为　 　 ． 10．（2026•海丰县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，DC＝5，DH⊥AB，垂足为H．则DH的长为　 　 ． 11．（2026•天宁区校级一模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边的中点，连接BE，点F是BE的中点，过点F作直线MN，分别交AD、BC于点M、N，且MN⊥BE，若AB＝2，则BN的长为　 　 ． 12．（2026•前进区校级二模）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．请添加一个条件　 　 ，使四边形BEDF为菱形． 13．（2026春•零陵区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝　 　 ． 14．（2026•安徽模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，且AG＝AB． （1）∠EAF＝　 　 °； （2）连接BD，分别交AE，AF于点P，Q，已知BP＝2，DQ＝3，则PQ的长为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•小店区校级月考）如图，已知△ABC．请用无刻度的直尺和圆规分别在边AB，BC，AC上取点D，E，F，使得四边形ADEF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 16．（2026春•涡阳县期末）如图，点E在矩形ABCD的CD边上，EA平分∠BED． （1）求证：BE＝CD； （2）过A作AF⊥BE于F，连接CF，若BE平分∠ABC，求∠CFE的大小． 17．（2026•云南一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ACD＝∠ADC，过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，连接AE交CD于点O． （1）求证：四边形ACED是菱形； （2）若四边形ACED的面积为120，AE与CD的和34，求AD的长（其中AE＞CD）． 18．（2026•市南区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：△DEC≌△AEF； （2）判断四边形ADBF的形状，并说明理由； （3）要使四边形ADBF是正方形，需要给△ABC添加什么条件？直接写出你的答案． 19．（2026•贵州模拟）综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，P为AC上一点，当AP＝　 　 时，△ABP与△CBP为积等三角形； （2）【理解运用】：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝3，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长； （3）【综合应用】：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形． 20．（2026•二道区校级模拟）【问题情境】某数学兴趣小组在探究正方形中的动点问题时，进行了如下操作： 如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且满足BE＝CF．连接AE、BF交于点N，连接EF，取EF中点M，连接MN． 【探究发现】 （1）小力在探究中发现无论点E、F在BC、CD边上如何运动，总有AE⊥BF．以下是小力的部分证明过程： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ⋮ ∴∠BNE＝90° ∴AE⊥BF． 请你帮助小力完成上述证明过程． （2）小旺在探究MN的最小值时，发现由（1）可知∠ENF＝90°，又M为EF的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，因此求MN的最小值可转化为求EF的最小值． 小明提供了以下两种思路： 方法一：设BE＝x，利用勾股定理建立相关函数表达式进行求解； 方法二：过点B作BF′平行且等于EF（F和F′在BC同侧），连接FF′，通过构造平行四边形进行求解． 请你结合以上思路，或自己思考其他方法，求出EF的最小值为　 　 ，则MN的最小值为　 　 ． 第1章特殊平行四边形考题分析+达标训练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•湛江校级期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等， ②矩形的四个角都是直角， ③矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等， ②菱形的对角相等， ③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 2．（2026•陆良县校级开学）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．∠ABC＝90° D．∠ABD＝45° 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意， B、∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意， C、∵四边形ABCD是平行四边形， 添加∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故符合题意， D、∵∠ABD＝45°，无法判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意． 故选：C． 3．（2026春•昭阳区期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 4．（2026•唐山一模）如图，两个边长为2的正方形中心重合，∠1＝45°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：两个边长为2的正方形中心重合，∠1＝45°，如图， 由两个边长为2的正方形中心重合，可知：BE＝BC＝CG， ∵∠1＝45°， ∴△DBE，△ABC都为等腰直角三角形， ∴DE＝DB＝AB＝AC，∠ACB＝45°＝∠FCG，， ∴△FCG是等腰直角三角形， ∴AC＝CF＝DB， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2026•江阳区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6、8，AE⊥BC于E，则AE的长是（　　） A． B．9.6 C．4.8 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴COAC＝3，BOBD＝4，AO⊥BO， ∴BC， ∴， ∵S菱形ABCD＝BC×AE， ∴BC×AE＝24， ∴AE＝4.8， 故选：C． 6．（2026•临潼区校级模拟）如图所示，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，S△AOF＝2，S△ABF＝6，则S四边形DEOF为（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAF＝∠D＝90°， ∵CE＝DF， ∴AD﹣DF＝CD﹣CE， 即AF＝DE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴S△ABF＝S△DAE， ∵S△ABF＝6，S△AOF＝2， ∴S四边形DEOF＝S△DAE﹣S△AOF＝S△ABF﹣S△AOF＝6﹣2＝4． 故选：B． 7．（2026•让胡路区校级模拟）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 8．（2026•海门区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连结DG．当点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCE＝∠CDF＝90°，BC＝CD， 在Rt△BCE和Rt△CDF中， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠EBC＝∠FCD， ∵∠FCD+∠BCG＝90°， ∴∠CBE+∠BCG＝90°， ∴∠CGB＝90°， ∴点G的运动轨迹是以BC为直径的圆弧，当O，G，D共线时，DG有最小值， 以BC为直径作⊙O，连接OG， ∵AB＝4， ∴OC＝2，CD＝AB＝4， ∴， ∴， 即DG的最小值为， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•市南区校级开学）正方形的对角线长为6，则这个正方形的面积为　18　 ． 【解答】解：∵正方形的对角线长为6， 则这个正方形的面积为18， 故答案为：18． 10．（2026•海丰县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，DC＝5，DH⊥AB，垂足为H．则DH的长为　4.8　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OCAC8＝4，BD＝2OD，AB＝DC＝5， 由勾股定理得到：OD3， ∴BD＝2OD＝6， ∵DH⊥AB， ∴AB•DHAC•BD， ∴5×DH8×6， ∴DH＝4.8． 故答案为：4.8． 11．（2026•天宁区校级一模）如图，正方形ABCD中，点E是CD边的中点，连接BE，点F是BE的中点，过点F作直线MN，分别交AD、BC于点M、N，且MN⊥BE，若AB＝2，则BN的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝2，∠C＝90°， 连接EN， ∵点F是BE的中点， ∴BF＝EF， ∵MN⊥BE， ∴MN垂直平分BE， ∴EN＝BN， ∵点E是CD边的中点， ∴CE＝DE＝1， ∵EN2＝CN2+CE2， ∴BN2＝（2﹣BN）2+12， ∴BN． 故答案为：． 12．（2026•前进区校级二模）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．请添加一个条件BF＝FD（答案不唯一）　 ，使四边形BEDF为菱形． 【解答】解：添加一个条件BF＝FD（答案不唯一），使四边形BEDF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BF∥ED，BA∥DC， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠EBD∠ABD，∠FDB∠CDB， ∴∠EBD＝∠FDB， ∴BE∥DF， ∵BF∥ED， ∴四边形BEDF平行四边形， ∵BF＝FD， ∴四边形BEDF是菱形， 故答案为：BF＝FD（答案不唯一）． 13．（2026春•零陵区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝　　 ． 【解答】解：连接OP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴S矩形ABCD＝AB•AD＝6×8＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠BAD＝90°， ∴OA＝OD，BD10， ∴S△AODS矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF， 故答案为：． 14．（2026•安徽模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，且AG＝AB． （1）∠EAF＝　45　 °； （2）连接BD，分别交AE，AF于点P，Q，已知BP＝2，DQ＝3，则PQ的长为　　 ． 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AG⊥EF，AG＝AB， ∴AD＝AB＝AG，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°＝∠AGE＝∠AGF， 在Rt△AEB和Rt△AEG中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△AEG（HL）， ∴∠BAE＝∠GAE， 在Rt△AFD和Rt△AFG中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AFG（HL）， ∴∠GAF＝∠DAF， ∴90°＝∠BAD＝∠GAF+∠DAF+∠GAE+∠BAE＝2（∠GAF+∠GAE）＝2∠EAF， ∴∠EAF＝45°； （2）如图，正方形ABCD中，BP＝2，DQ＝3，AG⊥EF，连接GQ，GP， ∴∠AGE＝90°＝∠AGF，∠DBC＝45°＝∠BDC， 由（1）知：Rt△AFD≌Rt△AFG，Rt△AEB≌Rt△AEG， ∴DF＝GF，∠BFA＝∠GFA，BE＝GE，∠BEA＝∠GEA， 在△GPE和△BPE中， ， ∴△GPE≌△BPE（SAS）， ∴GP＝BP＝2，∠EGP＝∠EBP＝45°， 在△GFQ和△DFQ中， ， ∴△GFQ≌△DFQ（SAS）， ∴GQ＝DQ＝3，∠FGQ＝∠FDQ＝45°， ∴∠PGQ＝180°﹣∠FGQ﹣∠EGP＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在Rt△PGQ中，由勾股定理得：， 即PQ的长为． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•小店区校级月考）如图，已知△ABC．请用无刻度的直尺和圆规分别在边AB，BC，AC上取点D，E，F，使得四边形ADEF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图所示：四边形ADEF是所求作的菱形． 16．（2026春•涡阳县期末）如图，点E在矩形ABCD的CD边上，EA平分∠BED． （1）求证：BE＝CD； （2）过A作AF⊥BE于F，连接CF，若BE平分∠ABC，求∠CFE的大小． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAE， ∵EA平分∠BED， ∴∠AED＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD． （2）解：∵矩形ABCD， ∴∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF＝45°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFE＝90°＝∠D，∠FAB＝∠ABF＝45°， ∴AF＝BF， ∵∠AED＝∠AEB，AE＝AE， ∴△ADE≌△AFE（AAS）， ∴AD＝AF， ∴BF＝BC， ∴， ∴∠CFE＝180°﹣67.5°＝112.5°． 17．（2026•云南一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ACD＝∠ADC，过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，连接AE交CD于点O． （1）求证：四边形ACED是菱形； （2）若四边形ACED的面积为120，AE与CD的和34，求AD的长（其中AE＞CD）． 【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵∠ACD＝∠ADC， ∴AD＝AC， ∴四边形ACED是菱形． （2）解：∵四边形ACED是菱形， ∴AE⊥CD，，， ∵四边形ACED的面积为120，AE与CD的和34， ∴，AE+CD＝34， ∴OA+OD＝17，OA•OD＝60， ∴AD2＝OA2+OD2＝（OA+OD）2﹣2OA•OD＝172﹣2×60＝169， ∴AD＝13． 18．（2026•市南区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：△DEC≌△AEF； （2）判断四边形ADBF的形状，并说明理由； （3）要使四边形ADBF是正方形，需要给△ABC添加什么条件？直接写出你的答案． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠EDC，∠EFA＝∠ECD， ∵点E是线段AD的中点， ∴AE＝DE； 在△AEF和△DEC中， ， ∴△DEC≌△AEF（AAS）； （2）解：四边形ADBF是矩形，理由如下： ∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD＝BD， ∴∠ADB＝90°； 由（1）得△DEC≌△AEF， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BC，即AF∥BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， 又∵∠ADB＝90°， ∴平行四边形ADBF是矩形； （3）解：当△ABC是直角三角形即∠BAC＝90°时，四边形ADBF是正方形，理由如下： ∵在△ABC中，AB＝AC，又∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝45°＝∠ABC， ∴AD＝BD， 由（2）得四边形ADBF是矩形， ∴四边形ADBF是正方形． 19．（2026•贵州模拟）综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，P为AC上一点，当AP＝　　 时，△ABP与△CBP为积等三角形； （2）【理解运用】：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝3，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长； （3）【综合应用】：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形． 【解答】（1）解：如图1中，在AC上截取AP， Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵AB＝5，BC＝4， ∴AC3， ∵AP＝PC， ∴S△PAB＝S△PBC， ∵△ABP与△PBC不全等， ∴△ABP与△CBP为积等三角形， 当AP时，△ABP与△CBP为积等三角形； 故答案为：； （2）解：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE， ∴∠ADB＝∠EDC， ∵△ABD与△ACD为积等三角形， ∴BD＝CD， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB＝EC＝3， ∵AC＝5， ∴5﹣3＜AE＜5+3， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4， ∵AD为正整数， ∴AD＝2或3， ∴AD的长为：2或3； （3）证明：如图3，过点E作EH⊥GA，交GA延长线于点H， ∵四边形ABDE和四边形ACFG均为正方形， ∴AB＝AE，AG＝AC，∠GAC＝90°， ∴∠HAE+∠BAH＝90°，∠BAH+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠EAH． 在△ABC和△AEH中， ， ∴△ABC≌△AEH（AAS）． ∴AC＝AH，S△ABC＝S△AEH， ∵AG＝AC， ∴AG＝AH， ∴S△AGE＝S△AHE， ∴S△ABC＝S△AGE． ∴△AEG与△ABC为积等三角形． 20．（2026•二道区校级模拟）【问题情境】某数学兴趣小组在探究正方形中的动点问题时，进行了如下操作： 如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且满足BE＝CF．连接AE、BF交于点N，连接EF，取EF中点M，连接MN． 【探究发现】 （1）小力在探究中发现无论点E、F在BC、CD边上如何运动，总有AE⊥BF．以下是小力的部分证明过程： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ⋮ ∴∠BNE＝90° ∴AE⊥BF． 请你帮助小力完成上述证明过程． （2）小旺在探究MN的最小值时，发现由（1）可知∠ENF＝90°，又M为EF的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，因此求MN的最小值可转化为求EF的最小值． 小明提供了以下两种思路： 方法一：设BE＝x，利用勾股定理建立相关函数表达式进行求解； 方法二：过点B作BF′平行且等于EF（F和F′在BC同侧），连接FF′，通过构造平行四边形进行求解． 请你结合以上思路，或自己思考其他方法，求出EF的最小值为　　 ，则MN的最小值为　　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， 在△BNE中，∠BNE＝180°﹣（∠CBF+∠AEB）＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥BF； （2）解：方法一：设BE＝x，则CF＝x，CE＝8﹣x． 在Rt△ECF中， 由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2＝（8﹣x）2+x2 ＝64﹣16x+x2+x2＝2x2﹣16x+64 ＝2（x﹣4）2+32， ∵2＞0， ∴当x＝4时，EF2有最小值32； ∴EF的最小值为； ∵∠ENF＝90°，M为EF的中点， ∴． ∴MN的最小值为， 答：EF的最小值为；MN的最小值为． 方法二：过点B作BF′平行且等于EF（F和F′在BC同侧），连接FF′， ∵BF′∥EF且BF′＝EF， ∴四边形BEFF′是平行四边形， ∴FF′⊥CD，FF′＝BE＝CF， ∴△FF′C是等腰直角三角形， ∴∠FCF′＝45°，即点F′在∠BCD的角平分线上， ∴当BF′⊥CF′时，BF′取得最小值，即EF取得最小值， 此时△BCF′是等腰直角三角形， ∵BC＝8， ∴BF′的最小值为； 同理MN的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $