专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，湖南专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知 为奇函数，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】A 【分析】 由奇函数定义计算即可得的值. 【详解】 由奇函数定义可得， 即， 整理得. 由对任意恒成立，故. 故选：A 2．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）若函数 是增函数，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数各段均为增函数，且在分段处也满足单增的关系列式即可. 【详解】 由题可知为增函数，故对称轴小于等于1， 且当时，故 ，解得. 故选：A 3．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知是偶函数，且时是减函数，则与的大小关系 A. ＞ B. ＜ C. ≤ D. 无法比较 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数，判断出的图象关于x = 1对称；根据时是减函数及指数函数与的大小关系，即可比较大小． 【详解】平移一个单位得到的图象，且是偶函数 因为偶函数图象关于y轴对称，所以的图象关于x = 1对称 当x < 0 时， ，因为时是减函数，所以 当x ≥ 0 时， ，因为时是增函数，所以 综上所述， 所以选C 【点睛】本题考查了函数图象及其性质的综合应用，指数函数大小关系，属于中档题． 4．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）（多选）下列说法中，正确的是（       ） A. 函数在定义域上是减函数 B. 函数是奇函数 C. 函数为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称图形 D. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立，则的解集为 【答案】BCD 【分析】 A选项，的单调递减区间为，A错误；B选项，根据函数奇偶性定义进行判断；C选项，得到，C正确；D选项，令，推出为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，从而分和两种情况，结合函数单调性求出解集. 【详解】 A选项，的单调递减区间为， 而定义域为，故函数在定义域上不是减函数，A错误； B选项，的定义域为R，又， 故函数是奇函数，B正确； C选项，函数为奇函数，则， 故， 故函数的图象关于点成中心对称图形，C正确； D选项，对于任意，都有成立， 不妨设，则， 令，则， 即在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，且， 故， 的定义域为，且， 所以为偶函数，， 故在上单调递减，， 所以当时，， 由于在上单调递增，故， 当时，， 故在上单调递减，故， 故解集为，D正确. 故选：BCD 5．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）设函数，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性计算函数值即可. 【详解】 注意到， 所以为偶函数，故. 又因为，故， 故选：D. 6．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数在R上为增函数 【答案】ABD 【分析】 根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】 A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确； B：， 由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确； C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确； D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，所以本选项结论正确， 故选：ABD 7．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定 是关于直线 对称的，在 单调递减，在 单调递增，再比较 与x=1的距离根据单调性即可判断. 【详解】 依题意可得，的图像关于直线对称， 因为 ， 则，又在上单调递增， 所以 ； 故选：B. 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知为奇函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由奇函数的性质判断出，再由数轴穿根法解不等式可得. 【详解】 因为为奇函数，所以， 即，所以， 所以， ， 所以不等式的解集为. 故选：D. 9．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（       ） A.  B.  C.  D. 为奇函数 【答案】BCD 【分析】 先赋值得，再赋值可得，有了这两个特殊值，就可赋值得是偶函数，是奇函数，从而可判断各选项. 【详解】 令，则 两式相减得：，故A错误； 令，代入第一个式子得： ， 因为均是定义域为的非常值函数，所以， 即，故B正确； 令，代入第二个式子得： ，所以，故C正确； 令用代替，代入第二个式子得： ，所以是偶函数， 把用代替，代入第一个式子得： 把用代替，代入第二个式子得： 上两式相减得： 因为均是定义域为的非常值函数，所以， 即是奇函数，又因为是偶函数，所以为奇函数，故D正确； 故选：BCD 10．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）（多选）已知函数（），下列说法正确的是（       ） A. 当时，函数的值域为 B. 当时，函数有最小值没有最大值 C. 当时，函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 【答案】AD 【分析】 根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD. 【详解】 对于A， 时，，当，当且仅当时取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确； 对于B，当时，，由于函数均在上单调递增， 故在上单调递增，，， 故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在内也无最大值和最小值， 综上，函数无最大值和最小值，故B错误； 对于C ， 当时，，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由B可知，当时，在上单调递增，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 11．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）“”是“函数在上单调递增”的（       ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据题意，利用一次函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 若函数在上单调递增，则满足，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据图象上的特殊点的坐标及函数图象的对称性、奇偶性判断即可. 【详解】 由图象可以看出，该函数关于轴对称，是偶函数. 而B选项和D选项中的函数解析式不满足， 所以B选项和D选项中的函数不是偶函数，应排除； 因为图象中函数经过点，将其代入选项C中的解析式中， 发现，不满足，应排除. 故选：A. 13．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分析出函数在上单调递减，结合偶函数的性质和单调性可得出结论. 【详解】 因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 故选：C. 14．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）（多选）已知狄利克雷函数 ，则下列选项正确的有（     ） A.  B.  C. 是偶函数 D. 对任意，都有 【答案】BCD 【分析】 根据所给定义，即可代入选项逐一求解. 【详解】 对于A，由于,故，A错误， 对任意的,或，故,因此，故B正确， 对于C，当,则，故，，满足， 当,则，此时，，满足， 故对任意的，都有，故是偶函数，C正确， 对于D, 当,则，故，，满足， 当,则，此时，，满足， 故对任意的，都有，故D正确， 故选：BCD 15．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数是奇函数，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据奇函数的定义求出即可判断. 【详解】 是奇函数， 等价于，即， 故是的充要条件. 故选：C 16．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】 由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】 本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 17．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由分段函数单调性得到 ，求解即可. 【详解】 由题意可得 ， 解得. 所以的取值范围是， 故选：C 18．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定函数的单调性及偶函数的性质求出解集. 【详解】 由偶函数在上单调递减，且，得不等式， 则，解得或，所以原不等式的解集为. 故选：D 19．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据的值域为，得到不等式求解的取值范围. 【详解】 当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以 ， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）定义：不小于的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“的上取整”或“的天花板函数”，如，；不大于的最大整数，在数学中通常用向下取整函数表示，符号为，读作“的下取整”或“的地板函数”，如，.已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分、、、四种情况讨论，求出的值，即可得出集合. 【详解】 当时，，，则. 当时，，，则. 当时，. 当时，，，则. 故. 故选：B. 21．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 由是定义在上的奇函数得到.由当时，得到当时的表达式，从而求出，即可得解. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 22．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：①对任意的，总有；②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（       ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数 在上是“函数”（为有理数集）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用“函数”的定义逐一判断各命题得解. 【详解】 对于（1），取，得，即，又，则，（1）正确； 对于（2），函数在上单调递增，， ， 因此，函数在上是“函数”，（2）正确； 对于（3）， ，取， 得， 因此函数 在上不是“函数”，（3）错误， 所以正确结论的个数是2. 故选：C 23．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）（多选）已知函数，用表示中的较大者，记为，则（       ） A. 的解集为 B. 当时，的值域为 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，不等式有4个整数解 【答案】BD 【分析】 对于A：直接解不等式即可；对于B：结合图像分析判断；对于C：分和，两种情况，整理可得，结合二次函数可知，运算求解即可；对于D：整理可得，结合，解不等式即可. 【详解】 对于选项A：因为，解得， 所以的解集为，故A错误； 对于选项B：当时，则， 分别作出，的图像，可得的函数图像（实线部分），如图所示：   由图像可知：的值域为，故B正确； 对于选项C：若，则 ， 可知在上单调递增，符合题意； 若，令，即， 整理可得， 构建，且， 可知函数与x轴有2个交点，不妨设， 由题意可知：，则， 整理可得，解得； 综上所述：，故C错误； 对于选项D：对于不等式，即， 可得， 令，解得或， 若，则，，， 由，解得， 可知其中包含整数，所以不等式有4个整数解，故D正确； 故选：BD. 24．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知，若对于正数，满足，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】 因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即 时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 25．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造函数转化已知不等式，利用得出函数单调性，最后利用函数单调性结合函数零点求出不等式的解集． 【详解】 令，则不等式等价于， ，， 是定义在上的增函数， ，， 是增函数，，， 不等式的解集为． 故选：B． 26．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 【答案】B 【分析】 利用奇函数的性质，结合时的解析式，求解时的解析式． 【详解】 当时，，满足当时，， ， 为上的奇函数， ， ， 当时，的解析式为，故B正确． 故选：B． 27．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别求出BCD选项中函数的定义域，再结合函数值的正负判断出答案. 【详解】 对于B选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，B错误； 对于C选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，C错误； 对于D选项：，定义域为：， 因为，不满足图像，D错误； 故选：A. 28．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）函数的大致图象为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性排除D；利用函数值正负排除AC，即可得到答案. 【详解】 函数的定义域为， 而， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除D； 当时，，排除C； 当时，，排除A，而B满足条件． 故选：B 29．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系. 【详解】 因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 30．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）（多选）已知是奇函数，定义域为，当时，．则下列说法正确的是（       ） A.  B. 当时， C. 当时，单调递减 D.  【答案】ABD 【分析】 根据题意，求得，结合，可判定A正确；根据题意，利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，可判定B正确；根据函数的单调性的定义和判定方法，可判定C错误；根据分类参数法，求得函数的定义域，可判定D正确. 【详解】 对于A，由函数，可得， 因为函数为奇函数，所以，所以A正确； 对于B，设，则，因为是奇函数，且当时，， 可得，所以B正确； 对于C，任取且， ， 因为且，可得， 可得，即，所以函数在上单调递增， 因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，所以C不正确； 对于D，当时，， 由，可得，所以，可得， 当时，， 由，可得，所以，可得， 所以函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 31．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，得到，联立方程组，求得，把在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】 因为函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， 且， 用代换，可得，可得， 联立方程组 ，解得， 又因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，可得，设，设，其中， 由函数的图象开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，所以，所以， 所以实数的取值范围. 故选：B. 32．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）定义：表示不超过的最大整数，如[1.2]=1,[-2.1]=-3,[1]=1，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，利用一元二次不等式的解法，求得，结合取整函数的定义，即可求解. 【详解】 由不等式，即，解得， 因为表示不超过的最大整数，所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 33．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先根据单调性求解函数在上的值域，然后再根据函数图像左右平移不影响函数的值域，求解函数的值域即可. 【详解】 已知在上单调递减， 因此当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 由此可得：函数在上的值域为. 又因为函数是将函数的图像向左平移两个单位，平移前后的值域不变， 因此可得：函数的值域为. 故选：A 34．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数 是“函数”，则实数m的最大值是（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【分析】 首先根据题意得到在区间的值域为，再分类讨论求解即可. 【详解】 由题知：函数 是“函数”， 所以在区间的值域为， ，，即在区间的值域为. 当时，，值域为 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在区间为增函数，值域为. 所以 ，则的最大值为14. 故选：C 35．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）已知定义在上的函数 ，则下列结论正确的是（            ） A.  B.  C.  D. 函数的值域为 【答案】ABD 【分析】 利用分段函数的赋值思想不断求值和递推求值，再结合复合函数单调性求值域，从而可判断各选项. 【详解】 对于A，根据题意，由，故A正确； 对于B，根据题意，由，故B正确； 对于C，根据题意，由 ，故C错误； 对于D，由于当时，函数， 满足， 所以图象关于直线对称， 当时，， 所以，，即； 当时，，故，； 当时，由于，所以此时； 当时，由于，所以此时， 以此类推，根据定义域为，所以可得函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 36．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）若函数 的值域是，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和范围，从而求出实数的取值范围. 【详解】 当时，，其开口向上，对称轴为，值域为， 由函数 的值域是， 则当时，的值域应包含，所以为减函数， 所以 ，解得，故的取值范围是. 故选：C 37．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（多选）下列各选项给出的命题中，正确的是（     ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 定义为中的最小值，设，则的最大值是2 C. 函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，当时，函数的值域为 D. 若二次函数，则 【答案】BCD 【分析】 对于A:令，则可求得;对于B:画出的图象即可求解;对于C:由高斯函数定义即得;对于D:画出的图象或者代入计算即可求解; 【详解】 对于A:令，则，解得， 则函数的定义域为，故A错误; 对于B:在同一坐标系中分别画出的图象， 取三个图象较低的部分得到的图象如图，即可求的最大值是2.故B正确； 对于C:由高斯函数定义即得，当时，； 当时，；当时，；故C正确; 对于D: ，所以. 故D正确.另外画出的图像也可求解. 故选：BCD 38．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以，，， 所以BD正确，C错误； 若，则，故A错误. 故选：BD. 39．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知函数 的值域为，且，使得,的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据存在，使得，求解取值范围. 【详解】 由， 则，又的值域为， 故，， 则在单调递增，在单调递减， 由存在，使得， 则，则 则，又，故，则， 故 故选：D. 40．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（多选）已知定义在上的函数 f(x)满足，且当时，，则（     ） A.  B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【分析】 对于A：赋值求运算求解即可；对于B：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据题意结合单调性的定义分析判断. 【详解】 因为定义在上的函数 满足， 对于选项A：令，可得，即， 令，可得，即，故A正确； 对于选项B：令，可得， 整理可得， 对于，可得，且定义域为， 所以是奇函数，故B正确； 对于选项C：例如， 则，符合题意， 但在上单调递减，在上单调递增，所以在上不单调，故C错误； 对于选项D：令，可得， 即， 若，则，可得，， 则，即， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ABD 41．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A. 有最大值，无最小值 B. 存在负数，使得 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【分析】 根据函数在时的图象，结合类周期函数的性质，作图，结合图象可逐项分析可得. 【详解】 当时，,此时,当时，函数取得这段区间内的最小值. 由,可知以此类推， 所以有最大值0,无最小值，且当时，. 故A正确，B错误； 当时，，则，故C正确； 当时，，，故D正确. 故选：ACD. 42．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 43．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到 ，解出此不等式组，从而得解. 【详解】 定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ， ， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 44．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（       ） A.  B.  C. 在区间上的最大值是6 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】 对A，令求值判断；对B，将分解赋值代入已知关系式求解；对C，判断的单调性，结合赋值求解最值；对D，将不等式转化为，利用单调性求解. 【详解】 对于A：令，则，解得，A正确； 对于B： ，B正确； 对于C：，且，则， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以在单调递减，在上最大值为， 因为，且， 所以，C错误； 对于D：由得， 因为， 所以，因为是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为.D正确； 故选：ABD. 45．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可. 【详解】 因为，， 设，， 令，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，所以的值域为， 又因为，当且仅当时取等号， 可得，所以的值域为， 根据题意可知：，则， 即，解得且， 所以实数的取值范围． 故选：C. 【点睛】 结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 46．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）（多选）对于函数，下列说法正确的是（       ） A. 函数为奇函数 B. 设，则在上单调递减，在上单调递增 C. 若方程在定义域内恰有两个不同的根，则实数的取值范围为 D. 若在区间上的最大值比最小值大1，则实数的取值不唯一 【答案】ACD 【分析】 根据奇函数的定义可判断A；根据对勾函数的单调性及最值可判断BD，利用判别式可判断C. 【详解】 对于：的定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故正确； 对于：， 函数在上单调递减，在上单调递增， 的单调性应和函数的单调性相同，故错误； 对于C：，即， 即，当有一个根为0时，此时，与题干矛盾，不合题意，舍去， 则 ，解得，故C正确； 对于D：函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 当，即时，在上单调递减， 所以，解得（舍）， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， 则，经验证，符合题意， 当时，， 解得或， 则（舍去）或（舍去）. 综上，的值为4或，故D正确. 故选：ACD. 47．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由已知的奇偶性，确定函数的周期性，周期为4，然后由周期性、对数的运算法则计算函数值． 【详解】 因为为奇函数， 所以，即， 又因为为偶函数， 所以， 即， 所以， 故是以为周期的周期函数. 因为当时，， 所以 因为， 所以. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：解题关键是通过点对称与轴对称求周期，以及对数的运算. 48．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（       ） A.  B. ，使得 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式. 【详解】 对于A，令，则，故正确； 对于B，假设，，， 则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误； 对于C，假设，使得， 由，得，， 则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾， 故，有； 设，且， 由，得， 由任意的实数，都有，得，， 故，即，有； 综上，，有； 又， 所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，故正确； 对于D，，则. 又，. ，， 所以，， 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 又函数是定义在上的奇函数，所以； 故解集为，故正确. 故选：ACD. 49．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由奇函数的性质求解即可； 【详解】 当时，则， 由奇函数性质知， 所以 . 故答案为： . 50．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）若且函数在上的值域为，求的值. 【答案】（1）     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以， 所以， 所以函数在上单调递减     （3）8      【分析】 （1）将代入函数的解析式，求出的值即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性得到关于的方程，求出的值，从而求出的值即可． (1) 小问详解： 因为函数的图象过点， 所以 ，解得， 所以函数的解析式为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为且函数在上单调递减， 所以 ，解得， 所以 51．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知函数 ，若是奇函数，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据函数解析式求得，再根据奇函数的性质列方程求解即可. 【详解】 由 ， 则， 因为是奇函数，所以， 则，解得. 故答案为：. 52．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增.     （2）最大值为1，最小值为.      【分析】 （1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 53．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知定义在上的函数是奇函数，且当时， （1）求在上的解析式; （2）根据定义证明在上单调递减; （3）求在上的值域. 【答案】（1） ；     （2） 设， ， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）取值、作差再因式分解，最后判断符号即可； （3）先求出时的范围，再根据其为奇函数即可求出其在上的值域. (1) 小问详解： 令，则，， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对于，可得，所以，所以， 因为函数是奇函数，所以，， 又， 因此，在上的值域是 . 54．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，，，（），求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为和     （2）      【分析】 （1）根据题意求的解析式，进而作出图象，根据图象判断单调区间； （2）根据题意求的解析式，进而作出图象，根据图象可得的取值范围，结合方程可得，，即可得结果. (1) 小问详解： 令，解得或；令，解得； 所以 ， 作出函数的图象，如图所示：    所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. (2) 小问详解： 令，解得或； 令，解得； 所以 ， 作出函数的图象，如图所示：    若关于的方程有四个不相等的实数根，可得， 因为是方程，即的两根，则， 且是方程，即的两根，则， 可得， 所以的取值范围为. 55．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知是定义在上的单调递增函数，对任意的、，且，都有，且，令函数，则不等式的解集为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 不妨设，分析出函数在上单调递增，将所求不等式变形为，即可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】 不妨设，则， 由，可得，，即， 所以在上单调递增. 因为，所以即为， 所以，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 56．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. （1）任取，，证明：. （2）证明：是上的减函数. （3）解关于的不等式. 【答案】（1） 因为， 所以， 令，，则， 所以；     （2） 证明：任取，，且， 则由（1）得， 因为当时，， ，则， 所以，即， 所以是上的减函数；     （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）赋值法，令，即可求解； （2）根据单调性的定义，结合已知条件，即可证明； （3）根据（2）中所求单调性，转化原不等式为含参不等式的求解，分类讨论即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由， 可得， 即， 因为是上的减函数， 所以， 即，① （ⅰ）当时，不等式① 式即为，解得，即原不等式的解集为； （ⅱ）当时，不等式① 式化为，即， 若，上式不等式即为，解得，即原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； （ⅲ）当时，不等式① 式化为，即， 此时，所以原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 57．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数     （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数;     （3）      【分析】 （1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. (1) 小问详解： 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则 解得或 即实数的取值范围为. 58．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递减； （3）求在上的值域． 【答案】（1）；     （2） 由（1）函数， 任取， 则， 因为，所以， 所以即， 所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由配凑法即可得解； （2）先由（1）得到函数的解析式，再任取，作差计算得到即可证明； （3）先由（2）得到函数在上单调递减，求出其最值即可得解. (1) 小问详解： 由题可得， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 59．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. (1) 小问详解： 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. (2) 小问详解： 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述： . 60．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）函数，满足. （1）求的解析式； （2）证明：在上为增函数； （3）解不等式：. 【答案】（1）     （2） 任取且， 则 ， 由，得，且，， 则， 因此，即， 所以在上为增函数.     （3）      【分析】 （1）根据代入求出参数的值，即可得解； （2）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （3）首先判断函数的奇偶性，结合函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. (1) 小问详解： 由且，得， 解得， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 61．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为.     （2） 【分析】 （1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述， . 62．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个　　　　　　（答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】 根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】 令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 63．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．    （1）用解析法表示函数，并画出函数的图像； （2）根据图像写出函数的单调区间，值域； （3）解不等式. 【答案】（1） ，         （2）函数在区间单调递减；在单调递增，值域为     （3）      【分析】 （1）先根据指数函数单调性和一次函数的单调性及，从而求得函数值大小关系，然后根据新定义可求的解析式，然后根据指数函数图象和一次函数图象作出分段函数图象； （2）根据（1）中的图象直接写出单调递减区间并求出值域； （3）令，则，解得，再分类讨论求解，即可得解. (1) 小问详解： 函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 又，所以时，，时，， 所以 ， 作图如下： (2) 小问详解： 由图象可知函数在区间单调递减；在单调递增，值域为； (3) 小问详解： 令，则，所以，解得，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：不等式的解集为. 64．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据二次函数的动轴定区间问题分类讨论得函数单调性从而可得函数的最小值； （2）根据的解析式确定函数单调性从而解不等式即可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 函数，对称轴为， ①当即时，函数在上单调递增， 所以，即； ②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； ③当即时，函数在上单调递减， 所以，即， 故 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，，函数单调递减， 当时，，对称轴为，函数在上单调递减， 当时，，函数单调递减， 注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减. 由，得，解得， 故实数m的取值范围为. 65．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）定义 ，若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为　　　　　　　　　　 【答案】3 【分析】 先表示出的解析式，然后作出的图象，根据值域得到定义域的情况，由此确定出的值，即可求出结果. 【详解】 当时，解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示： ， 由图可得当，即或时，或或， 所以当在区间上的值域为时，此时， 所以， 故答案为：3. 66．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知是一次递增函数，是二次函数，其中，满足. （1）求和的解析式； （2）在（1）的条件下，令函数，讨论在上的最小值. 【答案】（1）；；     （2）当时，；当时，；当时，.      【分析】 （1）根据待定系数法分别求得函数解析式； （2）由（1）可得的解析式是一个二次函数，通过判断对称轴与区间的位置关系分类讨论可求最小值. (1) 小问详解： 设，则， ，解得 ，或 （舍） . 由题意设， 因为，所以，因为 所以， 所以， 所以 ，得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）可得，为开口向上，对称轴为. 当时，对称轴为，所以在上单调递减，所以 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以 当时，，所以在上单调递增， 所以 综上，当时，； 当时，； 当时，. 67．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】 设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 68．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： .已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求常数和的值； （2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围； （3）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）     （2）（百GPU小时）     （3）（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.      【分析】 （1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）根据分段函数的解析式，在的不同范围内令其解析式大于等于92，求一元二次不等式的解集即可. （3）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. (1) 小问详解： 因为， 则有. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以， 解得. (2) 小问详解： 当时，令，则， 化简得，因为，所以此时不等式无解集； 当时，令，则， 化简得，解得. 所以满足条件的训练时长范围为. (3) 小问详解： 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为4； 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 69．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】（1）偶函数.     （2） 由函数， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递增.      【分析】 （1）根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，即可求解； （2）化简函数，利用函数单调性的定义与判定方法，即可得证. (1) 小问详解： 解：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，即， 所以函数是定义域上的偶函数. (2) 小问详解： 略 70．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若函数的图象有在轴下方的部分，则实数的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可得，即，再利用基本不等式求解即可． 【详解】 由题可知有解， 当时，， 当时，，有解，即， ， 又， ． 故答案为：． 71．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）二次函数满足. （1）求实数的值： （2）比较与的大小； （3）若与函数值域相同，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据抽象函数关系式可得图象的对称轴，结合二次函数图象的对称轴可得结果； （2）方法一：根据与到对称轴的距离，结合二次函数图象可确定大小关系； 方法二：根据且，结合二次函数图象可确定大小关系； （3）根据二次函数值域求法可得的值域，令，根据的值域可确定与对称轴的关系，由此可得的范围. (1) 小问详解： ，的图象关于直线对称， 的图象对称轴，解得：. (2) 小问详解： 方法一：到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又，图象为开口方向向上的抛物线， . 方法二：，， ， ， . 结合二次函数图象， 可知. (3) 小问详解： ，的值域为； 令，则， 的值域与的值域相同，即， 的值域为， 在处取得最小值，则只需即可，解得：， 实数的取值范围为. 72．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）证明：是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2） 任取，且，则， 则， 故为增函数；     （3）      【分析】 （1）根据求出，再利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用单调性和奇偶性解不等式. (1) 小问详解： 依题：，令，得，即，得， 当时，，则，则为奇函数，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为奇函数，则， 因为为增函数，得，即， 不等式解集为. 73．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知函数，． （1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； （2）判断函数的奇偶性，并求解关于a的不等式． 【答案】（1）函数在上单调递增，证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增；     （2）函数为奇函数；不等式的解集为.      【分析】 （1）任取，且，通过计算的正负来确定单调性； （2）通过判断的关系得奇偶性；再由奇偶性和单调性解关于a的不等式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 由可得， 所以 ，解得：. 故不等式的解集为. 74．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成 ，根据，分、两种情况讨论即可. 【详解】 由题意知存在实数，使得对任意的，都有， 即， 即成立， 设，， 则题意等价于存在实数，使得 ，所以， 即， 当时，显然在上单调递增， 则，解得，所以； 当时， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， （ⅰ）当时，在上单调递增， ，， 由，解得，所以． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，． 因为，所以 ， 解得 ，所以． （ⅲ）当时，在上单调递减， ，． 由，解得，与矛盾． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为： 75．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. (1) 小问详解： ，， ，解得 ， . (2) 小问详解： 在上单调递减，证明略； (3) 小问详解： 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 76．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④． （1）若，满足条件④，则a的取值范围为　　　　　　．； （2）若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1），满足条件④ ，即在上恒成立，分类讨论a的取值，即可得答案. （2）分别求出条件① 、条件② 、条件③ 、条件④ 成立的参数a的范围，再结合，恰满足其中的一个，分类讨论，即可求得答案. 【详解】 （1）由题意知，满足条件④，即在上恒成立， 即在上恒成立, 由于，故在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，在上恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，在上不会恒成立，不符合题意； 故综合以上得； （2）当①成立时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上单调递增，故， 故； 当②成立时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上单调递增，故在上不会恒成立， 即此时； 当③成立时，即在上恒成立， 同（1）可得； 由（1）知④成立时，； 当，恰满足条件① 时，则，，同时成立，即； 当，恰满足条件② 时，； 由于条件③ 、条件④ 成立时，二者都等价于，故，不会恰满足其中一个， 综合以上可知； 故答案为：； 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是明确题意，将问题转化为不等式恒成立问题解决，即分别求出四个条件成立时的参数的取值范围，再结合要求求解即可. 77．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）方法一：按函数的定义域为和定义域内不含两种情况分别求解的值，并用奇函数的定义进行验证即可； 方法二：利用奇函数的定义，代入具体解析式求解的值即可； （2） 由于，可得：函数的定义域为，然后利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可. （3）当时，可判断函数单调递增，进而根据已知条件可得： ，即得：关于的方程有两个互异实根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. (1) 小问详解： （方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而； 当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求； 若的定义域内不含，则，于是； 当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求. 综上，实数的所有可能值是1或. （方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有， 故，即， 去分母整理，得到，即，解得， 经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而. (2) 小问详解： 当时，知，故函数的定义域为， 注意到，因为，所以，即， 所以的值域为. (3) 小问详解： 当时，，注意到单调递减，因此单调递增. 故 ，即 从而关于的方程有两个互异实根. 令，则，所以方程有两个互异正根， 所以 从而. 综上，实数的取值范围是. 78．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数，其中为实数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解. （2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.； （3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，函数的定义域为， 则不等式对任意都成立． ①当时，得，此时函数定义域为，不合题意； ②当时，欲使不等式即对任意都成立， 则 ，即 ，解得． 综上，实数的取值范围为． (2) 小问详解： 函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得 ，解得． 综上a的取值范围是. (3) 小问详解： 当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 79．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知 ，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先分析分段函数的单调性，得出的值域范围，再根据题意讨论值域的连续性得出关于不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】 当时，是单调递增的一次函数，值域为， 在上的最大值为， 当时，的定义域为，且单调递增， 若，则，值域为， 若，则需满足，值域为，但此时的值域为，， 区间无法覆盖，故不成立； 当时，需满足，以保证， 解不等式，即 ， 解，即得或，解 得，． 故答案为：． 80．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由 ，解方程组即可求解； （2）由（1）知等价于，即，令，利用单调性求出的最大值即可求解； （3）由题意可得 ，即是方程的两个互异的正根，即 ，解出即可求解. (1) 小问详解： 由题意有： ，解得； (2) 小问详解： 由（1）知等价于， 因为存在，使得成立，所以 令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故， 故实数的取值范围是； (3) 小问详解： 由已知有：，依题意可得 ， 即是方程的两个互异的正根，        故 ，解得， 故实数c的取值范围是. 81．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知为偶函数，且． （1）求； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）探究当时，与的关系，并求的解集． 【答案】（1）     （2） 由（1）可得． 任取，且， 则 因为，可得， 所以，即， 所以在区间上单调递减．     （3），      【分析】 （1）由，求得，再由为偶函数，列出方程，求得，即可得到答案； （2）由（1）可得，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）当时，得到，把不等式转化为，再由为偶函数，且在上单调递减，得到，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数，因为，可得， 又因为为偶函数，有，即，解得， 综上可得：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，，所以， 由可得， 因为，所以不等式等价于， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，即，解得． 又因为，所以所求不等式的解集为． 82．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知函数． （1）当时，求的单调递增区间． （2）如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”． （i）当时是否满足性质？请说明理由． （ii）若满足性质，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）不满足性质，理由如下： 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 而，即的最小值为5， 所以当时，不满足性质． （ii）      【分析】 （1）结合二次函数求解分段函数的单调递增区间； （2）（i）利用单调性求出的最小值为和的最小值为5，然后根据新定义即可判断；（ii）由题意取最小值时的值在的值域内，然后、、分类讨论，分析单调性求解其值域，进而利用新定义列不等式求解即可． (1) 小问详解： 当时， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 易知的图象在处连续不断， 故的单调递增区间为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）若满足性质，则取最小值时的值在的值域内． 两段抛物线的对称轴分别为和． ① 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． ② 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为的最小值为，此时不满足性质． ③ 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． 综上，的取值范围为． 83．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数，． （1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在区间上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递增.     （2）     （3）       【分析】 （1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）将问题转化为在上的符号问题解决； （3）将问题转化为有两个大于的不等实根解决. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，在区间上恒成立，可得， 整理得，令，则， 则不等式变为：，即， 因为，且在恒成立， 令， 则开口向上，且在和时函数值非正， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 由（1）知，在单调递增， 若函数在区间上的值域是，则 ， 即方程有两个不等的正实根， 令，则方程变为：，即， 此方程有两个大于的不等实根，设为， 则，，解得或； 又，且 ，解得， 所以实数的取值范围. 84．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）我们称函数为双曲正弦函数，称函数为双曲余弦函数. （1）证明：对任意实数成立； （2）令，判断并证明的奇偶性和单调性； （3）在（2）的情况下，对任意，均有：，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题， 故对任意实数成立.     （2）在上单调递增，在上是奇函数，证明如下： 由已知得，知的定义域为， 任取实数，且，则， 因为，所以，所以， 于是由的任意性，知函数在上单调递增， 又，所以是上的奇函数.     （3）      【分析】 （1）按照等式化简即可证明； （2）根据单调性的定义证明函数单调递增，根据奇偶性判断为奇函数； （3）根据（2）得到的结论，化简不等式，利用分离参数和换元的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意知，即，因为函数在上单调递增， 所以 ， 而，又为增函数，故， 故两边除以，得， 令，，因为在上单调递减， 在上单调递增，所以在上的值域为， 所以的值域为， 故. 85．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，由题设分析易得函数在上单调递减，结合为奇函数可得为偶函数，可得函数在上单调递增，进而求解即可. 【详解】 由题意，对任意的两个不相等的正数，都有， 不妨设，则，所以， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 则， 所以为偶函数，图象关于轴对称，则函数在上单调递增， 而， 由，则， 当时，，则； 当时，，则，即. 综上所述，的解集为. 故答案为：. 86．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）用表示，中的较大者，则的最小值为　　　　　. 【答案】3 【分析】 画出与的图像，则可得的最小值. 【详解】 设，，， 则 ， ， 如图所示画出与的图像： 则 所以， 故答案为：. 87．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”.     （2）1；     （3）.      【分析】 （1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有 ，解得 ，即， 所以的值是1. (3) 小问详解： 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ① 当时，在上单调递增，则 ， 即 ，解得； ② 当时，在上单调递减，则 ， 即 ，解得； ③ 当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ， 即 ，解得； ④ 当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ， 即 ，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】 思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 88．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知，函数.（其中） （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）或或     （3）      【分析】 （1）利用对数函数单调性解对数不等式，求出答案； （2）变形得到，，分，和且三种情况，进行求解，得到答案. （3）先判断出的单调性，从而得到，换元后结合对勾函数单调性求出最值，求出实数的取值范围 (1) 小问详解： 当时，， 由，则，得， 解得； (2) 小问详解： 由， 得， 即， 即，①. 则，即，② 当时，方程② 的解为，代入① ，成立. 当时，方程② 的解为，代入① ，成立. 当且时，方程② 的解为或， 若是方程① 的解，则，即， 若是方程① 的解，则，即， 则要使方程① 有且仅有一个解，则. 综上，若方程的解集中恰好有一个元素， 则的取值范围是，或或. (3) 小问详解： 由复合函数单调性可知在区间上单调递减， 且最大值与最小值的差不超过， 即， 即，即. 设，则，， 当时，， 当时，， 在上递减，， ， 实数的取值范围是. 89．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【答案】（1）函数是“一致变化函数”，理由： 取，， 所以函数是“一致变化函数”.     （2）4     （3） 取，， ， 所以函数是“一致变化函数”.       【分析】 （1）取，满足要求，是“一致变化函数”； （2）求出定义域，，由题意得到不等式，得到对一切成立，故有，因为，等价于成立，所以，换元，由基本不等式，求出最值，得到答案； （3）取，得到，所以是“一致变化函数”；根据为偶函数且在上为减函数，等价于研究对恒成立时的取值范围，即恒成立，对恒成立，令，对恒成立，由函数单调性得到，只需即可，解得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 定义域为， 因为是“一致变化函数”，其中， 对一切成立，故有. 因为， 所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而， 所以，令，故且， 所以，当且仅当， 即，时等号同时取到.所以的最小值为4. (3) 小问详解： ，| f_3(x+t)-f_3(x)| =| (1) /(1+| x+t| )-(1) /(1+| x| )|， 因为为偶函数且在上为减函数， 所以① 当时，有，设， 即， ， ② 当时，有，， ， ③ 当时，； 综上，等价于研究对恒成立时的取值范围， 对恒成立， 恒成立，恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令，对恒成立， 又，所以在上为严格增函数， 只需即可，解得. 【点睛】 方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知 为奇函数，则（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 2．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）若函数 是增函数，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知是偶函数，且时是减函数，则与的大小关系 A. ＞ B. ＜ C. ≤ D. 无法比较 4．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）（多选）下列说法中，正确的是（       ） A. 函数在定义域上是减函数 B. 函数是奇函数 C. 函数为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称图形 D. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立，则的解集为 5．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）设函数，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数在R上为增函数 7．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知为奇函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（       ） A.  B.  C.  D. 为奇函数 10．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）（多选）已知函数（），下列说法正确的是（       ） A. 当时，函数的值域为 B. 当时，函数有最小值没有最大值 C. 当时，函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 11．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）“”是“函数在上单调递增”的（       ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）（多选）已知狄利克雷函数 ，则下列选项正确的有（     ） A.  B.  C. 是偶函数 D. 对任意，都有 15．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数是奇函数，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）定义：不小于的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“的上取整”或“的天花板函数”，如，；不大于的最大整数，在数学中通常用向下取整函数表示，符号为，读作“的下取整”或“的地板函数”，如，.已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  22．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：①对任意的，总有；②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（       ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数 在上是“函数”（为有理数集）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 23．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）（多选）已知函数，用表示中的较大者，记为，则（       ） A. 的解集为 B. 当时，的值域为 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，不等式有4个整数解 24．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知，若对于正数，满足，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 27．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）函数的大致图象为（       ）． A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）（多选）已知是奇函数，定义域为，当时，．则下列说法正确的是（       ） A.  B. 当时， C. 当时，单调递减 D.  31．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）定义：表示不超过的最大整数，如[1.2]=1,[-2.1]=-3,[1]=1，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数 是“函数”，则实数m的最大值是（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 35．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）已知定义在上的函数 ，则下列结论正确的是（            ） A.  B.  C.  D. 函数的值域为 36．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）若函数 的值域是，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（多选）下列各选项给出的命题中，正确的是（     ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 定义为中的最小值，设，则的最大值是2 C. 函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，当时，函数的值域为 D. 若二次函数，则 38．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（     ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知函数 的值域为，且，使得,的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（多选）已知定义在上的函数 f(x)满足，且当时，，则（     ） A.  B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 41．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A. 有最大值，无最小值 B. 存在负数，使得 C. 当时， D. 当时， 42．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（       ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（       ） A.  B.  C. 在区间上的最大值是6 D. 不等式的解集为 45．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  46．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）（多选）对于函数，下列说法正确的是（       ） A. 函数为奇函数 B. 设，则在上单调递减，在上单调递增 C. 若方程在定义域内恰有两个不同的根，则实数的取值范围为 D. 若在区间上的最大值比最小值大1，则实数的取值不唯一 47．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  48．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（       ） A.  B. ，使得 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 49．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为　　　　　　　　　　. 50．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）若且函数在上的值域为，求的值. 51．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知函数 ，若是奇函数，则　　　　　　． 52．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 53．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知定义在上的函数是奇函数，且当时， （1）求在上的解析式; （2）根据定义证明在上单调递减; （3）求在上的值域. 54．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，，，（），求的取值范围. 55．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知是定义在上的单调递增函数，对任意的、，且，都有，且，令函数，则不等式的解集为　　　　　　　　. 56．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. （1）任取，，证明：. （2）证明：是上的减函数. （3）解关于的不等式. 57．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 58．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递减； （3）求在上的值域． 59．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 60．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）函数，满足. （1）求的解析式； （2）证明：在上为增函数； （3）解不等式：. 61．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 62．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个　　　　　　（答案不唯一）． 63．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．    （1）用解析法表示函数，并画出函数的图像； （2）根据图像写出函数的单调区间，值域； （3）解不等式. 64．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 65．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）定义 ，若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为　　　　　　　　　　 66．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知是一次递增函数，是二次函数，其中，满足. （1）求和的解析式； （2）在（1）的条件下，令函数，讨论在上的最小值. 67．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 68．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： .已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求常数和的值； （2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围； （3）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 69．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义法证明函数在上单调递增． 70．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若函数的图象有在轴下方的部分，则实数的取值范围为　　　　　． 71．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）二次函数满足. （1）求实数的值： （2）比较与的大小； （3）若与函数值域相同，求实数的取值范围. 72．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）证明：是增函数； （3）解不等式. 73．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知函数，． （1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； （2）判断函数的奇偶性，并求解关于a的不等式． 74．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 75．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 76．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④． （1）若，满足条件④，则a的取值范围为　　　　　　．； （2）若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为　　　　　　． 77．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 78．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数，其中为实数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 79．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知 ，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是　　　　　　． 80．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 81．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知为偶函数，且． （1）求； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）探究当时，与的关系，并求的解集． 82．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知函数． （1）当时，求的单调递增区间． （2）如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”． （i）当时是否满足性质？请说明理由． （ii）若满足性质，求的取值范围． 83．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数，． （1）判断并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围． 84．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）我们称函数为双曲正弦函数，称函数为双曲余弦函数. （1）证明：对任意实数成立； （2）令，判断并证明的奇偶性和单调性； （3）在（2）的情况下，对任意，均有：，求实数的取值范围. 85．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个不相等的正数，都有，则的解集为　　　　　　． 86．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）用表示，中的较大者，则的最小值为　　　　　. 87．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 88．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知，函数.（其中） （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 89．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．A 2．A 3．C 4．BCD 5．D 6．ABD 7．B 8．D 9．BCD 10．AD 11．C 12．A 13．C 14．BCD 15．C 16．B 17．C 18．D 19．D 20．B 21．C 22．C 23．BD 24．D 25．B 26．B 27．A 28．B 29．B 30．ABD 31．B 32．D 33．A 34．C 35．ABD 36．C 37．BCD 38．BD 39．D 40．ABD 41．ACD 42．C 43．C 44．ABD 45．C 46．ACD 47．C 48．ACD 49．【答案】 【分析】 由奇函数的性质求解即可； 【详解】 当时，则， 由奇函数性质知， 所以 . 故答案为： . 50．【答案】（1）     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以， 所以， 所以函数在上单调递减     （3）8      【分析】 （1）将代入函数的解析式，求出的值即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性得到关于的方程，求出的值，从而求出的值即可． (1) 小问详解： 因为函数的图象过点， 所以 ，解得， 所以函数的解析式为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为且函数在上单调递减， 所以 ，解得， 所以 51．【答案】 【分析】 先根据函数解析式求得，再根据奇函数的性质列方程求解即可. 【详解】 由 ， 则， 因为是奇函数，所以， 则，解得. 故答案为：. 52．【答案】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增.     （2）最大值为1，最小值为.      【分析】 （1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 53．【答案】（1） ；     （2） 设， ， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减；     （3）.      【分析】 （1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）取值、作差再因式分解，最后判断符号即可； （3）先求出时的范围，再根据其为奇函数即可求出其在上的值域. (1) 小问详解： 令，则，， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对于，可得，所以，所以， 因为函数是奇函数，所以，， 又， 因此，在上的值域是 . 54．【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为和     （2）      【分析】 （1）根据题意求的解析式，进而作出图象，根据图象判断单调区间； （2）根据题意求的解析式，进而作出图象，根据图象可得的取值范围，结合方程可得，，即可得结果. (1) 小问详解： 令，解得或；令，解得； 所以 ， 作出函数的图象，如图所示：    所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. (2) 小问详解： 令，解得或； 令，解得； 所以 ， 作出函数的图象，如图所示：    若关于的方程有四个不相等的实数根，可得， 因为是方程，即的两根，则， 且是方程，即的两根，则， 可得， 所以的取值范围为. 55．【答案】 【分析】 不妨设，分析出函数在上单调递增，将所求不等式变形为，即可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】 不妨设，则， 由，可得，，即， 所以在上单调递增. 因为，所以即为， 所以，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 56．【答案】（1） 因为， 所以， 令，，则， 所以；     （2） 证明：任取，，且， 则由（1）得， 因为当时，， ，则， 所以，即， 所以是上的减函数；     （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）赋值法，令，即可求解； （2）根据单调性的定义，结合已知条件，即可证明； （3）根据（2）中所求单调性，转化原不等式为含参不等式的求解，分类讨论即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由， 可得， 即， 因为是上的减函数， 所以， 即，① （ⅰ）当时，不等式① 式即为，解得，即原不等式的解集为； （ⅱ）当时，不等式① 式化为，即， 若，上式不等式即为，解得，即原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； （ⅲ）当时，不等式① 式化为，即， 此时，所以原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 57．【答案】（1），奇函数     （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数;     （3）      【分析】 （1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. (1) 小问详解： 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则 解得或 即实数的取值范围为. 58．【答案】（1）；     （2） 由（1）函数， 任取， 则， 因为，所以， 所以即， 所以在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由配凑法即可得解； （2）先由（1）得到函数的解析式，再任取，作差计算得到即可证明； （3）先由（2）得到函数在上单调递减，求出其最值即可得解. (1) 小问详解： 由题可得， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 59．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. (1) 小问详解： 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. (2) 小问详解： 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述： . 60．【答案】（1）     （2） 任取且， 则 ， 由，得，且，， 则， 因此，即， 所以在上为增函数.     （3）      【分析】 （1）根据代入求出参数的值，即可得解； （2）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （3）首先判断函数的奇偶性，结合函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. (1) 小问详解： 由且，得， 解得， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 61．【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为.     （2） 【分析】 （1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述， . 62．【答案】1,（答案不唯一） 【分析】 根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】 令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 63．【答案】（1） ，         （2）函数在区间单调递减；在单调递增，值域为     （3）      【分析】 （1）先根据指数函数单调性和一次函数的单调性及，从而求得函数值大小关系，然后根据新定义可求的解析式，然后根据指数函数图象和一次函数图象作出分段函数图象； （2）根据（1）中的图象直接写出单调递减区间并求出值域； （3）令，则，解得，再分类讨论求解，即可得解. (1) 小问详解： 函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 又，所以时，，时，， 所以 ， 作图如下： (2) 小问详解： 由图象可知函数在区间单调递减；在单调递增，值域为； (3) 小问详解： 令，则，所以，解得，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：不等式的解集为. 64．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据二次函数的动轴定区间问题分类讨论得函数单调性从而可得函数的最小值； （2）根据的解析式确定函数单调性从而解不等式即可得实数的取值范围. (1) 小问详解： 函数，对称轴为， ①当即时，函数在上单调递增， 所以，即； ②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； ③当即时，函数在上单调递减， 所以，即， 故 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，，函数单调递减， 当时，，对称轴为，函数在上单调递减， 当时，，函数单调递减， 注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减. 由，得，解得， 故实数m的取值范围为. 65．【答案】3 【分析】 先表示出的解析式，然后作出的图象，根据值域得到定义域的情况，由此确定出的值，即可求出结果. 【详解】 当时，解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示： ， 由图可得当，即或时，或或， 所以当在区间上的值域为时，此时， 所以， 故答案为：3. 66．【答案】（1）；；     （2）当时，；当时，；当时，.      【分析】 （1）根据待定系数法分别求得函数解析式； （2）由（1）可得的解析式是一个二次函数，通过判断对称轴与区间的位置关系分类讨论可求最小值. (1) 小问详解： 设，则， ，解得 ，或 （舍） . 由题意设， 因为，所以，因为 所以， 所以， 所以 ，得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）可得，为开口向上，对称轴为. 当时，对称轴为，所以在上单调递减，所以 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以 当时，，所以在上单调递增， 所以 综上，当时，； 当时，； 当时，. 67．【答案】 【分析】 由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】 设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 68．【答案】（1）     （2）（百GPU小时）     （3）（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.      【分析】 （1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）根据分段函数的解析式，在的不同范围内令其解析式大于等于92，求一元二次不等式的解集即可. （3）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. (1) 小问详解： 因为， 则有. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以， 解得. (2) 小问详解： 当时，令，则， 化简得，因为，所以此时不等式无解集； 当时，令，则， 化简得，解得. 所以满足条件的训练时长范围为. (3) 小问详解： 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为4； 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 69．【答案】（1）偶函数.     （2） 由函数， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递增.      【分析】 （1）根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，即可求解； （2）化简函数，利用函数单调性的定义与判定方法，即可得证. (1) 小问详解： 解：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，即， 所以函数是定义域上的偶函数. (2) 小问详解： 略 70．【答案】 【分析】 根据题意可得，即，再利用基本不等式求解即可． 【详解】 由题可知有解， 当时，， 当时，，有解，即， ， 又， ． 故答案为：． 71．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据抽象函数关系式可得图象的对称轴，结合二次函数图象的对称轴可得结果； （2）方法一：根据与到对称轴的距离，结合二次函数图象可确定大小关系； 方法二：根据且，结合二次函数图象可确定大小关系； （3）根据二次函数值域求法可得的值域，令，根据的值域可确定与对称轴的关系，由此可得的范围. (1) 小问详解： ，的图象关于直线对称， 的图象对称轴，解得：. (2) 小问详解： 方法一：到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又，图象为开口方向向上的抛物线， . 方法二：，， ， ， . 结合二次函数图象， 可知. (3) 小问详解： ，的值域为； 令，则， 的值域与的值域相同，即， 的值域为， 在处取得最小值，则只需即可，解得：， 实数的取值范围为. 72．【答案】（1）     （2） 任取，且，则， 则， 故为增函数；     （3）      【分析】 （1）根据求出，再利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用单调性和奇偶性解不等式. (1) 小问详解： 依题：，令，得，即，得， 当时，，则，则为奇函数，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为奇函数，则， 因为为增函数，得，即， 不等式解集为. 73．【答案】（1）函数在上单调递增，证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增；     （2）函数为奇函数；不等式的解集为.      【分析】 （1）任取，且，通过计算的正负来确定单调性； （2）通过判断的关系得奇偶性；再由奇偶性和单调性解关于a的不等式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 由可得， 所以 ，解得：. 故不等式的解集为. 74．【答案】 【分析】 去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成 ，根据，分、两种情况讨论即可. 【详解】 由题意知存在实数，使得对任意的，都有， 即， 即成立， 设，， 则题意等价于存在实数，使得 ，所以， 即， 当时，显然在上单调递增， 则，解得，所以； 当时， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， （ⅰ）当时，在上单调递增， ，， 由，解得，所以． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，． 因为，所以 ， 解得 ，所以． （ⅲ）当时，在上单调递减， ，． 由，解得，与矛盾． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为： 75．【答案】（1）     （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. (1) 小问详解： ，， ，解得 ， . (2) 小问详解： 在上单调递减，证明略； (3) 小问详解： 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 76．【答案】①     ② 【分析】 （1），满足条件④ ，即在上恒成立，分类讨论a的取值，即可得答案. （2）分别求出条件① 、条件② 、条件③ 、条件④ 成立的参数a的范围，再结合，恰满足其中的一个，分类讨论，即可求得答案. 【详解】 （1）由题意知，满足条件④，即在上恒成立， 即在上恒成立, 由于，故在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，在上恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，在上不会恒成立，不符合题意； 故综合以上得； （2）当①成立时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上单调递增，故， 故； 当②成立时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上单调递增，故在上不会恒成立， 即此时； 当③成立时，即在上恒成立， 同（1）可得； 由（1）知④成立时，； 当，恰满足条件① 时，则，，同时成立，即； 当，恰满足条件② 时，； 由于条件③ 、条件④ 成立时，二者都等价于，故，不会恰满足其中一个， 综合以上可知； 故答案为：； 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是明确题意，将问题转化为不等式恒成立问题解决，即分别求出四个条件成立时的参数的取值范围，再结合要求求解即可. 77．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）方法一：按函数的定义域为和定义域内不含两种情况分别求解的值，并用奇函数的定义进行验证即可； 方法二：利用奇函数的定义，代入具体解析式求解的值即可； （2） 由于，可得：函数的定义域为，然后利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可. （3）当时，可判断函数单调递增，进而根据已知条件可得： ，即得：关于的方程有两个互异实根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. (1) 小问详解： （方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而； 当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求； 若的定义域内不含，则，于是； 当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求. 综上，实数的所有可能值是1或. （方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有， 故，即， 去分母整理，得到，即，解得， 经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而. (2) 小问详解： 当时，知，故函数的定义域为， 注意到，因为，所以，即， 所以的值域为. (3) 小问详解： 当时，，注意到单调递减，因此单调递增. 故 ，即 从而关于的方程有两个互异实根. 令，则，所以方程有两个互异正根， 所以 从而. 综上，实数的取值范围是. 78．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解. （2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.； （3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可. (1) 小问详解： 由题意，函数的定义域为， 则不等式对任意都成立． ①当时，得，此时函数定义域为，不合题意； ②当时，欲使不等式即对任意都成立， 则 ，即 ，解得． 综上，实数的取值范围为． (2) 小问详解： 函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得 ，解得． 综上a的取值范围是. (3) 小问详解： 当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 79．【答案】 【分析】 先分析分段函数的单调性，得出的值域范围，再根据题意讨论值域的连续性得出关于不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】 当时，是单调递增的一次函数，值域为， 在上的最大值为， 当时，的定义域为，且单调递增， 若，则，值域为， 若，则需满足，值域为，但此时的值域为，， 区间无法覆盖，故不成立； 当时，需满足，以保证， 解不等式，即 ， 解，即得或，解 得，． 故答案为：． 80．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由 ，解方程组即可求解； （2）由（1）知等价于，即，令，利用单调性求出的最大值即可求解； （3）由题意可得 ，即是方程的两个互异的正根，即 ，解出即可求解. (1) 小问详解： 由题意有： ，解得； (2) 小问详解： 由（1）知等价于， 因为存在，使得成立，所以 令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故， 故实数的取值范围是； (3) 小问详解： 由已知有：，依题意可得 ， 即是方程的两个互异的正根，        故 ，解得， 故实数c的取值范围是. 81．【答案】（1）     （2） 由（1）可得． 任取，且， 则 因为，可得， 所以，即， 所以在区间上单调递减．     （3），      【分析】 （1）由，求得，再由为偶函数，列出方程，求得，即可得到答案； （2）由（1）可得，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）当时，得到，把不等式转化为，再由为偶函数，且在上单调递减，得到，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数，因为，可得， 又因为为偶函数，有，即，解得， 综上可得：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，，所以， 由可得， 因为，所以不等式等价于， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，即，解得． 又因为，所以所求不等式的解集为． 82．【答案】（1）     （2）（i）不满足性质，理由如下： 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 而，即的最小值为5， 所以当时，不满足性质． （ii）      【分析】 （1）结合二次函数求解分段函数的单调递增区间； （2）（i）利用单调性求出的最小值为和的最小值为5，然后根据新定义即可判断；（ii）由题意取最小值时的值在的值域内，然后、、分类讨论，分析单调性求解其值域，进而利用新定义列不等式求解即可． (1) 小问详解： 当时， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 易知的图象在处连续不断， 故的单调递增区间为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）若满足性质，则取最小值时的值在的值域内． 两段抛物线的对称轴分别为和． ① 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． ② 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为的最小值为，此时不满足性质． ③ 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． 综上，的取值范围为． 83．【答案】（1） 在区间上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递增.     （2）     （3）       【分析】 （1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）将问题转化为在上的符号问题解决； （3）将问题转化为有两个大于的不等实根解决. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，在区间上恒成立，可得， 整理得，令，则， 则不等式变为：，即， 因为，且在恒成立， 令， 则开口向上，且在和时函数值非正， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 由（1）知，在单调递增， 若函数在区间上的值域是，则 ， 即方程有两个不等的正实根， 令，则方程变为：，即， 此方程有两个大于的不等实根，设为， 则，，解得或； 又，且 ，解得， 所以实数的取值范围. 84．【答案】（1） 由题， 故对任意实数成立.     （2）在上单调递增，在上是奇函数，证明如下： 由已知得，知的定义域为， 任取实数，且，则， 因为，所以，所以， 于是由的任意性，知函数在上单调递增， 又，所以是上的奇函数.     （3）      【分析】 （1）按照等式化简即可证明； （2）根据单调性的定义证明函数单调递增，根据奇偶性判断为奇函数； （3）根据（2）得到的结论，化简不等式，利用分离参数和换元的方法求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意知，即，因为函数在上单调递增， 所以 ， 而，又为增函数，故， 故两边除以，得， 令，，因为在上单调递减， 在上单调递增，所以在上的值域为， 所以的值域为， 故. 85．【答案】 【分析】 设，由题设分析易得函数在上单调递减，结合为奇函数可得为偶函数，可得函数在上单调递增，进而求解即可. 【详解】 由题意，对任意的两个不相等的正数，都有， 不妨设，则，所以， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 则， 所以为偶函数，图象关于轴对称，则函数在上单调递增， 而， 由，则， 当时，，则； 当时，，则，即. 综上所述，的解集为. 故答案为：. 86．【答案】3 【分析】 画出与的图像，则可得的最小值. 【详解】 设，，， 则 ， ， 如图所示画出与的图像： 则 所以， 故答案为：. 87．【答案】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”.     （2）1；     （3）.      【分析】 （1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有 ，解得 ，即， 所以的值是1. (3) 小问详解： 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ① 当时，在上单调递增，则 ， 即 ，解得； ② 当时，在上单调递减，则 ， 即 ，解得； ③ 当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ， 即 ，解得； ④ 当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ， 即 ，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】 思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 88．【答案】（1）     （2）或或     （3）      【分析】 （1）利用对数函数单调性解对数不等式，求出答案； （2）变形得到，，分，和且三种情况，进行求解，得到答案. （3）先判断出的单调性，从而得到，换元后结合对勾函数单调性求出最值，求出实数的取值范围 (1) 小问详解： 当时，， 由，则，得， 解得； (2) 小问详解： 由， 得， 即， 即，①. 则，即，② 当时，方程② 的解为，代入① ，成立. 当时，方程② 的解为，代入① ，成立. 当且时，方程② 的解为或， 若是方程① 的解，则，即， 若是方程① 的解，则，即， 则要使方程① 有且仅有一个解，则. 综上，若方程的解集中恰好有一个元素， 则的取值范围是，或或. (3) 小问详解： 由复合函数单调性可知在区间上单调递减， 且最大值与最小值的差不超过， 即， 即，即. 设，则，， 当时，， 当时，， 在上递减，， ， 实数的取值范围是. 89．【答案】（1）函数是“一致变化函数”，理由： 取，， 所以函数是“一致变化函数”.     （2）4     （3） 取，， ， 所以函数是“一致变化函数”.       【分析】 （1）取，满足要求，是“一致变化函数”； （2）求出定义域，，由题意得到不等式，得到对一切成立，故有，因为，等价于成立，所以，换元，由基本不等式，求出最值，得到答案； （3）取，得到，所以是“一致变化函数”；根据为偶函数且在上为减函数，等价于研究对恒成立时的取值范围，即恒成立，对恒成立，令，对恒成立，由函数单调性得到，只需即可，解得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 定义域为， 因为是“一致变化函数”，其中， 对一切成立，故有. 因为， 所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而， 所以，令，故且， 所以，当且仅当， 即，时等号同时取到.所以的最小值为4. (3) 小问详解： ，| f_3(x+t)-f_3(x)| =| (1) /(1+| x+t| )-(1) /(1+| x| )|， 因为为偶函数且在上为减函数， 所以① 当时，有，设， 即， ， ② 当时，有，， ， ③ 当时，； 综上，等价于研究对恒成立时的取值范围， 对恒成立， 恒成立，恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令，对恒成立， 又，所以在上为严格增函数， 只需即可，解得. 【点睛】 方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $