专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，湖南专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．C 2．ACD 3．A 4．BD 5．C 6．ACD 7．B 8．ABD 9．BCD 10．BCD 11．BD 考点02 基本不等式 1．BC 2．C 3．B 4．AC 5．ACD 6．A 7．A 8．B 9．A 10．BCD 11．ACD 12．B 13．C 14．AD 15．AB 16．【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 17．【答案】27 【分析】 利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】 ，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 18．【答案】（1）米，元     （2）      【分析】 （1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. (1) 小问详解： 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. (2) 小问详解： 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 19．【答案】问题1：甲围法所得三角形面积更大 问题2:480 问题3：当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 【分析】 根据所给的海伦-秦九韶公式，直接代入比较大小即可求解问题1，根据基本不等式以及三元均值不等式即可求解问题2和3. 【详解】 由题易知， 问题1：甲、乙围法所得面积分别为， 又，得到，故甲围法所得三角形面积更大. 问题2： 若三角形的三边长分别为，，，， 则， 当且仅当时取到等号， 问题3： 若三角形的三边分别为，，，且，， 由三元均值不等式，可得， 故， 所以，当且仅当时取到等号，此时三角形为等边三角形， 所以当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 20．【答案】（1）     （2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元      【分析】 （1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. (1) 小问详解： 依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. (2) 小问详解： 由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 21．【答案】 【分析】 通过常数1的代换得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 因，，均为正实数，若， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为， 故答案为： 22．【答案】 【分析】 由题意可知，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 由题意可知，， 由不等式性质可知 因为， 令，，则， 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时， 即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．ACD 11．B 12．B 13．C 14．C 15．A 16．D 17．ACD 18．【答案】 【分析】 列举法表示M，由交集的定义求. 【详解】 因为， 又，所以． 故答案为： 19．【答案】（1）     （2）30      【分析】 （1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. (1) 小问详解： 因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. (2) 小问详解： 由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 20．【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数对应关系进行求解即可 【详解】因为的解集为，等价于恒成立，即 所以 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立条件，是基础题型 21．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. (1) 小问详解： 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. (2) 小问详解： ，得. 因为，所以， 所以[-1,3] [-1,1-m]， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 22．【答案】 【分析】 根据二次函数的图象的特征求得，再代入化简整理并解不等式即可. 【详解】 解：由二次函数图象可知， 二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为， 所以， ，解得， 所以化简整理得：，解得或， 所以不等式的解集为 故答案为： 23．【答案】 【分析】 根据二次函数的单调性列不等式，由此求得的范围. 【详解】 函数的开口向上，对称轴为， 由于在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 24．【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. (1) 小问详解： 由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得 ， 解得 . (2) 小问详解： 当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 25．【答案】（1）R；     （2）      【分析】 （1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． (1) 小问详解： ， ∴， ， ∴不等式的解集为R (2) 小问详解： 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得 ， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 26．【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】 （1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的图象和判别式可求得结果； （2）对，，进行分类讨论，可分别求得其解集 【详解】 （1）根据题意， 当，即时，解集不是，不符合题意； 当，即时，因为的解集为R， 所以的解集为R， 所以 ， 即 ， 故时，或，所以. 故的取值范围为： （2）因为， 所以， 当，即时，得，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 27．【答案】 【分析】 令，再结合一次函数性质分及进行讨论即可得. 【详解】 令， 当时，，不满足，舍去； 当时，是关于的一次函数， 则有 ，结合，解得. 故答案为：. 28．【答案】（1）     （2）当时，，； 当时，，； 当时，，；      【分析】 （1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. (1) 小问详解： 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 29．【答案】或 【分析】 当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】 由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 30．【答案】（1）     （2）     （3）或.      【分析】 （1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. (1) 小问详解： 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. (2) 小问详解： 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 (3) 小问详解： 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 31．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先求出具体集合，再利用集合的混合运算求解即可. （2）结合题意建立不等式，进而求解参数范围即可. (1) 小问详解： 当时，， 而或， 则或． (2) 小问详解： 当时，由得． 若，则， 此时中的整数元素可能为1和2，不可能有3个，不符合条件； 若，则， 若中恰有3个整数元素，则这3个元素为2，3，4， 则，解得， 即实数的取值范围为． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. (1) 小问详解： 若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则 ，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图象开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则 ，解得； 若假真，则 或 ，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 33．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的定义进行计算即可. （2）根据可判断出，然后分两种情况求出结果即可. (1) 小问详解： 当时，集合. 而集合或. 所以或. (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，所以. 当时，，此时解得； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 34．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）设二次函数，根据不等式的解集可列出之间的关系式，然后根据求出，进而可求出得到函数的解析式. （2）先化简，然后根据基本不等式的性质求出最大值即可. （3）根据二次函数的图象和性质求出最大值即可. (1) 小问详解： 设二次函数，则变为 ，即. 因为该不等式的解集为，所以根据韦达定理有 ，化简得 . 又，所以，所以解得. 所以的解析式为. (2) 小问详解： . 因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时，所以的最大值为. (3) 小问详解： 因为，对称轴为， 当时，即时，在上单调递增， 此时函数的最大值为； 当时，在上单调递减， 此时函数的最大值为； 当时，即时，此时函数的最大值为； 综上所述，函数的最大值为 . 35．【答案】（1）5；5；4；     （2） 其面积为，     （3） 故的最小值为，此时，的最大值为，此时.      【分析】 （1）根据题中的定义直接计算可得； （2）由题中定义得轨迹方程，进而可得面积值； （3）设，得转化为二次函数的在闭区间上的最值. (1) 小问详解： 因两点坐标分别为和，根据， 得，，. (2) 小问详解： 设，由，得. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以其轨迹是一个以为顶点的正方形. 正方形的边长为，其面积为.如图： (3) 小问详解： 因M点在的图象上，设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，，当时，. 故的最小值为，此时，的最大值为，此时. 36．【答案】（1）1     （2）      【分析】 （1）先解分式不等式求得，然后由及韦达定理列方程组求解即可； （2）时，求得集合B，然后由得，从而根据集合关系列不等式组求解即可. (1) 小问详解： 解得，则； 要使函数有意义，则， 若，对于有即， 则对应不等式解集的端点为对应方程的根，即的两根为， 故由韦达定理得 ，消去b得，所以； (2) 小问详解： 时，对于有，即， 解得， 即， 由可知，又，所以 ，解得. 37．【答案】（1） 由题，和均为开口向上的二次函数， 且其分别在与 处取得最小值， 故. ， 同理， 当时，代入可得， 即；     （2）     （3）      【分析】 利用二次函数的性质可得答案； （2）求出是关于的二次函数，且开口向上，利用二次函数的性质可得答案； （3）设.不妨先考虑.根据最值可得.同理考虑，可得，求出可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题，将和代 入得，即. 则 ， 又. 故. 是关于的二次函数，开口向上， 当时，取得最小值0. (3) 小问详解： 设. 不妨先考虑. 设的值域为 即在定义域上的最小值，的对称轴为. 若，则属于区间在处取得最小值， 此时，则， 与题设矛盾，故. 当时，在区间上单调递增，故， 条件等价于. 同理考虑，可得， 条件等价于 综上所述，，且， 故代入可得， 即 又， 则. 由题意可知，则. 38．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”，，再根据二次函数的性质知函数的图象开口向上，在上的最大值为或，即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，将问题“对任意的，都有”等价于“”，根据二次函数的图象与性质，分别讨论，，和，得到和，从而得到关于不等式，即可求解. (1) 小问详解： 当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. (2) 小问详解： “对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则 ，即 ，解得：， 故实数的取值范围为区间. (3) 小问详解： 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，都有”等价于“”， 又在上单调递减，在上单调递增， ① 当时，在上单调递增， 则，， 即，解得， 即； ② 当. 由，解得：， 即； ③ 当时，. 由，得， 即； ④ 当时，. 由，得， 即. 综上，的取值范围为. 39．【答案】（1）     （2） 当时，值域为； 当时，值域为； 当时，值域为， 当时，值域为.     （3）      【分析】 （1）由由，可得，结合二次函数性质即可求得答案； （2）令，化简可得，分类讨论，讨论对称轴和已知区间的位置关系，即可求得答案； （3）讨论a的取值范围，结合题意可得相应不等式组，进而求出关于b的不等关系，从而可得的不等式，继而求得答案. (1) 小问详解： 时，， 由，得， 而， 当时，取最小值， 故 (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，在上单调递减， 则，， 故函数值域为； 同理，当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 故函数值域为； 综上可得，当时，值域为； 当时，值域为； 当时，值域为， 当时，值域为. (3) 小问详解： 当时，易知； 当时，，则，； 因此当时，由（2）知 ，即 ， 由于，所以， 故， 则； 当时，则 ，即 ， 即 ， 由于，所以， 所以， 故； 当时，则 ，即 ， 即 ， 由于，所以， 所以， 故； 当时，，则，； 当时，由（2）知 ，即 ， 由于，所以， 所以， 故； 综合上述可知当时，取到最大值，最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知，则M与N的大小关系正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（多选）已知，，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 3．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）（多选）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）（多选）若，，，则下列命题中，正确的有（     ） A. 若，则 B.  C. 若且，则 D. 若，，则 9．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. ， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）（多选）设正实数，满足，则（       ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 2．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）函数，若，，且，则的最小值为（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）（多选）下列命题中的真命题有（       ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 5．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的最小值为2 C. 若，则的最小值是9 D. 若，则的最大值为4 6．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知正数满足，则的最大值为（       ） A. 2 B. 1 C. 5 D. 4 7．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）若正数，，满足，则的最小值为（     ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 9．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 10．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）设正实数a，b满足，则（     ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）若正实数满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为1 C. 的最小值为4 D. 的最小值为9 12．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知，则的最大值是(       ) A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）设正实数，满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D.  14．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（多选）已知，下列结论正确的是（     ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 15．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）（多选）已知两个正数，，满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最大值为 D. 的最小值为 16．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 17．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为　　　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 19．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 20．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 21．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知，，均为正实数，若，则的最小值为　　　　　　. 22．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）对于任意实数，，定义 已知实数，均大于0，令，则的最大值为　　　　　　　　　　． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）设，则“”是“”成立的（       ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）集合的非空真子集个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）若函数与表示同一个函数，则（       ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A.  B. 或 C.  D.  7．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）在上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则a 的取值范围是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 9．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）（多选）已知，（       ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C. 或 D.  13．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）若函数存在最小值和最大值，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）“，”的一个必要不充分条件是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）设不等式对所有的均成立,则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C. 或 D. 或 16．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（       ） A.  B.  C.  D. 不等式的解集为 17．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 18．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知集合，则　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 20．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 22．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是　　　　　　． 24．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 25．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 26．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）（1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 27．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）若 则b的取值范围为　　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 29．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为　　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 31．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，且集合中恰有3个整数元素，求的取值范围． 32．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知命题，，命题，． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 33．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知集合． （1）当时，求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 34．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知二次函数满足的解集为，且． （1）求的解析式； （2）若，求的最大值； （3）当时，求函数的最大值（用表示）． 35．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． （1）如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； （2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； （3）已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 36．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）已知集合，函数的定义域为. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围. 37．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数，且与分别在与处取得最小值.设表示集合中的最小元素. （1）若，证明：； （2）若，设，求； （3）若，求的值. 38．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 39．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）求的值域； （3）当时，，求的最大值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知，则M与N的大小关系正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用作差法比较大小. 【详解】 依题意，， 所以. 故选：C 2．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（多选）已知，，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】 对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 3．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意建立不等式模型即可. 【详解】 “利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）已知，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 举反例可得A错误；作差可判断BC，由不等式的性质可得D. 【详解】 对于A，取，则满足，但，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，所以，故D正确. 故选：BD. 5．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由不等式的性质求解即可. 【详解】 由，得，又，得， 所以的取值范围是 故选：C. 6．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）（多选）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】 对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，由于，则， 所以，则，故B不正确； 对于C，由于，则， 所以，即，故C正确； 对于D，由于，则，所以，故D正确； 故选：ACD 7．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 对的取值范围进行分类讨论，再利用不等式恒成立问题处理方法求解即可. 【详解】 依题意当时，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，因此可得； 当时，不等式可化为，因此可得； 综上可得. 故选：B 8．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）（多选）若，，，则下列命题中，正确的有（     ） A. 若，则 B.  C. 若且，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【分析】 通过对每个选项分别进行代数变形、不等式推导来判断命题的正确性. 【详解】 选项A，由，两边乘正数得，A正确. 选项B，， 故，B正确. 选项C，，因，，故分子为负，即，C错误. 选项D，由，两边乘得，又， 故，即，D正确. 故选：ABD 9．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 利用判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用不等式性质计算可判断CD. 【详解】 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，即，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 利用特值法判断A；根据不等式的性质判断B；利用作差法判断CD. 【详解】 对于A，当，，，时，满足且，此时，故A错误； 对于B，，则，所以，故B正确； 对于C，，则， ，则，故C正确； 对于D，，则，， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. ， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当时，为负数，所以A不正确； 若，则，考虑函数在R上单调递增， 所以，即，所以B正确； 若，则，，所以C不正确； 若，，，根据基本不等式有 所以D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）（多选）设正实数，满足，则（       ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 【答案】BC 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】 对于A，由，得， 当且仅当即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由B得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以有最小值，D错误. 故选：BC 2．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】 由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）函数，若，，且，则的最小值为（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【分析】 先通过函数条件得出，再将所求式子变形为对勾函数形式，利用均值不等式求最小值. 【详解】 依题意，， ，所以， 由于都是正数，所以， 所以 ， 当且仅当 ，即 或 时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 4．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）（多选）下列命题中的真命题有（       ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【分析】 对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】 对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 5．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的最小值为2 C. 若，则的最小值是9 D. 若，则的最大值为4 【答案】ACD 【分析】 结合基本不等式，可判定A正确；结合基本不等式和等号成立的条件，可判断B不正确；结合“1”的代换和基本 不等式可判定C正确；由，结合，可判定D正确. 【详解】 对于A中，由，则，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确； 对于B中，由， 当且仅当时，即，此时不成立，所以B不正确； 对于C中，由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，因为，所以， 由， 又由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确. 故选：ACD. 6．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知正数满足，则的最大值为（       ） A. 2 B. 1 C. 5 D. 4 【答案】A 【分析】 利用基本不等式求得的最大值. 【详解】 根据题意可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2， 故选A. 7．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】 ， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 8．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）若正数，，满足，则的最小值为（     ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【分析】 利用基本不等式直接计算即可得出结果. 【详解】 由可得，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为4. 故选：B 9．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】 由，得，则 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以的最小值为4. 故选：A 10．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）设正实数a，b满足，则（     ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】 对于A，B，∵（当且仅当时，等号成立），∴，∴，∴A错B对； 对于C，（当且仅当取等号），∴C对； 对于D，，由B选项知，∴D对. 故选：BCD 11．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）（多选）若正实数满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最大值为1 C. 的最小值为4 D. 的最小值为9 【答案】ACD 【分析】 由基本不等式可得A；举反例可判断B；用2代替再结合基本不等式可得C，由乘“1”法可判断D. 【详解】 对于A，， 当且仅当 时取等号，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 12．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知，则的最大值是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用均值不等式求出的最小值，进而求出的最大值. 【详解】 因为， 所以由均值不等式，， 当且仅当时，即时，不等式取等号， 故，即的最大值为. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）设正实数，满足，则的最小值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】 因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（多选）已知，下列结论正确的是（     ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】 条件可化为，分别在，条件下求的范围，并结合基本不等式求的最值即可. 【详解】 因为，所以，故. 当时，，， 所以，，， 解得或（舍去）， 所以的最小值为，A正确，B错误. 当时，，， 所以，，， 解得（舍去）或， 所以的最大值为，D正确，C错误. 15．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）（多选）已知两个正数，，满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【分析】 根据已知条件，利用基本不等式分析判断选项A、B、C，利用基本不等式结合二次函数性质判断选项D． 【详解】 ， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故A正确； ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，又， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故C错误； ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为，， 当时函数取得最小值，最小值为，故D错误． 故选：AB． 16．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 17．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为　　　　　　　　. 【答案】27 【分析】 利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】 ，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 18．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米，元     （2）      【分析】 （1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. (1) 小问详解： 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. (2) 小问详解： 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 19．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 【答案】问题1：甲围法所得三角形面积更大 问题2:480 问题3：当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 【分析】 根据所给的海伦-秦九韶公式，直接代入比较大小即可求解问题1，根据基本不等式以及三元均值不等式即可求解问题2和3. 【详解】 由题易知， 问题1：甲、乙围法所得面积分别为， 又，得到，故甲围法所得三角形面积更大. 问题2： 若三角形的三边长分别为，，，， 则， 当且仅当时取到等号， 问题3： 若三角形的三边分别为，，，且，， 由三元均值不等式，可得， 故， 所以，当且仅当时取到等号，此时三角形为等边三角形， 所以当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 20．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】（1）     （2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元      【分析】 （1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. (1) 小问详解： 依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. (2) 小问详解： 由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 21．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知，，均为正实数，若，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 通过常数1的代换得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 因，，均为正实数，若， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为， 故答案为： 22．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）对于任意实数，，定义 已知实数，均大于0，令，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意可知，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 由题意可知，， 由不等式性质可知 因为， 令，，则， 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时， 即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）设，则“”是“”成立的（       ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】 由，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】 当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 3．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）集合的非空真子集个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【分析】 解不等式求出集合中元素个数可得答案. 【详解】 的解为为自然数集， 故中的元素个数为2，故其非空真子集个数为， 故选：B. 4．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）若函数与表示同一个函数，则（       ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可. 【详解】 注意到方程有两个解，方程的其中一个解为0，故只可能，所以，故， 故选：A. 5．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先解一元二次不等式，再应用交集定义计算求解. 【详解】 因为集合， 则. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据已知不等式的解集求出，再求解不等式. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以1是方程的解，所以，解得， 所以不等式可化为， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）在上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据新定义运算求出的表达式，再求解不等式. 【详解】 依题意得， 所以， 解得：或. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则a 的取值范围是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据条件得到，对进行分类讨论，直接求出不等式的解集，再结合条件，即可求解. 【详解】 由，得到 若，即时，不等式的解集为， 由题有，解得， 若，不等式无解，不合题意， 若，即时，不等式的解集为， 由题有，解得， 综上所述，的取值范围是或， 故选：C. 9．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解分式不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】 因为 ， ， 所以. 故选：C 10．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）（多选）已知，（       ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 根据一元二次不等式恒成立即可求解A，根据二次函数的单调性求解值域，即可求解B，根据二次函数的性质即可求解CD. 【详解】 对于A，的定义域为R，则恒成立， 所以，则，故A正确； 对于B，因为函数的对称轴为， 所以当时，单调递减，当时单调递增， 所以，解得， 又因为且，所以，解得（负根舍去）， 所以，故B不正确； 对于C，由于，且的对称轴为， 故，则，所以，而在单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，又函数图像开口向上，对称轴为． 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 11．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】 设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得 ，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 12．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】 根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】 由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得. 故选：B 13．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）若函数存在最小值和最大值，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分类讨论对称轴的位置，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】 函数的图像开口向上，对称轴为， 若时，在上单调递增，有最大值，无最小值； 若时，存在最小值和最大值，则最小值为，最大值为， 解得； 若时，存在最小值和无最大值； 若时，在上单调递减，有最小值，无最大值； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）“，”的一个必要不充分条件是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】 若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 15．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）设不等式对所有的均成立,则实数的取值范围是（       ） A. 或 B.  C. 或 D. 或 【答案】A 【详解】根据不等式对所有的均成立,取时,可得,解得或,利用换元法把不等式换为,分和两种情况讨论的最大值即可求得实数的取值范围. 【详解】解:因为不等式对所有的均成立, 当时,有最大值,不等式显然要成立, 即,解得或, 当时,令, 则,, 所以等价于, ① 当时,即在恒成立, 即, 即求的最大值,,所以; ② 当时,在恒成立, 即, 即求的最小值,; 综上:或. 故选:A 【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题. 16．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（       ） A.  B.  C.  D. 不等式的解集为 【答案】D 【分析】 根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【详解】 由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 17．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）（多选）函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 【答案】ACD 【分析】 A问题化为恒成立，求参数范围；B由根式型函数值域及二次函数性质求参数范围；C由题设有，结合一元二次不等式确定定义域和值域，由正方形性质得，即可判断；D利用配方法及放缩判断时不等式是否恒成立，即可判断. 【详解】 A：若，则恒成立， 显然时，成立， 时， ， 故，正确； ：由已知，则 ，错误； C：若表示一个正方形区域，则， 设的解集为， ， 又，所以， 解得， 此时，故该区域的面积为，正确； ：当时，，正确. 故选：ACD 18．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知集合，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 列举法表示M，由交集的定义求. 【详解】 因为， 又，所以． 故答案为： 19．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. （1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. （2）要使总费用最小，求x的值. 【答案】（1）     （2）30      【分析】 （1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. (1) 小问详解： 因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. (2) 小问详解： 由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 20．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数对应关系进行求解即可 【详解】因为的解集为，等价于恒成立，即 所以 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立条件，是基础题型 21．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. (1) 小问详解： 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. (2) 小问详解： ，得. 因为，所以， 所以[-1,3] [-1,1-m]， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 22．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数的图象的特征求得，再代入化简整理并解不等式即可. 【详解】 解：由二次函数图象可知， 二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为， 所以， ，解得， 所以化简整理得：，解得或， 所以不等式的解集为 故答案为： 23．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数的单调性列不等式，由此求得的范围. 【详解】 函数的开口向上，对称轴为， 由于在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. (1) 小问详解： 由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得 ， 解得 . (2) 小问详解： 当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 25．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）R；     （2）      【分析】 （1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． (1) 小问详解： ， ∴， ， ∴不等式的解集为R (2) 小问详解： 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得 ， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 26．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）（1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】 （1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的图象和判别式可求得结果； （2）对，，进行分类讨论，可分别求得其解集 【详解】 （1）根据题意， 当，即时，解集不是，不符合题意； 当，即时，因为的解集为R， 所以的解集为R， 所以 ， 即 ， 故时，或，所以. 故的取值范围为： （2）因为， 所以， 当，即时，得，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 27．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）若 则b的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，再结合一次函数性质分及进行讨论即可得. 【详解】 令， 当时，，不满足，舍去； 当时，是关于的一次函数， 则有 ，结合，解得. 故答案为：. 28．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 【答案】（1）     （2）当时，，； 当时，，； 当时，，；      【分析】 （1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. (1) 小问详解： 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. (2) 小问详解： 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 29．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】 由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 30．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）或.      【分析】 （1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. (1) 小问详解： 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. (2) 小问详解： 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 (3) 小问详解： 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 31．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，且集合中恰有3个整数元素，求的取值范围． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先求出具体集合，再利用集合的混合运算求解即可. （2）结合题意建立不等式，进而求解参数范围即可. (1) 小问详解： 当时，， 而或， 则或． (2) 小问详解： 当时，由得． 若，则， 此时中的整数元素可能为1和2，不可能有3个，不符合条件； 若，则， 若中恰有3个整数元素，则这3个元素为2，3，4， 则，解得， 即实数的取值范围为． 32．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知命题，，命题，． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. (1) 小问详解： 若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足； 若，则 ，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若命题为真，即，， 令，则，不等式变为，即， 设， 的图象开口向下，对称轴为，在单调递减， 所以，所以， 即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则 ，解得； 若假真，则 或 ，解得 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 33．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知集合． （1）当时，求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的定义进行计算即可. （2）根据可判断出，然后分两种情况求出结果即可. (1) 小问详解： 当时，集合. 而集合或. 所以或. (2) 小问详解： 因为，所以. 因为，所以. 当时，，此时解得； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 34．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知二次函数满足的解集为，且． （1）求的解析式； （2）若，求的最大值； （3）当时，求函数的最大值（用表示）． 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）设二次函数，根据不等式的解集可列出之间的关系式，然后根据求出，进而可求出得到函数的解析式. （2）先化简，然后根据基本不等式的性质求出最大值即可. （3）根据二次函数的图象和性质求出最大值即可. (1) 小问详解： 设二次函数，则变为 ，即. 因为该不等式的解集为，所以根据韦达定理有 ，化简得 . 又，所以，所以解得. 所以的解析式为. (2) 小问详解： . 因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时，所以的最大值为. (3) 小问详解： 因为，对称轴为， 当时，即时，在上单调递增， 此时函数的最大值为； 当时，在上单调递减， 此时函数的最大值为； 当时，即时，此时函数的最大值为； 综上所述，函数的最大值为 . 35．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． （1）如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； （2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； （3）已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）5；5；4；     （2） 其面积为，     （3） 故的最小值为，此时，的最大值为，此时.      【分析】 （1）根据题中的定义直接计算可得； （2）由题中定义得轨迹方程，进而可得面积值； （3）设，得转化为二次函数的在闭区间上的最值. (1) 小问详解： 因两点坐标分别为和，根据， 得，，. (2) 小问详解： 设，由，得. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以其轨迹是一个以为顶点的正方形. 正方形的边长为，其面积为.如图： (3) 小问详解： 因M点在的图象上，设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，，当时，. 故的最小值为，此时，的最大值为，此时. 36．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）已知集合，函数的定义域为. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）1     （2）      【分析】 （1）先解分式不等式求得，然后由及韦达定理列方程组求解即可； （2）时，求得集合B，然后由得，从而根据集合关系列不等式组求解即可. (1) 小问详解： 解得，则； 要使函数有意义，则， 若，对于有即， 则对应不等式解集的端点为对应方程的根，即的两根为， 故由韦达定理得 ，消去b得，所以； (2) 小问详解： 时，对于有，即， 解得， 即， 由可知，又，所以 ，解得. 37．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数，且与分别在与处取得最小值.设表示集合中的最小元素. （1）若，证明：； （2）若，设，求； （3）若，求的值. 【答案】（1） 由题，和均为开口向上的二次函数， 且其分别在与 处取得最小值， 故. ， 同理， 当时，代入可得， 即；     （2）     （3）      【分析】 利用二次函数的性质可得答案； （2）求出是关于的二次函数，且开口向上，利用二次函数的性质可得答案； （3）设.不妨先考虑.根据最值可得.同理考虑，可得，求出可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题，将和代 入得，即. 则 ， 又. 故. 是关于的二次函数，开口向上， 当时，取得最小值0. (3) 小问详解： 设. 不妨先考虑. 设的值域为 即在定义域上的最小值，的对称轴为. 若，则属于区间在处取得最小值， 此时，则， 与题设矛盾，故. 当时，在区间上单调递增，故， 条件等价于. 同理考虑，可得， 条件等价于 综上所述，，且， 故代入可得， 即 又， 则. 由题意可知，则. 38．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”，，再根据二次函数的性质知函数的图象开口向上，在上的最大值为或，即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，将问题“对任意的，都有”等价于“”，根据二次函数的图象与性质，分别讨论，，和，得到和，从而得到关于不等式，即可求解. (1) 小问详解： 当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. (2) 小问详解： “对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则 ，即 ，解得：， 故实数的取值范围为区间. (3) 小问详解： 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，都有”等价于“”， 又在上单调递减，在上单调递增， ① 当时，在上单调递增， 则，， 即，解得， 即； ② 当. 由，解得：， 即； ③ 当时，. 由，得， 即； ④ 当时，. 由，得， 即. 综上，的取值范围为. 39．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）求的值域； （3）当时，，求的最大值. 【答案】（1）     （2） 当时，值域为； 当时，值域为； 当时，值域为， 当时，值域为.     （3）      【分析】 （1）由由，可得，结合二次函数性质即可求得答案； （2）令，化简可得，分类讨论，讨论对称轴和已知区间的位置关系，即可求得答案； （3）讨论a的取值范围，结合题意可得相应不等式组，进而求出关于b的不等关系，从而可得的不等式，继而求得答案. (1) 小问详解： 时，， 由，得， 而， 当时，取最小值， 故 (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，在上单调递减， 则，， 故函数值域为； 同理，当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 故函数值域为； 综上可得，当时，值域为； 当时，值域为； 当时，值域为， 当时，值域为. (3) 小问详解： 当时，易知； 当时，，则，； 因此当时，由（2）知 ，即 ， 由于，所以， 故， 则； 当时，则 ，即 ， 即 ， 由于，所以， 所以， 故； 当时，则 ，即 ， 即 ， 由于，所以， 所以， 故； 当时，，则，； 当时，由（2）知 ，即 ， 由于，所以， 所以， 故； 综合上述可知当时，取到最大值，最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $