专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中真题汇编，福建专用）高二数学上学期

专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 【答案】A 【分析】 求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论. 【详解】 由已知得圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 故， 所以圆与圆相交. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·福建福州·期中）两圆与的公切线条数为（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】C 【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径，由圆与圆的位置关系的判断方法确定两圆相交，由此可得公切线条数. 【详解】由得：， 圆心坐标为，半径； 由得：， 圆心坐标为，半径； 两圆圆心距，， 两圆相交，则公切线条数为条. 故选：. 【点睛】本题考查圆与圆的公切线条数的问题，关键是明确两圆公切线条数与两圆位置关系之间的联系，并熟练掌握圆与圆的位置关系的判定方法. 3．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得， ，因为在圆上，所以，即，化为，故选A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:① 直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；② 定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③ 参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④ 逆代法，将 代入.本题就是利用方法④ 求的轨迹方程的. 4．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别求解三个圆的方程，求出相交弦的方程，结合勾股定理可得答案. 【详解】 由题意可得圆的方程为，圆的方程为， 圆的方程为； 圆与圆的相交弦所在直线方程为； 到直线的距离为， 所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为， 故选：A 5．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（        ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  【答案】A 【分析】 先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A 6．（25-26学年高二上·福建福州·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【分析】 根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系. 【详解】 对于圆，圆心为，半径； 对于圆，圆心为，半径. 两圆圆心距，又， 所以，所以两圆外切. 故选：B 7．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】 由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】 根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 8．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由圆心到直线的距离，再结合充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当圆心到直线的距离时，直线与圆有公共点， 即，解得， 所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件. 故选：. 9．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A. (，) B. (，0)∪(0，) C. [，] D. (，)∪(，+) 【答案】B 【详解】由题易知表示的圆， 圆心为，半径为； 表示和两条直线， 易知过定点， 在平面直角坐标系中画出图像如图： ∵直线与相交于和两个点， ∴与圆相交即可． 当与圆相切时，圆心到直线的距离， ∴，， 而时，直线为，不合题； ∴， ∴选择． 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1) 几何法：利用d与r的关系． (2) 代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 10．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】 由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】 ∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知直线与、轴的交点分别为、，且直线与直线相交于点，则面积的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出点、的坐标，可得出的值，求出直线、所过定点的坐标，根据可求得点的轨迹方程，根据圆的几何性质可求得点在直线距离的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】 在直线的方程中，令可得，令可得， 即点、，故， 将直线的方程变形可得，由 可得 ， 所以，直线过定点， 将直线的方程变形为，由 可得 ， 所以，直线过定点， ，则，设点. ① 若点不与或重合，则，且，， ，整理可得； ② 当点与或重合，则点、的坐标满足方程. 所以，点的轨迹方程为. 圆圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的最大距离为， 因此，面积的最大值是. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）（多选）已知圆，则（       ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上恰好存在3个点到直线的距离都等于 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，、为切点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 对于A：求出该直线所过定点可得该直线与圆相交，即可得解；对于B：求出圆心到直线的距离后即可判断；对于C：由公切线条数可得两圆位置关系，利用两圆位置关系即可得解；对于D：计算可得，则只需计算的最小值即可得解. 【详解】 对于A，直线化为，则该直线必过点， 又，故点在圆内部， 故直线与圆相交， 即圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为 圆心到直线的距离为， 因为， 所以劣弧上只有一个点到该直线的距离等于，优弧上有两个点到该直线的距离等于， 故圆上存在个点到直线的距离都等于，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 圆可为， 则该圆圆心为，半径为， 则有，解得，故C错误； 对于D，由切线性质及切线长定理可得、，， 四边形的面积， 又，故取最小时，最小， 又，则， 故，故D正确.     故选：ABD 14．（25-26学年高二上·福建南平·期中）若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（       ） A. 1 B. 3 C. 4 D.  【答案】A 【分析】 根据两圆的位置关系即可求解． 【详解】 由题意知，圆与圆外切， ∴圆心距为两圆半径之和， ∴， 解得． 故选：A． 15．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离小于1求解即可. 【详解】 圆的圆心，半径，直线即， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个， 如图： 得圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 16．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】 由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或.    故选：A 17．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知是直线上的动点，，是圆：的两条切线，其中，是切点，为圆的圆心，则四边形面积的最小值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】圆：的圆心 ，半径为1，根据，是圆：的两条切线，其中，是切点， 所以 ，则四边形= ，只要求得 最小值即可. 【详解】圆：的圆心 ，半径为1， 因为，是圆：的两条切线，其中，是切点， 所以 ， 所以四边形=   ， 若四边形面积最小，则 最小， 即为圆心到直线的距离 ， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）（多选）已知圆，直线，下列叙述正确的为（       ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l被圆所截得的弦最长时， C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为 D. 直线l可能与圆C相离 【答案】ABC 【分析】 选项A，可将参数m提出来，通过解方程组，即可找到定点位置；选项B，过圆内一点最长的弦是直径，，即把圆心带入直线方程即可完成求解；选项C，过圆内一点最短的弦是过定点垂直于圆心与定点连线的直线交圆所得的弦，计算即可；选项D，直线经过圆内一点，与圆是相交的，可以排除选项. 【详解】 选项A，直线，可化为，当 时，即 时，直线l过定点，故该选项正确； 选项B，直线l被圆所截得的弦最长的是直径，即直线l经过圆心，把圆心坐标代入方程，即可求解，，故该选项正确； 选项C，直线l被圆所截得的弦中最短弦是，过定点垂直于圆心与定点连线的直线交圆所得的弦，故点到直线的距离即为圆心与的距离，即，弦长为，故该选项正确； 选项D，有选项A可知，直线l过定点，而圆，该定点在圆内，故无论m取何值，直线与圆一定相交，故该选项错误. 故选：ABC. 19．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）（多选）已知直线与圆交于两点，则（       ） A. 弦的长度为定值 B. 圆上总有4个点到的距离为2 C. 当为锐角时，直线与坐标轴围成的三角形的面积的最大值为1 D. 存在一个定圆与直线总相切 【答案】ABD 【分析】 求圆心到直线的距离，再结合弦长公式，判断A，比较圆心到直线的距离和半径，即可判断B，求直线的横，纵截距，再结合三角形的面积公式，以及三角函数的性质，判断C，利用原点到直线的距离为定值，可求定 圆，判断D. 【详解】 对于A，因为圆心到直线的距离， 所以，故A正确； 对于B，因为圆心到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆上有4个点到的距离为2，所以B正确； 对于C，因为为锐角，所以直线在轴上的截距，在轴上的截距， 所以所围成的三角形面积， 因为，所以，所以， 所以面积的最小值为1，所以C错误； 对于D，由选项A易知，圆的圆心到直线的距离为1，与半径相等，所以直线与圆始终相切，故D正确. 故选：ABD. 20．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（     ） A. 2 B.  C. 2或0 D. 或0 【答案】B 【分析】 求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证即得. 【详解】 圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得（公共弦方程不成立，舍去）或， 当时，圆，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为. 故选：B 21．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）（多选）已知圆，直线，则（     ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上只有两个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】 将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】 对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令 ，解得 ，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B正确； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C不正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知是圆上任意一点，则的值是（     ） A.  B.  C. 7 D. 10 【答案】D 【分析】 所求式整理成，理解为点到直线与到直线的距离之和的倍，结合图形由两平行直线的距离公式计算可得答案. 【详解】 记， 即可将的值看成点到直线与到直线的距离之和的倍. 因点是圆上任意一点，直线 均与该圆相离且互相平行，如图.    由图知，的值即直线的距离，即. 故选：D. 23．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（       ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】B 【分析】 首先排除坐标轴不为切线，再讨论截距是否为0，设出直线方程，并联立圆的方程得到一元二次方程，根据判别式为0求参数值，即可得切线条数. 【详解】 由的圆心为，半径为，显然坐标轴不可能是切线， 若截距为0，则直线为，代入圆中得， 所以，则，可得， 故对应有2条切线，分别为； 若截距不为0，设直线为，代入圆中得， 所以，则， 整理得，可得（舍）或，故切线为； 综上，共有切线为、，共3条. 故选：B 24．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】 根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 25．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（　　）． A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【分析】 将问题转化为求以点为圆心，以1为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解. 【详解】 与点距离为1的直线可看作以为圆心，为半径的圆的切线，  同理与点距离为的直线可看作以B为圆心，2为半径的圆的切线， 故所求直线为两圆的公切线，  又， 故两圆外离，所以公切线有4条，  故选：D 26．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知圆，直线．则（    ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 直线与圆相交得到的最短弦长为 【答案】ACD 【分析】 对于A：整理可得，进而分析定点；对于B，分析可知，求圆心到直线的距离即可；对于C：分析可知点在圆内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：可知当圆心与点连线垂直时弦长最短，进而求弦长. 【详解】 对于A，因为直线，可得， 令 ，解得，所以直线恒过点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离， 当时，直线， 可得圆心到直线的距离为，所以B错误； 对于C，因为直线恒过点，设为点， 可得， 所以点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，所以C正确； 对于D，当圆心与点连线垂直时弦长最短，此时弦长为，故D正确. 故选：ACD. 27．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（       ） A. 直线与圆一定相交 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 当时，圆关于直线对称 D. 对任意的，直线被圆截得的最短弦长等于 【答案】ACD 【分析】 根据直线与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 对于直线，即， 由 ，解得，所以直线过定点， ，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交，A选项正确. 圆的圆心为，半径. 当时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误. 当时，直线的方程为， 满足，也即直线过圆心， 所以此时圆关于直线对称，所以C选项正确. 由于直线过圆内定点，和的距离为， 当直线与和的连线垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 即最短弦长为，D选项正确. 故选：ACD 28．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知对任意，不等式恒成立，则实数m的取值可能是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】BC 【分析】 先分析不等式的几何意义得出不等式表示点到直线的距离大于等于3，再利用直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式构造不等式求出的取值范围，进而判断选项． 【详解】 把不等式转化为点到直线的距离问题，设点， ，令，两边同平方化简得，是上的点， 则表示点到直线的距离大于等于3， 直线在轴的截距为，在半圆上方，则圆上点到直线的最小距离为原点到直线的距离减去半径， ， 最小距离为， 不等式恒成立， ，即，解得， ，，故选项BC正确． 故选：BC． 29．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）（多选）如图，过坐标原点且互相垂直的两条动直线和与圆相交于、、、四点，为的中点，则（     ） A. 线段的长度的最大值为 B. 弦的长度的最小值为 C. 不是定值 D. 点的轨迹方程为 【答案】ABD 【分析】 由长度表示圆上点到原点的距离，结合圆的性质即可判断A；由圆的性质求弦长判断B；取分别是的中点，圆心到直线MN和PQ的距离且，即可求得为定值判断C；通过垂直关系得，代入化简即可求解点的轨迹方程判断D. 【详解】 由题设圆的方程为圆，圆心，半径， 由三角形两边之和大于第三边可知，且， 所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时，故A正确； 由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小， 此时圆心与直线距离为，故，故B正确； 若分别是的中点，则且且， 又，易知：为矩形，而| FH| ^2=| DF| ^2+| DH| ^2=(| MN| ^2+| PQ| ^2)/(4)， 圆心到直线的距离且， 所以，则(| MN| ^2+| PQ| ^2)/(4) =27， 故，为定值，故C错误； 因为，所以，而， 所以，设，所以， 化简得，即，D正确. 故选：ABD 30．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）已知成等差数列，过作直线的垂线，垂足为，同时点在圆上运动，则点到点的距离的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据等差中项可得，进而直线过定点，即可得的轨迹为圆：，最后根据圆的位置关系求解最值即可. 【详解】 由成等差数列，得. 直线的方程可化为，即. 由 得 ，所以直线过定点. 由题知在以为直径的圆上运动， 圆的方程为，圆心，半径. 又因为在圆上运动，圆心，半径， 所以，所以圆内含于圆， 所以，即. 故选：D. 31．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）（多选）在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（       ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】 分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示，    对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线的四段方程，作出图象，数形结合求解. 32．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意分析可知点和弦的中点的轨迹均为圆，由数量积可得，结合圆的性质求最小值． 【详解】 圆的圆心为，半径， 直线，即为，恒过点， 直线，即为，恒过点， 且，则，即， 可知点轨迹为以为直径的圆， 即圆心为的中点，半径， 所以点轨迹为圆，但是去掉点， 设弦的中点为，连接，    因为，则， 可知点的轨迹在以为圆心，半径的圆， 可得， 则，可知圆与圆外离， 且直线，联立方程和，解得 或 （舍去）， 又因为， 且，此时点为，成立， 所以的最小值为． 故选：C. 33．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程； (2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程. (1) 小问详解： 经过点和的中垂线方程为：， 再与联立解得:, 此时可知该圆的圆心坐标为， 再由，可知该圆的半径为， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，可设， 由直线与圆相切可知：，解得， 所以直线方程为， 综上可得：直线的方程为或. 34．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）已知圆：，圆：，则这两个圆的公共切线有　　　　　　条. 【答案】3 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再确定公切线的条数. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的方程化为，圆心为，半径为， 圆心距为， 所以两圆外切，所以公切线有条. 故答案为：3 35．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知点，，点在圆上，则使的点的个数为　　　　　　　　　　. 【答案】1 【详解】由题意可得，若则点在以为直径的圆上， 此时点的轨迹是， 且点在圆上， 即点P为圆与圆的交点， 考查两圆的圆心距：， 两圆的半径：，满足：， 即两圆外切，据此可得：点的个数为1个. 点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法． 36．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. （1）若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）或.     （2）或.     （3）      【分析】 （1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. (1) 小问详解： 当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则 解得 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 略 37．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【详解】 易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·福建南平·期中）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 先写出直线的点斜式方程，转化为一般式方程，求出圆心到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】 由题可知，直线的方程为，即. 由圆：得，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 39．（25-26学年高二上·福建南平·期中）已知圆经过，，三点. （1）求圆的标准方程； （2）求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题可知，线段垂直平分线的方程为，圆心在上，设出圆心坐标，由解得圆心坐标及半径，从而得到圆的标准方程；或根据圆经过，，三点.，用待定系数法求得圆的一般方程，再转化为圆的标准方程. （2）当过点的切线斜率不存在时，方程为，到圆心的距离为半径经，满足题意，当切线斜率存在时，设其点斜式方程，化为一般方程，根据圆心到切线的距离为半径，可求得斜率，从而得到切线方程. (1) 小问详解： （方法一）因为圆经过点，，所以线段垂直平分线的方程为， 所以圆心的横坐标为4，设， 则由，可得， 解得，， 所以圆的标准方程为. （方法二）设的一般方程为， 则 ，解得 所以的一般方程为， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，圆的圆心坐标为，半径为5. 由，知点在圆外，过点并与圆相切的直线有两条. 若的斜率不存在，则的方程为，此时圆心到的距离为5，与圆相切； 若的斜率存在，则设的方程为，即. 因为与圆相切，所以， 解得， 的方程为. 综上所述，的一般式方程为或. 40．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程： （2）若直线过点．当直线与圆相切时，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心、半径即可. （2）按直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分类求解. (1) 小问详解： 由点和点，得线段的中点，直线的斜率， 因此线段的中垂线方程为，即， 由 ，解得 ，因此圆心，半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 点到直线的距离为3，即直线与圆相切，直线方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得，直线方程为， 所以直线的方程为或. 41．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程. (1) 小问详解： 的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将 联立可得 ，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 42．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. （1）求圆C的周长； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； (2) 小问详解： 因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，   ① 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ② 若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； (3) 小问详解： 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为，   由 ，得， 解得 或 ， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由 ，得， 解得 或 ， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 43．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆C：和直线：相切. （1）求半径. （2）已知动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线，，切点分别为A，B. ①记四边形的面积为S，求S的最小值； ②证明：直线恒过定点. 【答案】（1）4     （2）①； ② （方法一）由① 知，点，，， 则M，A，C，B四点共圆且该圆以为直径. 此圆的方程为，整理得. 而圆C的方程为，两圆方程相减得， 即直线的方程为，对任意实数，当时，. 所以直线过定点. （方法二）由① 知，设点，，，. 又因为，所以， 即，整理此圆的方程，得， 而圆C的方程为，两圆方程相减得， 即直线的方程为，对任意实数t，当时，. 所以直线过定点.      【分析】 （1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）① 方法一：设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；方法二：应用垂直于直线时，最小，即可得出面积的最小值；② 方法一：求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解，方法二：应用，所以，得出圆的方程再得出公共弦即可得出定点. (1) 小问详解： 由题意，圆心到直线的距离， 所以半径. (2) 小问详解： ① （方法一）由（1）知，圆C的方程为，圆心，. 由，是的两条切线，得，. 设，则. 所以. 当且仅当时，等号成立，所以S的最小值为. （方法二）依题意得，所以要求S的最小值，只需求的最小值. 又，，所以当最小时，取得最小值 当垂直于直线时，最小，此时，所以. . ② 略 44．（25-26学年高二上·福建福州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. （3）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】（1）     （2），     （3） ，设， 联立 消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 解得， 则， 所以，所以点在定直线上.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. (3) 小问详解： 略 45．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆经过和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的方程，列方程组求解即可； （2）由可得出弦长为2，由弦长公式求直线即可，注意讨论斜率是否存在. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 因为圆C经过和，且圆心在直线上， 所以 ， 解得： ， 所以圆C的方程为：． (2) 小问详解： ，且=90°弦长， ① 当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． ② 当l斜率存在时，设l的方程为，即， 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，l的方程为或． 46．（25-26学年高二上·期中）已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，利用斜率求出参数m，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】 直线l可化为， 令 ，所以直线l恒过定点， 易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时， 圆，圆心，半径为5， ，又，则，解得， ， 直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为： 【点睛】 本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题. 47．（25-26学年高二上·福建福州·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 48．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆被y轴截得的弦长为2，圆． （1）求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． （2）在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），外离     （2）或      【分析】 （1）先直线与圆的位置关系结合韦达定理求出，从而求出圆的标准方程，得出圆心和半径，结合圆的圆心和半径求出圆心距，再比较圆心距与两圆半径之和的大小确定两圆的位置关系； （2）根据圆切点的性质，结合点在直线上，构造与的关系，再利用条件构造方程求出点坐标． (1) 小问详解： 圆被y轴截得的弦长为2， 把代入圆方程，得 设交点坐标为，则 ， 由弦长公式得，解得，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆，的圆心距，， ，故两圆外离． (2) 小问详解： 圆心为，半径为， ， 圆的圆心为，半径为， ， ，，即，整理得， 点在直线，设点， ，， ，整理得，即， 解得或，对应或， 直线上存在点或，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为，满足． 49．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. （1）若直线的斜率为，求的长度； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （3）设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2） 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由 消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值.     （3）不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立 ， 解得 或者 ， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得.      【分析】 （1）求得直线方程及圆心到直距离，利用公式求解即可； （2）联立直线方程为与圆的方程，消元后利用韦达定理得到，，用坐标表示出，，进一步计算即可. （3）利用坐标表示出点，继而求得,根据建立方程，求解后进一步判断即可；也可以根据，是直角三角形，继而求得点的轨迹方程且，再利用，建立方程，利用两圆的位置关系进行判断即可. (1) 小问详解： 由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 50．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，圆的方程为，圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）点与点关于轴对称，过作圆的切线，求直线的方程； （3）当直线与直线垂直时，问：直线在第一象限上是否存在一点，与圆上唯一的一点，满足关系？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）（或者写成）     （2）或     （3）存在，或      【分析】 （1）将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，由直线与圆相切，列出方程，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由条件可得点的轨迹方程，再由两圆的位置关系列出方程，代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 由在圆上，得.① 圆的圆心坐标为， 由圆心在直线上得，即.② 联立① ② ，解得， 所以圆的方程为（或者写成）. (2) 小问详解： 由已知得. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与圆相切. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由已知得直线的方程为. 设. 由，得， 整理得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为是圆上唯一的点，所以圆与圆相切于点， . （1）若两圆外切，则，即，即， 由得. （2）若两圆内切，则，即，即， 由得. 综上所述，的坐标为或. 51．（25-26学年高二上·福建福州·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1）     （2）或.     （3）      【分析】 （1）点，由题意建立等式计算可得圆的方程为，进而计算可得周长； （2）根据直线被圆截得的弦长为，分斜率存在和不存在两种情况计算即可求解； （3）直线与圆联立方程组求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意列出比例关系式结合基本不等式计算求解即可. (1) 小问详解： 设点， 由，得， 整理得， 所以圆的方程为，其周长为； (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ① 当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点坐标为， 此时，直线被圆截得的弦长为，满足题意； ② 当直线的斜率存在时，设直线：，整理得， 所以圆心到直线的距离，解得，则直线：. 综上，直线的方程为或. (3) 小问详解： 根据题意作图.    因为原点在圆：上， 直线过圆心，且与轴所在直线不重合，所以. 设直线的斜率为，则直线的方程为. 由 ，可得，解得 或 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，所以直线的方程为. 由 ，可得，解得 或 所以点的坐标为. 由题意可知，点，， 所以，， 故， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 53．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可知圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上，若直线的斜率，则可设，则，圆心，都在直线上，可设，，，写出圆，的方程，由交点在第一象限内，代入两圆得到m，n是方程的两根，根据根与系数的关系得到两根之积，代入，得到的值，从而得到的值，继而得到直线的方程. 【详解】 由题意，圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上. 若直线的斜率，则可设，则. 圆心，都在直线上，可设，，， 则：，：， 因为交点在第一象限内， 所以 ，即 所以m，n是方程的两根，于是. 由，得，则，所以，则直线的方程为. 故答案为：. 54．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于，两点. （1）求曲线的方程. （2）求三角形的面积S的取值范围； （3）是否存在异于原点的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点坐标为或      【分析】 （1）设动点坐标，根据，结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出S的代数式，然后借助对勾函数的单调性求得最值； （3）由（2）中得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标. (1) 小问详解： 设， 由题意可知：，则， 整理可得， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：曲线是以为圆心，半径的圆， 因为，即点在圆内，    可知直线与曲线必相交，且直线的斜率可以不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程 ，消去x可得， 则，， 可得， 又，，则， 则， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 即，则，可得， 所以三角形的面积S的取值范围为. (3) 小问详解： 因为， 又因为，可得， 同理可得， 则， 因为 ， 若为定值，则， 已知，解得或， 所以存在，点坐标为或． 55．（25-26学年高二上·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1），；     （2）（i）内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由 得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【分析】 （1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， (1) 小问详解： ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； (2) 小问详解： （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）略 【点睛】 方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 1大高频考点概览 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 2．（25-26学年高二上·福建福州·期中）两圆与的公切线条数为（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 3．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（        ） A. 3 B. 4 C. 5 D.  6．（25-26学年高二上·福建福州·期中）圆与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 7．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 8．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A. (，) B. (，0)∪(0，) C. [，] D. (，)∪(，+) 10．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知直线与、轴的交点分别为、，且直线与直线相交于点，则面积的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）（多选）已知圆，则（       ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上恰好存在3个点到直线的距离都等于 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，、为切点，则的最小值为 14．（25-26学年高二上·福建南平·期中）若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（       ） A. 1 B. 3 C. 4 D.  15．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知是直线上的动点，，是圆：的两条切线，其中，是切点，为圆的圆心，则四边形面积的最小值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  18．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）（多选）已知圆，直线，下列叙述正确的为（       ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l被圆所截得的弦最长时， C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为 D. 直线l可能与圆C相离 19．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）（多选）已知直线与圆交于两点，则（       ） A. 弦的长度为定值 B. 圆上总有4个点到的距离为2 C. 当为锐角时，直线与坐标轴围成的三角形的面积的最大值为1 D. 存在一个定圆与直线总相切 20．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（     ） A. 2 B.  C. 2或0 D. 或0 21．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）（多选）已知圆，直线，则（     ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上只有两个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 22．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知是圆上任意一点，则的值是（     ） A.  B.  C. 7 D. 10 23．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（       ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 24．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 25．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（　　）． A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 26．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知圆，直线．则（    ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 直线与圆相交得到的最短弦长为 27．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（       ） A. 直线与圆一定相交 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 当时，圆关于直线对称 D. 对任意的，直线被圆截得的最短弦长等于 28．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知对任意，不等式恒成立，则实数m的取值可能是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 29．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）（多选）如图，过坐标原点且互相垂直的两条动直线和与圆相交于、、、四点，为的中点，则（     ） A. 线段的长度的最大值为 B. 弦的长度的最小值为 C. 不是定值 D. 点的轨迹方程为 30．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）已知成等差数列，过作直线的垂线，垂足为，同时点在圆上运动，则点到点的距离的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）（多选）在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（       ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上任意两点间的距离最大值是 D. 若是曲线上任意一点，则的最小值是 32．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 34．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）已知圆：，圆：，则这两个圆的公共切线有　　　　　　条. 35．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知点，，点在圆上，则使的点的个数为　　　　　　　　　　. 36．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. （1）若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 37．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是　　　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·福建南平·期中）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·福建南平·期中）已知圆经过，，三点. （1）求圆的标准方程； （2）求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 40．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程： （2）若直线过点．当直线与圆相切时，求直线的方程． 41．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 42．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. （1）求圆C的周长； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 43．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆C：和直线：相切. （1）求半径. （2）已知动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线，，切点分别为A，B. ①记四边形的面积为S，求S的最小值； ②证明：直线恒过定点. 44．（25-26学年高二上·福建福州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. （3）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 45．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆经过和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 46．（25-26学年高二上·期中）已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高二上·福建福州·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆被y轴截得的弦长为2，圆． （1）求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． （2）在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. （1）若直线的斜率为，求的长度； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （3）设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 50．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，圆的方程为，圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）点与点关于轴对称，过作圆的切线，求直线的方程； （3）当直线与直线垂直时，问：直线在第一象限上是否存在一点，与圆上唯一的一点，满足关系？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 51．（25-26学年高二上·福建福州·期中）设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 52．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 53．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为　　　　　　. 54．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于，两点. （1）求曲线的方程. （2）求三角形的面积S的取值范围； （3）是否存在异于原点的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，说明理由. 55．（25-26学年高二上·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．A 2．C 3．A 4．A 5．A 6．B 7．ABC 8．B 9．B 10．A 11．B 12．A 13．ABD 14．A 15．B 16．A 17．B 18．ABC 19．ABD 20．B 21．ABD 22．D 23．B 24．BC 25．D 26．ACD 27．ACD 28．BC 29．ABD 30．D 31．ACD 32．C 33．【答案】（1）     （2）或      【分析】 (1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程； (2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程. (1) 小问详解： 经过点和的中垂线方程为：， 再与联立解得:, 此时可知该圆的圆心坐标为， 再由，可知该圆的半径为， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，可设， 由直线与圆相切可知：，解得， 所以直线方程为， 综上可得：直线的方程为或. 34．【答案】3 【分析】 先判断两个圆的位置关系，再确定公切线的条数. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的方程化为，圆心为，半径为， 圆心距为， 所以两圆外切，所以公切线有条. 故答案为：3 35．【答案】1 【详解】由题意可得，若则点在以为直径的圆上， 此时点的轨迹是， 且点在圆上， 即点P为圆与圆的交点， 考查两圆的圆心距：， 两圆的半径：，满足：， 即两圆外切，据此可得：点的个数为1个. 点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法． 36．【答案】（1）或.     （2）或.     （3）      【分析】 （1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. (1) 小问详解： 当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则 解得 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 略 37．【答案】 【分析】 根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【详解】 易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 先写出直线的点斜式方程，转化为一般式方程，求出圆心到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】 由题可知，直线的方程为，即. 由圆：得，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 39．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由题可知，线段垂直平分线的方程为，圆心在上，设出圆心坐标，由解得圆心坐标及半径，从而得到圆的标准方程；或根据圆经过，，三点.，用待定系数法求得圆的一般方程，再转化为圆的标准方程. （2）当过点的切线斜率不存在时，方程为，到圆心的距离为半径经，满足题意，当切线斜率存在时，设其点斜式方程，化为一般方程，根据圆心到切线的距离为半径，可求得斜率，从而得到切线方程. (1) 小问详解： （方法一）因为圆经过点，，所以线段垂直平分线的方程为， 所以圆心的横坐标为4，设， 则由，可得， 解得，， 所以圆的标准方程为. （方法二）设的一般方程为， 则 ，解得 所以的一般方程为， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，圆的圆心坐标为，半径为5. 由，知点在圆外，过点并与圆相切的直线有两条. 若的斜率不存在，则的方程为，此时圆心到的距离为5，与圆相切； 若的斜率存在，则设的方程为，即. 因为与圆相切，所以， 解得， 的方程为. 综上所述，的一般式方程为或. 40．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心、半径即可. （2）按直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分类求解. (1) 小问详解： 由点和点，得线段的中点，直线的斜率， 因此线段的中垂线方程为，即， 由 ，解得 ，因此圆心，半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 点到直线的距离为3，即直线与圆相切，直线方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得，直线方程为， 所以直线的方程为或. 41．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程. (1) 小问详解： 的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将 联立可得 ，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 42．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； (2) 小问详解： 因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，   ① 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ② 若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； (3) 小问详解： 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为，   由 ，得， 解得 或 ， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由 ，得， 解得 或 ， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 43．【答案】（1）4     （2）①； ② （方法一）由① 知，点，，， 则M，A，C，B四点共圆且该圆以为直径. 此圆的方程为，整理得. 而圆C的方程为，两圆方程相减得， 即直线的方程为，对任意实数，当时，. 所以直线过定点. （方法二）由① 知，设点，，，. 又因为，所以， 即，整理此圆的方程，得， 而圆C的方程为，两圆方程相减得， 即直线的方程为，对任意实数t，当时，. 所以直线过定点.      【分析】 （1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）① 方法一：设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；方法二：应用垂直于直线时，最小，即可得出面积的最小值；② 方法一：求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解，方法二：应用，所以，得出圆的方程再得出公共弦即可得出定点. (1) 小问详解： 由题意，圆心到直线的距离， 所以半径. (2) 小问详解： ① （方法一）由（1）知，圆C的方程为，圆心，. 由，是的两条切线，得，. 设，则. 所以. 当且仅当时，等号成立，所以S的最小值为. （方法二）依题意得，所以要求S的最小值，只需求的最小值. 又，，所以当最小时，取得最小值 当垂直于直线时，最小，此时，所以. . ② 略 44．【答案】（1）     （2），     （3） ，设， 联立 消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 解得， 则， 所以，所以点在定直线上.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. (1) 小问详解： 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. (3) 小问详解： 略 45．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的方程，列方程组求解即可； （2）由可得出弦长为2，由弦长公式求直线即可，注意讨论斜率是否存在. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 因为圆C经过和，且圆心在直线上， 所以 ， 解得： ， 所以圆C的方程为：． (2) 小问详解： ，且=90°弦长， ① 当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． ② 当l斜率存在时，设l的方程为，即， 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，l的方程为或． 46．【答案】 【分析】 求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，利用斜率求出参数m，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】 直线l可化为， 令 ，所以直线l恒过定点， 易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时， 圆，圆心，半径为5， ，又，则，解得， ， 直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为： 【点睛】 本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题. 47．【答案】或 【分析】 分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 48．【答案】（1），外离     （2）或      【分析】 （1）先直线与圆的位置关系结合韦达定理求出，从而求出圆的标准方程，得出圆心和半径，结合圆的圆心和半径求出圆心距，再比较圆心距与两圆半径之和的大小确定两圆的位置关系； （2）根据圆切点的性质，结合点在直线上，构造与的关系，再利用条件构造方程求出点坐标． (1) 小问详解： 圆被y轴截得的弦长为2， 把代入圆方程，得 设交点坐标为，则 ， 由弦长公式得，解得，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆，的圆心距，， ，故两圆外离． (2) 小问详解： 圆心为，半径为， ， 圆的圆心为，半径为， ， ，，即，整理得， 点在直线，设点， ，， ，整理得，即， 解得或，对应或， 直线上存在点或，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为，满足． 49．【答案】（1）     （2） 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由 消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值.     （3）不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立 ， 解得 或者 ， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得.      【分析】 （1）求得直线方程及圆心到直距离，利用公式求解即可； （2）联立直线方程为与圆的方程，消元后利用韦达定理得到，，用坐标表示出，，进一步计算即可. （3）利用坐标表示出点，继而求得,根据建立方程，求解后进一步判断即可；也可以根据，是直角三角形，继而求得点的轨迹方程且，再利用，建立方程，利用两圆的位置关系进行判断即可. (1) 小问详解： 由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 50．【答案】（1）（或者写成）     （2）或     （3）存在，或      【分析】 （1）将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）分直线的斜率存在与不存在讨论，由直线与圆相切，列出方程，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由条件可得点的轨迹方程，再由两圆的位置关系列出方程，代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 由在圆上，得.① 圆的圆心坐标为， 由圆心在直线上得，即.② 联立① ② ，解得， 所以圆的方程为（或者写成）. (2) 小问详解： 由已知得. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与圆相切. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由已知得直线的方程为. 设. 由，得， 整理得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为是圆上唯一的点，所以圆与圆相切于点， . （1）若两圆外切，则，即，即， 由得. （2）若两圆内切，则，即，即， 由得. 综上所述，的坐标为或. 51．【答案】（1）     （2）     （3） 设直线的方程为， 由 得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令 ，解得 ，即直线过定点． 【分析】 （1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组 ，解得 ，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. (3) 小问详解： 略 52．【答案】（1）     （2）或.     （3）      【分析】 （1）点，由题意建立等式计算可得圆的方程为，进而计算可得周长； （2）根据直线被圆截得的弦长为，分斜率存在和不存在两种情况计算即可求解； （3）直线与圆联立方程组求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意列出比例关系式结合基本不等式计算求解即可. (1) 小问详解： 设点， 由，得， 整理得， 所以圆的方程为，其周长为； (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ① 当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点坐标为， 此时，直线被圆截得的弦长为，满足题意； ② 当直线的斜率存在时，设直线：，整理得， 所以圆心到直线的距离，解得，则直线：. 综上，直线的方程为或. (3) 小问详解： 根据题意作图.    因为原点在圆：上， 直线过圆心，且与轴所在直线不重合，所以. 设直线的斜率为，则直线的方程为. 由 ，可得，解得 或 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，所以直线的方程为. 由 ，可得，解得 或 所以点的坐标为. 由题意可知，点，， 所以，， 故， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 53．【答案】 【分析】 由题意可知圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上，若直线的斜率，则可设，则，圆心，都在直线上，可设，，，写出圆，的方程，由交点在第一象限内，代入两圆得到m，n是方程的两根，根据根与系数的关系得到两根之积，代入，得到的值，从而得到的值，继而得到直线的方程. 【详解】 由题意，圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上. 若直线的斜率，则可设，则. 圆心，都在直线上，可设，，， 则：，：， 因为交点在第一象限内， 所以 ，即 所以m，n是方程的两根，于是. 由，得，则，所以，则直线的方程为. 故答案为：. 54．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点坐标为或      【分析】 （1）设动点坐标，根据，结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出S的代数式，然后借助对勾函数的单调性求得最值； （3）由（2）中得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标. (1) 小问详解： 设， 由题意可知：，则， 整理可得， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知：曲线是以为圆心，半径的圆， 因为，即点在圆内，    可知直线与曲线必相交，且直线的斜率可以不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程 ，消去x可得， 则，， 可得， 又，，则， 则， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 即，则，可得， 所以三角形的面积S的取值范围为. (3) 小问详解： 因为， 又因为，可得， 同理可得， 则， 因为 ， 若为定值，则， 已知，解得或， 所以存在，点坐标为或． 55．【答案】（1），；     （2）（i）内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由 得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【分析】 （1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， (1) 小问详解： ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； (2) 小问详解： （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）略 【点睛】 方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $