精品解析：福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高二期中考试 数学试卷 命题：高一数学备课组 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 圆C的圆心坐标和半径分别是（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程可得圆心和半径. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径是2. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 又，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，用基底表示空间向量即可. 【详解】因为：. 故选：D 4. 直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况，截距为零可直接求出斜率，截距不为零，设直线方程为，再结合题设条件，即可求解. 【详解】若截距为零，此时直线过原点， 又因为直线过点， 所以直线的斜率为； 若截距不为零，设直线方程为， 因为直线过点， 所以， 解得， 所以直线方程为， 此时直线斜率为， 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 5. 已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合斜截式可得出直线的方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 又因为直线过点，故该直线的方程为. 故选：B. 6. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 7. 已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 8. 已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将“”转化成，得到点的坐标与实数的关系，即. 根据的几何意义求得其取值范围，可得到的取值范围. 【详解】设点，则，. 若满足，则，即，即，所以. 令，则表示点到坐标原点的距离. 如图，当线段过圆心时，最大，最大值为. 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答. 【详解】因为向量，，则，A正确； 显然，B正确； 由数量积的定义得，C错误； 显然，则，即有，D错误. 故选：AB. 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的性质、两条直线垂直的性质，结合直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】A：因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率等于，因此本选项说法不正确； B：当直线与直线互相垂直时， 则有，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，因此本选项说法正确； C：在中，令，得，即，如图所示： 根据对称性可知：， 所以直线的方程为，因此本选项说法正确； D：如图所示： 因为， 所以直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是，因此本选项说法正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线平行，则直线与的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】直线与直线平行，所以， 所以直线与直线间距离为. 故答案为：. 13. 已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值. 【详解】因为圆，圆， 所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1. 两圆心之间的距离为，所以两圆相离. 所以的最小值为. 故答案为：2. 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最大值. 【详解】依题意，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径， 由，平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，， 则平面平面，由平面，平面，得平面， 因此点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是点到平面的距离为， 圆的半径为， 由，得，则， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程， （2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解， （3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由两点式得边AB所在直线方程为，即． 【小问2详解】 因为，AC的中点， 所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 点C到边AB的距离为，， ． 16. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点. （1）求直线与直线的夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题意得两两互相垂直， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与直线的夹角为， 则. 所以直线与直线的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 所以点到平面的距离为. 17. 已知圆C：与圆：． （1）若圆C与圆有3条公切线，求r的值． （2）若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】（1） （2）①；②（或写：） 【解析】 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【小问1详解】 圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； 【小问2详解】 ①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 18. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）（i）设平面的法向量为，， 则 解得 令，得. 因为， 所以. 又平面， 所以平面. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）证明与平面的法向量垂直；（ii）由线面角的空间向量求法求解； （2）设，由两个平面夹角的空间向量求法求出. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，. （1），由， 可得， . （i）略 （ii）， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ，设， 则， 设平面的法向量为， 则 取，则， 则 化简得：， 解得， 所以. 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长性质（过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短），结合圆的标准方程求解参数； （2）（i）：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合 “定值” 的代数意义（系数与常数项分别相等）求解点的坐标； （2）（ii）：利用（i）的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与最值分析. 【小问1详解】 圆的最长弦为直径，所以，得. 最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 因为点在圆上，所以将代入上式， 得， 因为该式的值为常数，所以，解得（舍去）， 所以点的坐标为. （ii）由（i）可知，所以. 所以， 易知，，当点在线段DA上时等号成立， 故的最小值为，即原式的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高二期中考试 数学试卷 命题：高一数学备课组 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 圆C的圆心坐标和半径分别是（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 或1 5. 已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 7. 已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线平行，则直线与的距离为________． 13. 已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为__________. 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 16. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点. （1）求直线与直线的夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 已知圆C：与圆：． （1）若圆C与圆有3条公切线，求r的值． （2）若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 18. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $