精品解析：福建省厦门市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期厦门二中高二期中考试数学试卷 命卷教师： 审卷教师： 考试时间：2025年11月20日（满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修第一册 *祝考试顺利* 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 2. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 3. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 4. 已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解. 【详解】，， 则 . 故选：C． 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题. 5. 已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】因为圆的半径为，且直线l被圆截得的弦长为，即可以通过垂径定理求得圆心到直线l的距离，还可以通过圆心到直线l的距离公式，列出方程，从而求出直线方程. 【详解】圆：，故半径为，又因为直线l被圆截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为 设直线l的方程为， 则，则或 所以或. 故选：D 6. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，利用已知条件求出双曲线的实轴长，虚轴长，然后求出半焦距，从而可求出离心率 【详解】解：以为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 不妨设，则该双曲线过点，且 ， 所以，解得，所以，得， 所以双曲线的离心率为， 故选：C 7. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与 轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又 点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 8. 设，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点 ，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义和性质，两者的离心率的定义结合已知条件，将进行化简变形，用函数的单调性可求得结果. 【详解】设，因为点 是双曲线和椭圆的交点， 根据椭圆和双曲线的定义可知， 所以，又因为， 所以有，即，化简有， 因为椭圆离心率，所以，即， ，令 所以有，在时单调递减 所以有. 故选：C 二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的离心率为2 D. 为双曲线上一点若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由抛物线方程得准线方程，得抛物线焦点坐标，从而得双曲线的焦点坐标，求得参数，得实轴长和离心率，由双曲线定义可求得点到焦点的距离. 【详解】解：对于A，抛物线的准线方程是，A选项错误； 对于B，抛物线的焦点是，所以，，， 在双曲线中，则，解得或（舍去）， 所以，双曲线的实轴长为，B选项正确； 对于C，双曲线的离心率，C选项错误； 对于D，由双曲线定义，即， 解得或（舍去），D选项正确； 故选：BD. 10. 已知 是椭圆上一动点， ，分别是圆与圆上一动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可. 【详解】解：圆与圆的圆心分别为：；， 则、 是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值. 故选：AD. 11. 已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交， 于，两点，点 是劣弧上的动点，其中，则（ ） A. 存在点 ，使得与所成的角为 B. 存在点 ，使得平面 C. 当时，动线段形成的曲面的面积为 D. 当时，以点 为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A计算直线的方向向量夹角的余弦值并判断选项；B根据直线AM与BD相的关系进行判断即可；C先判断曲面的形状为圆锥的一部分，然后根据圆锥侧面积公式进行计算；D将四棱锥的侧面展开，根据条件求解出交线所围成的扇形的圆心角，然后利用扇形的弧长公式求解出结果. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， A，设时满足条件，所以， 所以，， 所以， 所以，即 为的中点时满足条件，故A正确； B，在平面中，的延长线始终与相交，由此可知平面一定不成立，故B错误； C，由题意可知，动线段形成的曲面为以为轴，为母线的圆锥侧面的， 因为，所以曲面的面积为，故C正确； D，将四棱锥的侧面展开，设球与的交点为，连接，如图所示， 因为球的半径，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，所以，所以为等腰直角三角形， 由对称性可知，所以， 所以，以为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为，故D正确． 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 13. 若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意，利用两圆的位置关系求出线段AB长度的最大值. 【详解】圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1， 圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4的圆心为C2（3，－4），半径r2＝2， ∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点， ∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查的是圆与圆的位置关系，利用几何性质解题是关键，是基础题. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点 ，若（且），则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点 为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据数量关系可得，即，又，进而由可得答案. 【详解】由 为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得空间向量的坐标，然后由求点N到直线的距离； （2）求得平面的一个法向量为及向量的坐标，然后利用求点到平面的距离. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∵N是的中点， ∴. （1），则. 设点N到直线的距离为， 则. （2）设平面的一个法向量为， 则由， 得， 令，则，即. 易知，设点到平面的距离为， 则. 【点睛】本题主要考查空间距离的向量求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16. 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． 【小问2详解】 显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 17. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件的离心率和过点P求出椭圆方程； （2）设直线方程并联立椭圆方程进行求解. 【小问1详解】 由椭圆C离心率为，得＝，即， 所以，故椭圆C的方程为 代入点，得，故，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 由题意得，直线l的方程为， 设，， 由，消去y，得， 所以 则， 又，直线l的方程为， 则点到直线AB的距离， 所以， 设内切圆的半径为r， 由，解得， 故内切圆的面积为. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用 的长度表示出，即可解方程求出 ． 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接列出关于的方程组求解； （2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出与的关系，从而得出是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得； （ii）设，利用及椭圆方程求得，再求得后可得． 【小问1详解】 题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：依题意，两条切线方程分别为， 由，化简得， 同理. 所以是方程的两个不相等的实数根， 则. 又因为，所以， 所以. （ii）证明：由（得，，设，则，即， 因为，所以， 得，即， 解得， 所以， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期厦门二中高二期中考试数学试卷 命卷教师： 审卷教师： 考试时间：2025年11月20日（满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修第一册 *祝考试顺利* 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 8. 设，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点 ，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的离心率为2 D. 为双曲线上一点若，则 10. 已知 是椭圆上一动点， ， 分别是圆与圆上一动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交， 于， 两点，点 是劣弧上的动点，其中，则（ ） A. 存在点 ，使得与所成的角为 B. 存在点 ，使得平面 C. 当时，动线段形成的曲面的面积为 D. 当时，以点 为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 13. 若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点 ，若（且），则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点 为圆上一动点， 为圆上一动点，点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 16. 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 17. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求 ． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点 到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $