专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，福建专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．A 9．C 10．BC 11．BCD 12．B 13．A 14．ABC 15．ABD 16．【答案】 【分析】 利用斜率公式求解即可. 【详解】 由题意可知，直线的斜率. 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 根据倾斜角可求斜率，根据斜率公式构建方程后可求参数的值. 【详解】 解：，， ，则， 解得． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 根据一般式下两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 综上可得. 故答案为： 考点02 直线的方程 1．D 2．B 3．A 4．B 5．AB 6．D 7．D 8．D 9．B 10．BCD 11．C 12．A 13．C 14．D 15．B 16．AC 17．【答案】 【分析】 利用直线的方向向量确定直线的斜率，再用点斜式求直线方程即可. 【详解】 由直线的一个方向向量是，可知直线斜率为， 所以直线的方程为：， 故答案为： 18．【答案】 【分析】 求出的中点，然后可得中线斜率，再由点斜式整理可得. 【详解】 因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 19．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. (1) 小问详解： 由 得 所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2) 小问详解： 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 20．【答案】（1）；     （2）12，.      【分析】 （1）根据给定条件，设出直线的方程，利用待定系数法求解. （2）设出直线的方程，并求出点的坐标，表示出三角形面积，再利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 由直线与直线垂直，设直线的方程为， 又直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 依题意，设直线的方程为，即，， 令，得，则；令，得，则， ， 当，即时取等号，所以的面积最小值为12，直线的方程为. 21．【答案】答案不唯一，形如均可 【分析】 由题意可得直线的斜率，即可得到其方向向量. 【详解】 由直线在轴和轴上的截距分别为和2，可得直线的斜率， 所以直线的一个方向向量可以是. 故答案为： 22．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由已知设，利用向量垂直的坐标表示求解. （2）由（1）求出斜边中点坐标、中线斜率，进而求出直线方程. (1) 小问详解： 由点在直线上，设，而点， 则，由，得， 解得，所以点的坐标为. (2) 小问详解： 由（1）得斜边的中点，因此斜边中线所在直线的斜率， 所以斜边中线所在直线的方程为，即. 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. (1) 小问详解： 直线的方程为，则，因此直线恒过定点. (2) 小问详解： 如图1，若直线不经过第四象限，则. (3) 小问详解： 由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．D 2．B 3．BC 4．C 5．A 6．ACD 7．B 8．B 9．【答案】3 【分析】 代入点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】 易知点P到l的距离为. 故答案为：3 10．【答案】（1） 由可得：， 令 ，解得 ， 经检验， 满足， 所以直线过定点．     （2）      【分析】 （1）将直线方程改写成形式，解方程组 即可得解； （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用平行四边形对边平行，得，再用点斜式即可求直线的方程. （2）先求出直线的方程，再用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后用两点间距离公式求出的长度，最后根据平行四边形面积公式求四边形的面积. (1) 小问详解： 根据已知作图如下，得，则， 所以直线的方程为，化简得. (2) 小问详解： 由（1）得，则， 所以点到直线的距离为， 又， 所以，即四边形的面积为. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. (1) 小问详解： 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； (2) 小问详解： 当时，：， 联立 ，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直关系结合直线的斜截式方程整理运算；（2）设直线的点斜式方程，结合题意运算求解. (1) 小问详解： ∵直线的斜率且，则直线的斜率为， 又∵在轴上的截距为，即过点，所以直线方程：，即， 联立方程得： ，解得 ， 故交点为. (2) 小问详解： 依据题意可知：直线的斜率存在，设直线：且，与两坐标轴的交点为， 则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为，解得， 故方程为：，即. 14．【答案】 【分析】 由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】 因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则 ，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果. 【详解】 由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 16．【答案】 【分析】 作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立 ，解得 ，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】 ， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 18．【答案】（1）     （2）①；② 最小值6，      【分析】 （1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：① 在（1）基础上，得到； ② 在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：① 在（1）基础上，得到； ② 设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. (1) 小问详解： 方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由 可得， 由 可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. (2) 小问详解： 方法一：① 当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ② 当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：① 当直线的斜率不存在时，由① 的结论， 可得. ② 设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 考点04 圆的方程 1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．D 11．C 12．AC 13．D 14．【答案】（1）     （2）      【详解】 （1）设圆的一般方程为 因为，，三点在圆上， 所以 解得 所以圆的一般方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 15．【答案】 【分析】 设点，利用中点坐标公式得 ，解得 ，代入圆的方程即可求解. 【详解】 设点，所以 ① ， 又，代入① 有：，解得， 故答案为：. 16．【答案】 【分析】 设圆心坐标为，半径为，依题意求出，从而求出圆的标准方程. 【详解】 设圆心，半径为， 由题意， ，则 ， 则圆的标准方程为：， 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 确定点的轨迹，的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 【详解】 设点，由可得点的轨迹是如图以为中心的正方形， 其中点离圆较远时，（由，得；由，得）. 因为点在圆即上运动， 所以的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 因为，， 圆的半径， 所以， 故答案为. 18．【答案】（1）；.     （2）      【分析】 （1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. (1) 小问详解： 解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组 ，解得 ，所以点． (2) 小问详解： 解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由直线的方向向量可求斜率，再结合所过点求点斜式方程，化成一般式即可； （2）设圆心，半径为R，由直线与圆相切于点可得，以及圆过点，列方程组求解即可. (1) 小问详解： ∵为直线的方向向量，∴直线的斜率， 又过点，∴直线的方程为：， 化简得直线的一般式方程为：. (2) 小问详解： 设圆的圆心，半径为， ∵圆过点，且直线与圆相切于点， ∴，且， ∴ ， ∴ ，解得： ，∴， 因此圆的标准方程为：. 20．【答案】（1）圆心，半径     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用配方法将圆的方程化成标准方程，可明确圆心和半径. （2）根据点在圆内列式，可求的取值范围. （3）分所求直线有无斜率，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线的方程. (1) 小问详解： 由. 所以圆心，半径. (2) 小问详解： 因为点在圆内，所以. 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 如图： 当过点的直线不存在斜率时，其方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线存在斜率时，设斜率为，则直线：，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以切线方程为：即. 综上，过点与圆相切的直线为：或. 21．【答案】（1）     （2） 最大值88，最小值72     （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【分析】 （1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. (1) 小问详解： 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． (3) 小问详解： 略 22．【答案】① ② ④ 【分析】 根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可． 【详解】 对于曲线C，当，时，曲线C表示， 即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分（包括坐标轴上的点）； 其图象如图所示， 对于① ，，将换成，换成得 ，即，曲线方程不变， 结合上面画出的曲线图象，所以曲线C关于原点对称，① 正确； 对于② ，曲线上两点之间最大距离，如图中两点间的距离， 其中联立与得 ，故， 同理可得，故，故② 正确； 对于③ ，不妨设直线的方程，此时不妨设， 此时与曲线C有其它交点，故③ 错误； 对于④ ，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和， 其中4个半圆的半径均为，正方形的边长为， 其面积为，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）直线的倾斜角（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）直线经过两点，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 5．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（       ） A. 垂直 B. 平行 C. 平行或重合 D. 重合 7．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（     ） A.  B. 或 C.  D.  8．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）设为实数，已知直线，，若，则（       ） A. 6 B. -2 C. 4 D. -6 9．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）（多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知直线与，则下列选项正确的是（     ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线恒过点 D. 若，则，之间的距离为 12．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）直线的倾斜角是60°，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·期中）（多选）已知直线：，直线：，则（     ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. 若，则或 15．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 是直线与直线互相垂直的充要条件 B. 经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是 C. 直线的倾斜角的取值范围是[0,(π )/(4)]∪ [(3π )/(4),π ） D. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 16．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）过点和点的直线的倾斜角为，则的值是　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）若直线与直线平行，则　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的一个方向向量的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·期中）直线的斜率是（     ） A.  B.  C. 1 D.  3．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）直线在x轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）若直线经过点，倾斜角为135°，则（     ） A. 的一般式方程为 B. 的斜截式方程为 C. 的点斜式方程为 D. 的截距式方程为 5．（25-26学年高二上·福建南平·期中）（多选）关于直线：，下列结论正确的是（       ） A. 的倾斜角为 B. 的斜率为1 C. 过点 D. 在两条坐标轴上的截距相等 6．（25-26学年高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知直线方程是，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 9．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）对于直线，下列说法错误的是（       ） A. 的斜率一定存在 B. 恒过定点 C. 时，的倾斜角为60° D. 时，不经过第二象限 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的一个方向向量为（　　）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）过点且与原点距离最大的直线方程是（   ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 14．（25-26学年高二上·期中）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 15．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（       ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 16．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）（多选）下列说法中，正确的有（       ） A. 直线必过定点 B. 点到直线的距离为7 C. 直线的倾斜角为30° D. 直线的一个方向向量为 17．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知直线经过点，是它的一个方向向量，则直线的方程为　　　　　. 18．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 20．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）已知直线过点. （1）若与直线垂直，求直线的方程； （2）若分别与轴负半轴，轴正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程. 21．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）若直线在轴和轴上的截距分别为和2，则直线的一个方向向量为　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知在中，，点，点在直线上． （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程． 23．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·福建福州·期中）两平行直线与的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若直线与直线平行，则它们的距离为 B. 原点到直线的距离的最大值为 C. 点关于直线的对称点的坐标为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 5．（25-26学年高二上·福建福州·期中）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知一条光线从点射向轴，经过x轴上的点P反射后经过点，则点P的坐标为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 7．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D. 且 8．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知点和直线，则点P到l的距离为　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在平行四边形中，． （1）求直线的方程； （2）求四边形的面积． 12．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 13．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程． 14．（25-26学年高二上·福建福州·期中）设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为　　． 15．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为　　　　　　　　　． 16．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长. （2）设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·福建福州·期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·期中）圆的圆心是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·福建福州·期中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 2或1 D. －2或－1 6．（25-26学年高二上·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知A，B是圆C：上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线C：，下列结论正确的是（     ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C. 曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D. 曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 13．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在棱长为的正方体，且为底面内一动点，且，则线段的长度的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦长. 15．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是　　　　　　　　　　　 16．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是　　　　　. 17．（25-26学年高二上·福建福州·期中）对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知直线，，且满足，垂足为. （1）求的值及点的坐标. （2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 19．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）已知点，，直线过点，且为直线的方向向量；圆过点，且直线与圆相切于点. （1）求直线的一般式方程； （2）求圆的标准方程. 20．（25-26学年高二上·期中）已知圆的方程为，点在圆内. （1）求圆的圆心和半径； （2）求实数的取值范围； （3）求过点且与圆相切的直线l的方程. 21．（25-26学年高二上·福建福州·期中）设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 22．（25-26学年高二上·期中）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有　　　　　　． ①曲线C的图象关于原点对称；②的最大值 ③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）直线的倾斜角（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由直线的斜率得倾斜角． 【详解】 由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为． 故选：A． 2．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 把直线方程化为斜截式求斜率，再结合倾斜角范围及正切值求倾斜角. 【详解】 将直线变形为，得斜率. 设倾斜角为，，由，得. 故选：D 3．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）直线经过两点，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线斜率和倾角正切值之间的关系，判断结果即可. 【详解】 由题意可知， 设的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 【答案】C 【分析】 由直线方程即可求解. 【详解】 由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 5．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【详解】 直线的斜率为，而直线与直线垂直， 于是得，而，则， 所以. 故选：C 6．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（       ） A. 垂直 B. 平行 C. 平行或重合 D. 重合 【答案】C 【分析】 由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】 由直线的倾斜角为30°， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】 直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B 8．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）设为实数，已知直线，，若，则（       ） A. 6 B. -2 C. 4 D. -6 【答案】A 【分析】 利用两直线平行，斜率相等且截距不相等，来进行求解即可. 【详解】 因为直线，，且， 所以， 解得或， 当时，，，两直线重合，故舍去， 故选：A 9．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）“”是“直线与直线平行”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解. 【详解】 若直线与直线互相平行且不重合， 则 ，解得 ，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 10．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）（多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】 直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 11．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知直线与，则下列选项正确的是（     ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线恒过点 D. 若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【分析】 由两直线位置关系计算可得AB；令的系数为，计算可得C；借助平行线间距离公式计算可得D. 【详解】 对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令 ，得 ，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 12．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）直线的倾斜角是60°，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直线的倾斜角和斜率关系求解即可. 【详解】 因为直线的倾斜角是， 所以，所以直线方程变形为. 所以，解得. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】 因，，，则斜率，， 如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·期中）（多选）已知直线：，直线：，则（     ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABC 【分析】 对A，直接求交点；对B，转化为两直线交点求解；对C、D，根据两直线垂直、平行的系数关系求解. 【详解】 对于A：当时，， 由 解得 ，所以的交点是，A正确； 对于B：可化为，恒过与的交点， 可化为恒过与的交点，B正确； 对于C：若，则，解得，C正确； 对于D：若，则，解得或， 又当时，与重合，所以，D错误. 故选：ABC. 15．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）（多选）下列说法错误的是（       ） A. 是直线与直线互相垂直的充要条件 B. 经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是 C. 直线的倾斜角的取值范围是[0,(π )/(4)]∪ [(3π )/(4),π ） D. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 解：对于，利用两直线的斜率的关系得解； 对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，得到结论；对于，直线的斜率，利用的范围得到的范围，又，结合正切函数的图像得到的范围；对于，求出圆心为和半径 ，由圆 与曲线 有四条公切线，得到曲线也为圆，且圆心为 ，半径  同时两圆的位置关系为外离，有 ，计算得解. 【详解】 解：对于，当，两直线方程分别为和， 此时两直线平行，并不垂直，故错误； 对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误； 对于，直线的斜率，则，即， 则θ ∈ [0,(π )/(4) ]∪ [(3π )/(4) ,π ），故正确； 对于，方程可化为， 故曲线 表示圆心为，半径 的圆， 方程可化为， 因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为 ， 半径  同时两圆的位置关系为外离，有 ， 即 ，解得，故错误. 故选：. 16．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用斜率公式求解即可. 【详解】 由题意可知，直线的斜率. 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）过点和点的直线的倾斜角为，则的值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据倾斜角可求斜率，根据斜率公式构建方程后可求参数的值. 【详解】 解：，， ，则， 解得． 故答案为：． 18．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）若直线与直线平行，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一般式下两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 综上可得. 故答案为： 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的一个方向向量的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线的方向向量的概念即可得出结果. 【详解】 由题意知，， 所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为， 故选：D 2．（25-26学年高二上·期中）直线的斜率是（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 把直线方程转化为斜截式，可得直线的斜率. 【详解】 由. 所以直线的斜率为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）直线在x轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直线在x轴上的截距的意义是直线与在x轴的交点的横坐标，此时交点的纵坐标为0，代入直线方程求解． 【详解】 因为直线在x轴上的截距是直线与在x轴的交点的横坐标， 所以此时交点的纵坐标为0， 将代入直线方程，即，解得， 所以直线在x轴上的截距为，故A正确． 故选：A． 4．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）若直线经过点，倾斜角为135°，则（     ） A. 的一般式方程为 B. 的斜截式方程为 C. 的点斜式方程为 D. 的截距式方程为 【答案】B 【分析】 先根据倾斜角求出直线斜率，从而利用点斜式方程求出直线方程，再利用直线方程互化判断其斜截式方程、一般式方程、截距式方程即可. 【详解】 因为倾斜角为135°，所以斜率. 因为经过点，所以的点斜式方程为，一般式方程为， 斜截式方程为，截距式方程为. 故选：B 5．（25-26学年高二上·福建南平·期中）（多选）关于直线：，下列结论正确的是（       ） A. 的倾斜角为 B. 的斜率为1 C. 过点 D. 在两条坐标轴上的截距相等 【答案】AB 【分析】 根据题意得的斜率为1，在轴上的截距为1，再依次分析各选项即可. 【详解】 由题可知，的斜率为1，在轴上的截距为1，故直线的倾斜角为，A，B均正确. 点代入方程不满足，故不在上，C不正确. 令得在轴上的截距为，与轴上的截距1不相等，D不正确. 故选：AB 6．（25-26学年高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 7．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知直线方程是，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定的方程求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】 直线：的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：D 8．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的倾斜角是（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【分析】 将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】 ，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为150°， 故选：D 9．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先确定直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】 由， 所以直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：B 10．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）对于直线，下列说法错误的是（       ） A. 的斜率一定存在 B. 恒过定点 C. 时，的倾斜角为60° D. 时，不经过第二象限 【答案】BCD 【分析】 移项即可判断A；令即可判断B；根据斜率为即可判断C；直接代入根据图象特点即可判断D. 【详解】 直线方程为，斜率为，一定存在，A正确； 当时，，所以直线过点，B错误； 时斜率为，倾斜角为，C错误； 时，直线，即，斜率是2，为正， 与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、二、三象限，D错误. 故选：BCD． 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）直线的一个方向向量为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出直线的斜率，再根据直线斜率与方向向量的关系即可确定. 【详解】 直线可化为，该直线的斜率为， 则直线的一个方向向量可以表示为. 故选：. 12．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）过点且与原点距离最大的直线方程是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，通过点斜式即可得结果. 【详解】 结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的三倍，则直线的方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 对直线l是否经过原点分类，结合条件，求出l的方程． 【详解】 若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为，即； 若直线l不经过原点，可设直线l的方程为(a≠ 0)， 把点(1,2)代入可得，解得， 直线l的方程为，即， 综上可得直线l的方程为2x-y=0或； 故选：C. 14．（25-26学年高二上·期中）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 讨论直线在坐标轴上的截距为0和不为0两种情况进行求解即可. 【详解】 若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即. 故所求直线方程为或. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（       ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 【答案】B 【分析】 根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】 设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】 方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 16．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）（多选）下列说法中，正确的有（       ） A. 直线必过定点 B. 点到直线的距离为7 C. 直线的倾斜角为30° D. 直线的一个方向向量为 【答案】AC 【分析】 A选项，化为点斜式，求出定点坐标； B选项，利用点到直线距离公式得到答案； C选项，通过斜率与倾斜角的关系求解即可； D选项，根据方向向量的定义判断. 【详解】 A选项：， 易知过定点：，故A正确； B选项：点到直线的距离为： | 3× 5+4× (-3)-8| √3^2+4^2=1，故B错误； C选项: 直线的斜率为， 而斜率等于倾斜角的正切值， 故直线的倾斜角为30°，故C正确； D选项：由直线的一般式， 可知该直线的一个方向向量为， 易知本选项的一个直线方向向量为，与向量不共线，故D错误. 故选：AC 17．（25-26学年高二上·福建实验中学·期中）已知直线经过点，是它的一个方向向量，则直线的方程为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用直线的方向向量确定直线的斜率，再用点斜式求直线方程即可. 【详解】 由直线的一个方向向量是，可知直线斜率为， 所以直线的方程为：， 故答案为： 18．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出的中点，然后可得中线斜率，再由点斜式整理可得. 【详解】 因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. (1) 小问详解： 由 得 所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2) 小问详解： 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 20．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）已知直线过点. （1）若与直线垂直，求直线的方程； （2）若分别与轴负半轴，轴正半轴交于，两点，是坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）；     （2）12，.      【分析】 （1）根据给定条件，设出直线的方程，利用待定系数法求解. （2）设出直线的方程，并求出点的坐标，表示出三角形面积，再利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 由直线与直线垂直，设直线的方程为， 又直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 依题意，设直线的方程为，即，， 令，得，则；令，得，则， ， 当，即时取等号，所以的面积最小值为12，直线的方程为. 21．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）若直线在轴和轴上的截距分别为和2，则直线的一个方向向量为　　　　　　　　　　. 【答案】答案不唯一，形如均可 【分析】 由题意可得直线的斜率，即可得到其方向向量. 【详解】 由直线在轴和轴上的截距分别为和2，可得直线的斜率， 所以直线的一个方向向量可以是. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知在中，，点，点在直线上． （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由已知设，利用向量垂直的坐标表示求解. （2）由（1）求出斜边中点坐标、中线斜率，进而求出直线方程. (1) 小问详解： 由点在直线上，设，而点， 则，由，得， 解得，所以点的坐标为. (2) 小问详解： 由（1）得斜边的中点，因此斜边中线所在直线的斜率， 所以斜边中线所在直线的方程为，即. 23．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. (1) 小问详解： 直线的方程为，则，因此直线恒过定点. (2) 小问详解： 如图1，若直线不经过第四象限，则. (3) 小问详解： 由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程. 【详解】 过作关于直线的对称点，则在直线上， 设，根据且的中点在直线上，得 ， 解得，所以， 又，所以直线方程为，故方程为， 故选：D 2．（25-26学年高二上·福建福州·期中）两平行直线与的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件利用平行线间距离公式直接计算即可得解. 【详解】 直线化为：，于是得， 所以两平行直线与的距离为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】 因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 4．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）下列结论正确的是（       ） A. 若直线与直线平行，则它们的距离为 B. 原点到直线的距离的最大值为 C. 点关于直线的对称点的坐标为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】C 【分析】 A选项由平行求出的值，在排除重合的情况，求出两直线后求直线间的距离； B选项通过直线方程求得定点坐标，由该点到定点的距离即是点到动直线的最大距离； C选项通过对称直线与对称两点直线垂直，求出斜率后写出直线，联立方程求出交点即为两对称点中点，由中点坐标公式求得对称点坐标； D选项由解析式得到直线的截距，由线段长求得三角形面积. 【详解】 A选项：由题意得，∴，当时，两直线均为； 当时，两直线分别为：，， ∴两直线距离，故A选项错误; B选项：直线即过定点，设为A， ∴原点到直线的距离在直线和OA垂直时取得，∴最大距离，故B选项错误； C选项：∵直线的斜率为，则和其对称点的连线的斜率， ∴， 联立方程组 ，解得 ，即对称点坐标，故C选项正确； D选项：由解析式可得直线的截距为， ∴所围成的三角形的面积 ，故D选项错误. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·福建福州·期中）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】 由 ，得 ，∴交点坐标为． 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， ∴所求直线方程为， 故选：A. 6．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知一条光线从点射向轴，经过x轴上的点P反射后经过点，则点P的坐标为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，求出关于轴对称点的坐标，即可求出反射光线，从而判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围，从而得到倾斜角的范围判断D. 【详解】 对于A：直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，故A正确； 对于B：由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线垂直的充分不必要条件，故B错误； 对于C：点关于轴对称的点为，则， 所以反射光线所在直线方程为，即，令，解得， 所以的坐标为，故C正确； 对于D：因为，，，则，，    由图可知，当直线的斜率时，直线与线段有交点， 则直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 7．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【分析】 根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】 当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由 ，解得 ，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 8．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出两点间距离和直线的方程，再利用平行线间距离公式求出两直线间距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】 ， ， ，则直线所在方程为，整理得， 直线与直线平行， 直线与直线间距离为， ，故B正确． 故选：B． 9．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知点和直线，则点P到l的距离为　　　　　　. 【答案】3 【分析】 代入点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】 易知点P到l的距离为. 故答案为：3 10．（25-26学年高二上·福建厦门·期中）已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】（1） 由可得：， 令 ，解得 ， 经检验， 满足， 所以直线过定点．     （2）      【分析】 （1）将直线方程改写成形式，解方程组 即可得解； （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在平行四边形中，． （1）求直线的方程； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用平行四边形对边平行，得，再用点斜式即可求直线的方程. （2）先求出直线的方程，再用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后用两点间距离公式求出的长度，最后根据平行四边形面积公式求四边形的面积. (1) 小问详解： 根据已知作图如下，得，则， 所以直线的方程为，化简得. (2) 小问详解： 由（1）得，则， 所以点到直线的距离为， 又， 所以，即四边形的面积为. 12．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. (1) 小问详解： 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； (2) 小问详解： 当时，：， 联立 ，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 13．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直关系结合直线的斜截式方程整理运算；（2）设直线的点斜式方程，结合题意运算求解. (1) 小问详解： ∵直线的斜率且，则直线的斜率为， 又∵在轴上的截距为，即过点，所以直线方程：，即， 联立方程得： ，解得 ， 故交点为. (2) 小问详解： 依据题意可知：直线的斜率存在，设直线：且，与两坐标轴的交点为， 则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为，解得， 故方程为：，即. 14．（25-26学年高二上·福建福州·期中）设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为　　． 【答案】 【分析】 由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】 因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则 ，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 15．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果. 【详解】 由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立 ，解得 ，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】 ， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 18．（25-26学年高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长. （2）设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】（1）     （2）①；② 最小值6，      【分析】 （1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：① 在（1）基础上，得到； ② 在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：① 在（1）基础上，得到； ② 设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. (1) 小问详解： 方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由 可得， 由 可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. (2) 小问详解： 方法一：① 当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ② 当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：① 当直线的斜率不存在时，由① 的结论， 可得. ② 设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】 因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·福建福州·期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用中点坐标公式，结合两点之间的距离公式，根据圆的标准方程，可得答案. 【详解】 由，则线段的中点为，即圆的圆心为， 圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·期中）圆的圆心是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由圆的一般方程可直接得到圆心坐标. 【详解】 圆的圆心为， 圆的圆心为. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】 由题意可知，，即，解得. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·福建福州·期中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 2或1 D. －2或－1 【答案】A 【分析】 把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】 将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 6．（25-26学年高二上·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设P(x，y)，根据PT＝PB，结合两点间距离公式以及勾股定理求解即可. 【详解】 设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2 ∴ 整理得：. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了求动点的轨迹方程，涉及了两点间距离公式的应用，属于基础题. 7．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出圆心关于的对称点，结合图形可得的最小值为 【详解】 设圆心关于的对称点为，则 解得 即，    所以.N为与直线交点时等号成立， 故选：B 8．（25-26学年高二上·福建泉州安溪县·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设圆心关于直线对称的圆心，根据点关于直线的对称点的求法求出，即可得对称圆的标准方程. 【详解】 已知圆心，设其关于直线对称的圆心， 则有 ，解得 ，即. 又因为圆和圆的半径相同， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程为. 故选：D 9．（25-26学年高二上·福建厦泉·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知求出点的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值. 【详解】 圆，设圆心，圆的半径为， 因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则， 所以，又因为，所以， 则， 设点，可得， 化简可得， 设， 则点到原点距离， 当时，点到原点距离最小值为， 故选：B. 10．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知A，B是圆C：上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】D 【分析】 根据圆的弦长公式可得，进而得H在以C为圆心，为半径的圆上，即可结合圆的性质求解最值即可. 【详解】 由，得，故圆C的圆心为，半径为4. 设H为的中点，连接，则， 结合，得，即点H在以C为圆心，为半径的圆上. 又，所以，而， 故当三点共线时，的最大值为，则的最大值为14， 故选：D. 11．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程. 【详解】 设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为. 根据中点坐标公式，已知，则有，. 由此可得，. 点在上，将，代入圆方程可得： ，即， 两边同时除以得. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线C：，下列结论正确的是（     ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C. 曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D. 曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AC 【分析】 对于A，运用点关于轴的对称点是满足方程，则曲线的图象关于轴对称；对于B，通过放缩法得曲线C：，进而由曲线C包含圆可判断B；对于C，根据已知条件可得即可；对于D，计算边界点来界定整点个数. 【详解】 对于A，设为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是， 将代入曲线C的方程得， 化简得与原方程相同， 故也在曲线C上，则轴是曲线C的一条对称轴，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以曲线C包含圆， 所以曲线C构成的封闭图形面积大于的面积，故B错误. 对于C，由，可得. 当，时，等号成立，∴， 即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故C正确； 对于D，令，解得或，即曲线C经过（0，0），（0，1），，此时曲线C的内部无整点， 由选项的结论可知曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，∴， 令，得，而，此时曲线的内部有3个整点； 令，得，无解， 令，得，即曲线C经过（2，0），不含边界无整点， 令，得，无解， 因此曲线C的内部有3个整点，故D错误. 故选：AC. 13．（25-26学年高二上·福建福州·期中）在棱长为的正方体，且为底面内一动点，且，则线段的长度的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量的数量积可得的轨迹圆，从而可求线段PB的长度的最大值. 【详解】 取的中点为，的中点为，连接， 则平面，而平面，故. 而， 而，故， 而，故， 由正方体的性质可得，故， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而， 故线段的长度的最大值为， 当且仅当三点共线且在之间时的长度取最大值， 故选：D. 14．（25-26学年高二上·福建三明尤溪县第七中学·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1）     （2）      【详解】 （1）设圆的一般方程为 因为，，三点在圆上， 所以 解得 所以圆的一般方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 15．（25-26学年高二上·福建泉州一中·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 设点，利用中点坐标公式得 ，解得 ，代入圆的方程即可求解. 【详解】 设点，所以 ① ， 又，代入① 有：，解得， 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是　　　　　. 【答案】 【分析】 设圆心坐标为，半径为，依题意求出，从而求出圆的标准方程. 【详解】 设圆心，半径为， 由题意， ，则 ， 则圆的标准方程为：， 故答案为：. 17．（25-26学年高二上·福建福州·期中）对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 确定点的轨迹，的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 【详解】 设点，由可得点的轨迹是如图以为中心的正方形， 其中点离圆较远时，（由，得；由，得）. 因为点在圆即上运动， 所以的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 因为，， 圆的半径， 所以， 故答案为. 18．（25-26学年高二上·福建福州·期中）已知直线，，且满足，垂足为. （1）求的值及点的坐标. （2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 【答案】（1）；.     （2）      【分析】 （1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. (1) 小问详解： 解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组 ，解得 ，所以点． (2) 小问详解： 解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 19．（25-26学年高二上·福建恒兴中学·期中）已知点，，直线过点，且为直线的方向向量；圆过点，且直线与圆相切于点. （1）求直线的一般式方程； （2）求圆的标准方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由直线的方向向量可求斜率，再结合所过点求点斜式方程，化成一般式即可； （2）设圆心，半径为R，由直线与圆相切于点可得，以及圆过点，列方程组求解即可. (1) 小问详解： ∵为直线的方向向量，∴直线的斜率， 又过点，∴直线的方程为：， 化简得直线的一般式方程为：. (2) 小问详解： 设圆的圆心，半径为， ∵圆过点，且直线与圆相切于点， ∴，且， ∴ ， ∴ ，解得： ，∴， 因此圆的标准方程为：. 20．（25-26学年高二上·期中）已知圆的方程为，点在圆内. （1）求圆的圆心和半径； （2）求实数的取值范围； （3）求过点且与圆相切的直线l的方程. 【答案】（1）圆心，半径     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用配方法将圆的方程化成标准方程，可明确圆心和半径. （2）根据点在圆内列式，可求的取值范围. （3）分所求直线有无斜率，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线的方程. (1) 小问详解： 由. 所以圆心，半径. (2) 小问详解： 因为点在圆内，所以. 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 如图： 当过点的直线不存在斜率时，其方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线存在斜率时，设斜率为，则直线：，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以切线方程为：即. 综上，过点与圆相切的直线为：或. 21．（25-26学年高二上·福建福州·期中）设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1）     （2） 最大值88，最小值72     （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【分析】 （1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. (1) 小问详解： 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． (3) 小问详解： 略 22．（25-26学年高二上·期中）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有　　　　　　． ①曲线C的图象关于原点对称；②的最大值 ③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为 【答案】① ② ④ 【分析】 根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可． 【详解】 对于曲线C，当，时，曲线C表示， 即， 表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分（包括坐标轴上的点）； 当，时，曲线C表示，即， 表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分（包括坐标轴上的点）； 其图象如图所示， 对于① ，，将换成，换成得 ，即，曲线方程不变， 结合上面画出的曲线图象，所以曲线C关于原点对称，① 正确； 对于② ，曲线上两点之间最大距离，如图中两点间的距离， 其中联立与得 ，故， 同理可得，故，故② 正确； 对于③ ，不妨设直线的方程，此时不妨设， 此时与曲线C有其它交点，故③ 错误； 对于④ ，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和， 其中4个半圆的半径均为，正方形的边长为， 其面积为，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $