福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

**基本信息** 泉州科技中学高二期中数学试卷聚焦解析几何与立体几何，通过分层设问（如解答题16、18题空间角与距离计算），考查空间观念、运算能力及逻辑推理，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆的方程、直线倾斜角、空间向量表示|基础概念辨析，如第3题空间向量基底表示| |多选题|3/18|向量运算、圆与点距离、直线性质|多维度判断，如第11题直线对称与垂直条件| |填空题|3/15|平行线距离、两圆最值、正方体与球|空间想象与转化，如第14题正方体内切球轨迹| |解答题|5/77|三角形面积、三棱柱线面角、两圆公共弦、四棱锥动态问题|综合应用，如第18题线面平行证明与线面角计算，第19题圆的弦长与距离定值|

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期期中考 试高二数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [0] [0] [0] [0] [o] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] ▣怒▣ [2] [2] [2] [2 [2] [2] [2 [2] [3] [3] [3] 3 [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [57 [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■缺考标记 ▣ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] t87 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题；911为多选题 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][Cc][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 1 ■ 囚囚■ 15.(本题满分13分) 囚囚■ 16.(本题满分15分) A C B E B 17.(本题满分15分) 1 1 囚■囚 18.(本题满分17分) D M B 囚■囚▣ 口 19.(本题满分17分) ■ 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高二期中考试 数学试卷 命题：高一数学备课组 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．圆C的圆心坐标和半径分别是（     ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 2．直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（    ）   A． B． C． D． 4．直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（    ） A． B．1 C．或 D．或1 5．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 7．已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 8．已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知向量，，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 10．若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．直线关于直线对称的直线为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线平行，则直线与的距离为 ． 13．已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 14．已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题分） 已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)AC边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)的面积． 16．（本小题分） 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点. (1)求直线与直线的夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 17．（本小题分） 已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 18．（本小题分） 如图，四棱锥中，平面平面 是中点，是上一点. (1)当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 19．（本小题分） 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. (1)求圆的方程. (2)点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C B C D D AB AB 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据圆的标准方程可得圆心和半径. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径是2. 故选：C. 2．A 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 又，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 3．D 【分析】根据空间向量基本定理，用基底表示空间向量即可. 【详解】因为：. 故选：D 4．C 【分析】分截距为零和不为零两种情况，截距为零可直接求出斜率，截距不为零，设直线方程为，再结合题设条件，即可求解. 【详解】若截距为零，此时直线过原点， 又因为直线过点， 所以直线的斜率为； 若截距不为零，设直线方程为， 因为直线过点， 所以， 解得， 所以直线方程为， 此时直线斜率为， 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 5．B 【分析】求出直线的斜率，结合斜截式可得出直线的方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 又因为直线过点，故该直线的方程为. 故选：B. 6．C 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 7．D 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 8．D 【分析】将“”转化成，得到点的坐标与实数的关系，即. 根据的几何意义求得其取值范围，可得到的取值范围. 【详解】设点，则，. 若满足，则，即，即，所以. 令，则表示点到坐标原点的距离. 如图，当线段过圆心时，最大，最大值为. 所以的取值范围是. 故选：D.    9．AB 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答. 【详解】因为向量，，则，A正确； 显然，B正确； 由数量积的定义得，C错误； 显然，则，即有，D错误. 故选：AB. 10．AB 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11．BCD 【分析】根据直线方向向量的性质、两条直线垂直的性质，结合直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】A：因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率等于，因此本选项说法不正确； B：当直线与直线互相垂直时， 则有，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，因此本选项说法正确； C：在中，令，得，即，如图所示： 根据对称性可知：， 所以直线的方程为，因此本选项说法正确； D：如图所示： 因为， 所以直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是，因此本选项说法正确， 故选：BCD 12．/ 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】直线与直线平行，所以， 所以直线与直线间距离为. 故答案为：. 13．2 【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值. 【详解】因为圆，圆， 所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1. 两圆心之间的距离为，所以两圆相离. 所以的最小值为. 故答案为：2. 14． 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最大值. 【详解】依题意，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径， 由，平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，， 则平面平面，由平面，平面，得平面， 因此点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是点到平面的距离为， 圆的半径为， 由，得，则， 所以的最大值为. 故答案为： 15．(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程， （2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解， （3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由两点式得边AB所在直线方程为，即． （2）因为，AC的中点， 所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即． （3）点C到边AB的距离为，， ． 16．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）由题意得两两互相垂直， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与直线的夹角为， 则. 所以直线与直线的夹角的余弦值为. （2）， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 所以点到平面的距离为. 17．(1) (2)①；②（或写：） 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 18．(1)（i）证明见解析（ii） (2) 【分析】（1）（i）证明与平面的法向量垂直；（ii）由线面角的空间向量求法求解； （2）设，由两个平面夹角的空间向量求法求出. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，.    （1），由， 可得， . （i）证明：设平面的法向量为，， 则 解得 令，得. 因为， 所以. 又平面， 所以平面. （ii）， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2），设， 则， 设平面的法向量为， 则 取，则， 则 化简得：， 解得， 所以. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据圆的弦长性质（过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短），结合圆的标准方程求解参数； （2）（i）：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合 “定值” 的代数意义（系数与常数项分别相等）求解点的坐标； （2）（ii）：利用（i）的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与最值分析. 【详解】（1）圆的最长弦为直径，所以，得. 最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以， 故圆的方程为. （2）（i）设，则， 因为点在圆上，所以将代入上式， 得， 因为该式的值为常数，所以，解得（舍去）， 所以点的坐标为. （ii）由（i）可知，所以. 所以， 易知，，当点在线段DA上时等号成立， 故的最小值为，即原式的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $