福建省厦门市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦选择性必修第一册核心内容，以篮球粘合线、阿波罗尼斯圆等情境融合数学文化与生活实践，通过基础计算、空间建模、综合证明的梯度设计，适配高二期中检测需求，体现数学眼光与思维的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|空间向量运算、圆锥曲线定义、立体几何位置关系|第6题以篮球轮廓为背景，将双曲线与圆的交点问题生活化；第8题综合椭圆与双曲线离心率，考察逻辑推理| |填空题|3/15|直线方程、圆与圆位置关系、阿波罗尼斯圆|第14题结合两圆动点距离，渗透数学史与模型思想| |解答题|5/77|立体几何距离计算、椭圆方程与内切圆、二面角求解|第19题以椭圆上动点引圆切线为载体，求证斜率乘积与距离平方和为定值，体现综合应用能力|

*秘密 启用前 2025—2026学年第一学期厦门二中高二期中考试数学试卷 命卷教师： 审卷教师： 考试时间：2025年11月20日（满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修第一册 *祝考试顺利* 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），c＝（1，4，λ），若（a＋b）∥c，则实数λ＝ （　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·潍坊开学考试）如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c， 则＝ （　　 ） A．－a＋b＋c B．a－b＋c C．a－b＋c D．－a＋b＋c 3．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，且｜AB｜＝8，那么抛物线方程为 （　　 ） A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝6x 4．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则· ＝ （　　 ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．已知斜率为－1的直线l被圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0截得的弦长为，则直线l的方程为 （　　 ） A．2x＋2y＋1＝0或2x＋2y－3＝0 B．x＋y＋2＝0或x＋y－＝0 C．2x＋2y－＝0或2x＋2y＋3＝0 D．x＋y＝0或x＋y－2＝0 6．某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为 （　　 ） A． B． C． D． 7．设F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若｜PQ｜＝｜OF｜，则C的离心率为 （　　 ） A．　　 B．　 C．2　　 D． 8．设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：－＝1（a2＞0，b2＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点．若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是 （　 　） A． B． C． D． 二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线－＝1（a＞0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有 （　 　） A．抛物线的准线方程为x＝1 B．双曲线的实轴长为4 C．双曲线的离心率为2 D．P为双曲线上一点，若｜PF1｜＝，则｜PF2｜＝ 10．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，且以A为圆心、r为半径的圆分别交AB，AD于E，F两点，点M是劣弧上的动点，其中0<r<2，则 （     ） A．存在点M，使得PD与AM所成的角为 B．存在点M，使得BD∥平面PAM C．当r＝1时，动线段PM形成的曲面的面积为 D．当r＝时，以点P为球心，PM为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点M（1，2）在直线l上的射影是H（－1，4），则直线l的方程为 ． 13．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是　　　 　. 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至公元前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点M，N及动点P，若＝λ（λ＞0且λ≠1），则点T的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点P为圆A：（x－1）2＋y2＝4上一动点，Q为圆B：（x－3）2＋（y－4）2＝1上一动点，点C（－3，0），则｜PC｜＋｜PQ｜＋｜PB｜的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15．（本小题满分15分） 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点． （1）求点N到直线AB的距离； （2）求点C1到平面ABN的距离． 16．（本小题满分15分） 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的三角形土地，其中tan α＝－2，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km， km，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15 km2，求公路BC所在直线的方程． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点P（，）在C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2内切圆的面积． 18．（本小题满分17分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝． （1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； （2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆C上的任一点M（x0，y0），从原点O向圆M：（x－x0）2＋（y－y0）2＝8引两条切线，设两条切线的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）． ①求证：k1k2为定值； ②当两条切线分别交椭圆于P，Q时，求证：｜OP｜2＋｜OQ｜2为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期厦门二中高二数学期中考试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1.已知a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），c＝（1，4，λ），若（a＋b）∥c，则实数λ＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　由a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），得a＋b＝（1，4，2），又c＝（1，4，λ），且（a＋b）∥c，则＝＝，所以λ＝2.故选B. 2.如图所示，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c， 则＝ （　　 ） A.－a＋b＋c B.a－b＋c C.a－b＋c D.－a＋b＋c 解析：A　连接AE，如图所示，∵E是CD的中点，＝b，＝c，∴＝（＋）＝（b＋c）.在△ABE中，＝＋＝－＋，又＝a，∴＝－a＋（b＋c）＝－a＋b＋c.故选A. 3.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，且｜AB｜＝8，那么抛物线方程为 （　　 ） A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝8x D.y2＝6x 解析：B　因为直线AB过焦点F（，0），所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. 4.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则· ＝ （　　 ） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：C　由于＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）.而＝＋.则·＝［＋（＋）］·（＋）＝（＋）2＝（＋）＝1. 5．已知斜率为－1的直线l被圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0截得的弦长为，则直线l的方程为 （　　 ） A．2x＋2y＋1＝0或2x＋2y－3＝0 B．x＋y＋2＝0或x＋y－＝0 C．2x＋2y－＝0或2x＋2y＋3＝0 D．x＋y＝0或x＋y－2＝0 答案　D 解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，故半径为，圆心C(－1,2)，又因为直线l被圆截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离d＝＝.设直线l的方程为x＋y＋m＝0，则d＝＝，则m＝－2或m＝0，所以直线l的方程为x＋y＝0或x＋y－2＝0. 6.某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为 （　　 ） A. B. C. D. 解析：C　以O为原点，AD所在的直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C. 7.设F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若｜PQ｜＝｜OF｜，则C的离心率为 （　　 ） A.　　 B.　 C.2　　 D. 7.选A 设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F的坐标为（c，0），则c＝，如图所示，由圆的对称性及条件｜PQ｜＝｜OF｜可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则｜OP｜＝a，｜OM｜＝｜MP｜＝.在Rt△OPM中，由｜OM｜2＋｜MP｜2＝｜OP｜2得，（）2＋（）2＝a2，故＝，即e＝. 8.设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：－＝1（a2＞0，b2＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是 （　 　） A. B. C. D. 解析：C　设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，｜F1F2｜＝2c.如图，因为点M是双曲线和椭圆的交点，所以根据椭圆和双曲线的定义，知m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2.又因为｜F1F2｜＝4｜MF2｜，所以2c＝4（a1－a2），即－＝，所以＝＋，所以e1＝.因为椭圆离心率0＜e1＜1，所以＞1，即＜＜1，所以e1e2＝＝.令t＝，＜t＜1，则e1e2＝＝，在＜t＜1时单调递减，所以＜e1e2＜2.故选C. 9.已知双曲线－＝1（a＞0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有 （　 　） A.抛物线的准线方程为x＝1 B.双曲线的实轴长为4 C.双曲线的离心率为2 D.P为双曲线上一点，若｜PF1｜＝，则｜PF2｜＝ 解析：BD　对于A，抛物线y2＝－4x的准线方程是x＝，A选项错误.对于B，抛物线y2＝－4x的焦点是（－，0），所以F1（－，0），F2（，0），c＝.在双曲线中，c2＝a2＋b2，则a2＋3＝7，解得a＝2或a＝－2（舍去），所以双曲线的实轴长为2a＝4，B选项正确.对于C，双曲线的离心率e＝＝，C选项错误.对于D，由双曲线定义｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即＝4，解得｜PF2｜＝或｜PF2｜＝＜－2（舍去），D选项正确.故选B、D. 10．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】圆与圆的圆心分别为：；， 则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值. 故选：AD. 11．已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，且以A为圆心、r为半径的圆分别交AB，AD于E，F两点，点M是劣弧上的动点，其中0<r<2，则 （     ） A．存在点M，使得PD与AM所成的角为 B．存在点M，使得BD∥平面PAM C．当r＝1时，动线段PM形成的曲面的面积为 D．当r＝时，以点P为球心，PM为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为 答案　ACD 解析　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 对于A，设∠EAM＝θ时满足条件，所以M(rcos θ，rsin θ，0)，A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)， 所以＝(rcos θ，rsin θ，0)，＝(0,2，－2)， 所以cos〈，〉＝＝＝sin θ＝， 所以θ＝，即M为的中点时满足条件，故A正确； 对于B，在平面ABCD中，AM的延长线始终与BD相交，由此可知BD∥平面PAM一定不成立，故B错误； 对于C，由题意可知，动线段PM形成的曲面为以PA为轴，PM为母线的圆锥侧面的， 因为PM＝PE＝＝＝，所以曲面的面积为×π×1×＝，故C正确； 对于D，将四棱锥的侧面展开，设球与AB，AD的交点为G，H，连接CG，CH，如图所示， 因为球的半径R＝＝，所以PG＝R＝，所以AG＝r＝，所以GB＝AB－AG＝2－， 又因为∠ABC＝∠ABP＋∠CBP＝＋＝，所以CG2＝GB2＋BC2－2GB·BC·cos ＝6，所以CG＝， 又因为PG＝，PC＝2，所以CG2＋PG2＝PC2，所以PG⊥CG，所以△PGC为等腰直角三角形， 由对称性可知∠GPC＝∠HPC＝，所以∠GPH＝， 所以以PM为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为×＝，故D正确． 12.已知点M（1，2）在直线l上的射影是H（－1，4），则直线l的方程为x－y＋5＝0. 解析：因为kMH＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，所以直线l的方程为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0. 13．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是　　　　. 答案：8 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4的圆心为C2（3，－4），半径r2＝2，所以｜C1C2｜＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是｜C1C2｜＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8. 14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至公元前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.平面内两个定点M，N及动点P，若＝λ（λ＞0且λ≠1），则点T的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.点P为圆A：（x－1）2＋y2＝4上一动点，Q为圆B：（x－3）2＋（y－4）2＝1上一动点，点C（－3，0），则｜PC｜＋｜PQ｜＋｜PB｜的最小值为9. 解析：由P为圆A：（x－1）2＋y2＝4上一动点，得A（1，0），｜AP｜＝2，Q为圆B：（x－3）2＋（y－4）2＝1上一动点，得B（3，4），｜BQ｜＝1，｜AO｜＝1，｜AC｜＝4.因为＝＝，∠OAP＝∠PAC，所以△ACP∽△APO，于是｜PC｜＝2｜PO｜.当P，Q，B共线且｜PQ｜＜｜PB｜时｜PQ｜＋｜PB｜取得最小值，即｜PQ｜＋｜PB｜≥2｜PB｜－1.所以｜PC｜＋｜PQ｜＋｜PB｜≥2｜PO｜＋2｜PB｜－1≥2｜OB｜－1＝2－1＝9，当且仅当O，P，B共线时等号成立. 二、填空题 15.（本小题满分13分） 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点. （1）求点N到直线AB的距离； （2）求点C1到平面ABN的距离. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）. （1）＝（0，4，2），＝（2，2，0），则｜｜＝2，｜｜＝4，·＝8. 设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝＝＝4. （2）设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由得 令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝（，－1，2）. 易知＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝｜｜＝＝. 16.（本小题满分15分） 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的三角形土地，其中tan α＝－2，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km， km，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园区.以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系 （1）求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15 km2，求公路BC所在直线的方程. 解：（1）因为tan α＝－2，所以直线AN的方程是y＝－2x. 设点P（x0，y0），且点P到直线AM的距离为3，故y0＝3. 由点P到直线AN的距离为，可得＝，解得x0＝1或x0＝－4（舍去）， 所以点P（1，3）. （2）显然，直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y－3＝k（x－1），k∈（－2，0）. 令y＝0得xB＝1－. 由解得yC＝， 故S△ABC＝xByC＝－1＋＝15， 解得k＝－. 故公路BC所在直线的方程为3x＋4y－15＝0. 17.（本小题满分15分） 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点P（，）在C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2内切圆的面积. 解：（1）由椭圆C离心率为，得＝，即＝，所以b2＝a2， 故椭圆C的方程为＋＝1，代入点P（，），得＋＝1，故a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）法一　由题意得，直线l的方程为y＝（x＋1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由消去y，得5x2＋4x－10＝0，所以Δ＝16－4×5×（－10）＝216，x1＋x2＝－，x1x2＝－2， 则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝＝×＝， 又F2（1，0），直线l的方程为x－y＋1＝0，则点F2到直线AB的距离d＝＝，所以＝｜AB｜·d＝××＝，设△ABF2内切圆的半径为r，由×4ar＝＝， 解得r＝，故△ABF2内切圆的面积为πr2＝. 法二　由题意得，直线l的方程为x＝y－1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x，得10y2－6y－9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 则＝｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝×2×＝＝. 设△ABF2内切圆的半径为r，由×4ar＝＝， 解得r＝，故△ABF2内切圆的面积为πr2＝. 18.（本小题满分17分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. （1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； （2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD. 解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. （2）法一　如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD＝AC， 所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，所以CP⊥DF， 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 即sin∠DFE＝，即tan∠DFE＝. 因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝， 由等面积法可得，DE＝， 又CE＝＝，而△EFC为等腰直角三角形，所以EF＝， 故tan∠DFE＝＝，解得x＝，即AD＝. 法二　以DA，DC分别为x轴，y轴，过D作与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系D-xyz， 令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝，C（0，，0）， 设平面ACP的法向量为n1＝（x1，y1，z1），则所以 不妨设x1＝，则y1＝t，z1＝0，n1＝（，t，0）. 设平面CPD的法向量为n2＝（x2，y2，z2），则所以 不妨设z2＝t，则x2＝－2，y2＝0，n2＝（－2，0，t）. 因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为，所以＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝， 所以t＝，所以AD＝. 19.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为6. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆C上的任一点M（x0，y0），从原点O向圆M：（x－x0）2＋（y－y0）2＝8引两条切线，设两条切线的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）. ①求证：k1k2为定值； ②当两条切线分别交椭圆于P，Q时，求证：｜OP｜2＋｜OQ｜2为定值. 解：（1）由题意得解得a＝2，c＝2，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）证明：①依题意，两条切线方程分别为y＝k1x，y＝k2x，由＝2，化简得（－8）－2x0y0k1＋－8＝0， 同理（－8）－2x0y0k2＋－8＝0，所以k1，k2是方程（－8）k2－2x0y0k＋－8＝0的两个不相等的实数根，则k1k2＝. 又因为＋＝1，所以＝12－，所以k1k2＝＝＝－，即k1k2为定值. ②由①得，k1k2＝－，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则·＝－，即＝， 因为所以得（12－）（12－）＝， 即144－6（＋）＋＝，解得＋＝24， 所以＋＝12－＋12－＝24－（＋）＝24－×24＝12， 所以｜OP｜2＋｜OQ｜2＝＋＋＋＝36，即｜OP｜2＋｜OQ｜2为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $