专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，福建专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．C 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 根据指数幂的性质进行计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 5．【答案】4 【详解】 ． 6．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）应用有理数指数幂的运算化简即可； （2）由指数幂的运算性质得且，即可得. 【详解】 （1）原式； （2）因为，所以，则， 由，因为，所以，所以. 考点02 指数函数 1．D 2．ACD 3．A 4．AD 5．C 6．【答案】 【分析】 令，原题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，分离参数可解. 【详解】 设， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， ． 故答案为： 考点03 对数 1．【答案】（1）；（2）10 【分析】 （1）根据根式、指数、对数运算求得正确答案. （2）利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 （1）原式 . （2）因为，所以， 则， 又， 所以， 故. 考点04 对数函数 1．D 2．【答案】50 【分析】 根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】 由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．ACD 3．【答案】（1） 当时，，, ， 所以函数是奇函数；     （2）      【分析】 （1）由奇偶性的定义即可求证； （2）由一元二次方程判别式法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）， 即由两个不同的根， 即有两个不同的根， 当时，得不符合题意， 当时，由题意可得：， 解得，且, 综上实数的取值范围是. 4．【答案】（1）选择模型② ，     （2）这辆车没有超速      【分析】 （1）将题中提到的两种情况分别代入函数模型① ② 中，求得两种函数模型的函数解析式，再验证当车速为0时刹车距离为0是否成立，即可得到结论； （2）方法一：由车速通过函数② 计算出刹车距离，比较刹车距离长短即可判断该车是否超速；方法二：由刹车距离通过函数② 求得车速，即可判断该车是否超速. (1) 小问详解： 若选①，则有 ， 解得 ，所以， 故当时，，此时不合题意． 所以①不符合题意． 若选②，则 ，解得 ， 所以， 故当时，，此时符合题意． 所以②符合题意． 综上所述，选择模型②． (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以当时，， 即一辆这种型号的车在速率为时，紧急刹车后滑行距离， 因为，所以这辆车没有超速． 解法二：由（1）知，， 令，得， 所以当时，紧急刹车后滑行距离为． 又，所以这辆车没有超速． 5．【答案】 【分析】 法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】 法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根， 根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以 ， 由① 得，则， 将④ 代入② 得：⑤ 又由③ 得⑥ ， 由⑤ ⑥ 可知，所以. 故答案为：． 6．【答案】（1）100个，30万元     （2）每月生产不小于70个人形机器人      【分析】 （1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. (1) 小问详解： 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. (2) 小问详解： 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 7．【答案】（1）200万元     （2）     （3）当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元      【分析】 （1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. (1) 小问详解： 依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. (2) 小问详解： 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以 . (3) 小问详解： 由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 8．【答案】（1），.     （2）投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元.      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意得的表达式，即可利用二次函数的性质求解. (1) 小问详解： 由题意可设，，        由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，，              所以，. (2) 小问详解： 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，                     则，，              有， 则当，即时，取得最大值，        所以当投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元. 9．【答案】（1），；     （2），证明如下： 法一：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 法二：，则有，因此，所以， 所以.     （3）      【分析】 （1）根据不动点、稳定点定义，分别求解方程与，得到集合. （2）依据集合包含定义，任取代入复合函数推导出，证得. （3）先由得到的上限，再将因式分解，结合限制另一二次方程无额外根，分类讨论求出下限，合并区间得取值范围. (1) 小问详解： 令，可得，故； 令，可得，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 10．【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. (1) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. (2) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为 ，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以 ， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则 ，解得， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·福建安溪第一中学·期中）若，则的化简结果是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】 ，，. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）化简的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】 因为， 所以. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知，则的值是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】 由，得，，则，因此， 所以. 4．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂的性质进行计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 5．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）计算　　　　　　　　　　　　 【答案】4 【详解】 ． 6．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）应用有理数指数幂的运算化简即可； （2）由指数幂的运算性质得且，即可得. 【详解】 （1）原式； （2）因为，所以，则， 由，因为，所以，所以. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用单调性判断，而，即可求出答案. 【详解】 根据函数单调性可知：在R上单调递减，故，而，所以. 故选：D 2．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）（多选）已知函数则（     ） A. 的定义域为R B. 的值域为R C. 是增函数 D.  【答案】ACD 【分析】 根据给定函数，利用指数函数的性质，结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】 对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 3．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】 依题意，，，， 所以. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据指数函数的图像和函数图像变换结论判断. 【详解】 当时，函数的图像由函数的图像向下平移个单位得到， 如图，若，，函数的图像经过第一，二，三象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，三，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，二，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第二，三，四象限，符合条件， 故选：AD. 5．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知得，结合其渐近线及指数函数的性质确定参数范围或参数值. 【详解】 因为的图象过原点，所以， 因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交， 所以，，. 故选：C 6．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 令，原题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，分离参数可解. 【详解】 设， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， ． 故答案为： 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）计算：. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）10 【分析】 （1）根据根式、指数、对数运算求得正确答案. （2）利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 （1）原式 . （2）因为，所以， 则， 又， 所以， 故. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数的单调性可得，由对数运算可得，进而可得结论. 【详解】 因为，又在上单调递增， 又，所以， 又，可得. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·福建南平·期中）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过　　　　　　　　　　　年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【分析】 根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】 由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.若1吨饮用水的售价为528.4元，要使净化的饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知列不等式，求解即可得. 【详解】 由题意，得，解得，所以净化到的纯净度应该低于. 故选：B 2．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）（多选）分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（     ） A.  B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 【答案】ACD 【分析】 利用给定定义求出函数，再结合各选项条件逐项分析判断. 【详解】 依题意，，当时，；当时，， 则 ， ， 对于A，，A正确； 对于B， ，由，解得，B错误； 对于C，，令，， 函数是偶函数，C正确； 对于D，由，得或， 而，则，即，该方程有且仅有一个正根， 或， ，该方程有且仅有一个负根，且， ，该方程要么无解，要么一解，要么两个正根， 且，所以关于的方程的所有解的乘积为，D正确. 【点睛】 关键点点睛：利用给定的定义求出最小值函数和最大值函数的解析式是求解问题的关键. 3．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）已知定义域为的函数． （1）当时，求证：函数是奇函数； （2）在(1)的条件下，方程有2个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，，, ， 所以函数是奇函数；     （2）      【分析】 （1）由奇偶性的定义即可求证； （2）由一元二次方程判别式法即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）， 即由两个不同的根， 即有两个不同的根， 当时，得不符合题意， 当时，由题意可得：， 解得，且, 综上实数的取值范围是. 4．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）已知某种型号的汽车在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为；在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为． （1）请从①和②中选择一个合适的函数模型描述该型号汽车在紧急刹车后滑行的距离（单位：）与汽车速率（单位：）的关系，并求该函数的解析式： （2）在限速为的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，根据（1）中选择的函数模型判断这辆车是否超速？ 【答案】（1）选择模型② ，     （2）这辆车没有超速      【分析】 （1）将题中提到的两种情况分别代入函数模型① ② 中，求得两种函数模型的函数解析式，再验证当车速为0时刹车距离为0是否成立，即可得到结论； （2）方法一：由车速通过函数② 计算出刹车距离，比较刹车距离长短即可判断该车是否超速；方法二：由刹车距离通过函数② 求得车速，即可判断该车是否超速. (1) 小问详解： 若选①，则有 ， 解得 ，所以， 故当时，，此时不合题意． 所以①不符合题意． 若选②，则 ，解得 ， 所以， 故当时，，此时符合题意． 所以②符合题意． 综上所述，选择模型②． (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以当时，， 即一辆这种型号的车在速率为时，紧急刹车后滑行距离， 因为，所以这辆车没有超速． 解法二：由（1）知，， 令，得， 所以当时，紧急刹车后滑行距离为． 又，所以这辆车没有超速． 5．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）已知函数 ，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】 法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根， 根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以 ， 由① 得，则， 将④ 代入② 得：⑤ 又由③ 得⑥ ， 由⑤ ⑥ 可知，所以. 故答案为：． 6．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元     （2）每月生产不小于70个人形机器人      【分析】 （1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. (1) 小问详解： 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. (2) 小问详解： 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 7．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）200万元     （2）     （3）当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元      【分析】 （1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. (1) 小问详解： 依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. (2) 小问详解： 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以 . (3) 小问详解： 由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 8．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）个人理财投资是增加收入的一个重要途径，某人根据市场调研发现：稳健型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）成正比，其关系如图1所示；风险型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示. （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式. （2）现有10万元资金全部用于这两种产品的个人理财投资，请问怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 【答案】（1），.     （2）投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元.      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意得的表达式，即可利用二次函数的性质求解. (1) 小问详解： 由题意可设，，        由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，，              所以，. (2) 小问详解： 设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，                     则，，              有， 则当，即时，取得最大值，        所以当投资稳健型产品的资金为万元，投资风险型产品的资金为万元时，年收益最大，最大值为万元. 9．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）若函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），；     （2），证明如下： 法一：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 法二：，则有，因此，所以， 所以.     （3）      【分析】 （1）根据不动点、稳定点定义，分别求解方程与，得到集合. （2）依据集合包含定义，任取代入复合函数推导出，证得. （3）先由得到的上限，再将因式分解，结合限制另一二次方程无额外根，分类讨论求出下限，合并区间得取值范围. (1) 小问详解： 令，可得，故； 令，可得，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 10．（25-26学年高一上·福建南平·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. (1) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. (2) 小问详解： 因为 ，由解得或， 所以 ， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为 ，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以 ， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则 ，解得， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·福建安溪第一中学·期中）若，则的化简结果是（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）化简的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知，则的值是（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）　　　　　　. 5．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）计算　　　　　　　　　　　　 6．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）已知，若，求的值. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）（多选）已知函数则（     ） A. 的定义域为R B. 的值域为R C. 是增函数 D.  3．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）计算：. （2）已知，求的值. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·福建南平·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建南平·期中）某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过　　　　　　　　　　　年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.若1吨饮用水的售价为528.4元，要使净化的饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）（多选）分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（     ） A.  B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 3．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）已知定义域为的函数． （1）当时，求证：函数是奇函数； （2）在(1)的条件下，方程有2个不同的实根，求实数的取值范围． 4．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）已知某种型号的汽车在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为；在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为． （1）请从①和②中选择一个合适的函数模型描述该型号汽车在紧急刹车后滑行的距离（单位：）与汽车速率（单位：）的关系，并求该函数的解析式： （2）在限速为的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，根据（1）中选择的函数模型判断这辆车是否超速？ 5．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）已知函数 ，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是　　　　　． 6．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 7．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） （2）写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 8．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）个人理财投资是增加收入的一个重要途径，某人根据市场调研发现：稳健型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）成正比，其关系如图1所示；风险型产品的年收益（单位：万元）与投资额（单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示. （1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式. （2）现有10万元资金全部用于这两种产品的个人理财投资，请问怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元？ 9．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 （1）若函数，求A和B； （2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； （3）若，且，求实数的取值范围. 10．（25-26学年高一上·福建南平·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数 ，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $