专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，福建专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）（多选）已知，则下列正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解. 【详解】 对于ACD，因为， 所以，，，故ACD正确； 对于B，取，则，故B错误. 故选：ACD. 2．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）已知，则下列不等式正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 通过举反例排除A项；利用作差法比较判断B项；利用不等式的性质判断C，D两项. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则由可得，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确． 故选:BCD． 3．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）（多选）已知，且，则下列不等式恒成立的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 利用作差法比较大小判断ABD，举反例判断C. 【详解】 对于A，，正确； 对于B，， 所以，正确； 对于C，满足，且，此时，错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 又，故不同时为0，所以， 即成立，所以成立，正确. 故选：ABD 4．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【分析】 根据题意，利用特值法，可判断A、C均错误，利用作差法，可判断B正确，根据不等式性质，可判断D正确． 【详解】 对于A，取，满足，但，所以A错误； 对于B，若且，则，所以，所以B正确； 对于C，取，此时满足，但，所以C错误； 对于D，若，，可得，由不等式性质，可得，所以D正确． 故选：BD. 5．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）下列命题正确的是（        ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 选项AB，考察不等式的性质.选项C，考察糖水不等式.选项D，考察不等式的运算. 【详解】 选项A，因为，所以，，，.选项A正确. 选项B，当时，.选项B错误. 选项C，因为， 所以.选项C正确. 选项D，，所以 ，解得 ， 所以，，两式相加,.选项D错误. 故选：AC 6．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由不等式的性质直接判断各项的正误即可. 【详解】 由，则，，，. 故选：D 7．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）（多选）若，，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【详解】 当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 8．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）设，，则下列不等式中恒成立的是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 取反例判断ABD，利用不等式同向可加性判断C. 【详解】 取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 因为，则，又， 所以，所以C正确； 取，则，，故D错误. 故选：C 9．（25-26学年高一上·福建南安华侨中学·期中）（多选）下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 【答案】ABC 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】 对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若且，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：ABC. 10．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）如果，那么下列式子中正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 11．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知实数满足，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】 由实数满足，可得，所以， 又由，且，可得，所以， 所以的取值范围为的取值范围为，所以A正确，B错误； 由，因为， 所以，所以的取值范围为，所以C正确； 由，当时，可得， 当时，可得，所以的取值范围为，所以D正确． 故选：ACD. 12．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）下列命题为假命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】A 【分析】 对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】 对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 13．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知，，则下列结论成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 举反例排除ACD；利用不等式的性质证明B. 【详解】 选项 A： ，，则 . 由于，不满足 ，故选项 A 不成立； 选项 B： 因为，所以，， 又因为，由不等式的性质得，故选项 B 成立； 选项 C： 取 ，，则  不满足 ，故选项 C 不成立； 选项 D： 取，，则 . 不满足 ，故选项 D 不成立. 故选：B 14．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）已知，，. （1）比较与的大小； （2）证明. 【答案】（1）     （2） 因为，，， 所以，所以，即， 同理可得，， 以上三式相加，两边除以2得.      【分析】 （1）利用作差法，化简表达式，然后根据的符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，，从而证之. (1) 小问详解： 解： ， 因为，，，，， 所以，所以. (2) 小问详解： 略 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】 由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 2．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）（多选）以下结论正确的是（       ） A. 若，则的最小值是2 B. 若且，则 C. 的最小值是2 D. 若，且，则 【答案】BD 【分析】 使用基本不等式(均值不等式)及其取等号的条件进行判断即可. 【详解】 对于A，因为，所以当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立，所以A错误. 对于B，因为，所以，，所以，当且仅当即时等号成立，所以B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，但无实数解，故的最小值不是2，所以C错误. 对于D，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以D正确. 故选：BD. 3．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）已知，，且，则的最大值等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由得，代入并由配方法整理代数式，再讨论的范围，即可求得最大值. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵ ，∴， ∴时取最大值，最大值为， 故选：C. 4．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知且，则的最小值为（        ） A. 9 B. 10 C.  D. 8 【答案】A 【分析】 由题知，再由求解即可． 【详解】 且， ， 当且仅当时取等． 故选：A． 5．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）函数（）的最大值为（       ） A.  B. 3 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 6．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知，，且，则的最小值是（     ） A. 4 B. 8 C. 9 D.  【答案】D 【分析】 根据基本不等式的性质，利用题目所给条件，求出结果即可. 【详解】 由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由为正实数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 若，，则的最大值为2 C. 的最小值是2 D. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 【答案】BD 【分析】 当时，求得中只有一个元素，可判定A错误；由，得到，代入化简，利用基本不等式，可得判定B正确；结合基本不等式中等号成立的条件，可判定C错误；根据一元二次不等式的性质，结合充分、必要条件的判定，可判定D正确. 【详解】 对于A,当时，方程即为，解得，此时集合中只有一个元素，所以A错误； 对于B，因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为2，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 但，所以等号取不到，故最小值不是，所以C错误； 对于D，当时，不等式恒成立，即充分性成立； 当不等式在上恒成立，则，解得，故必要性成立， 综上:“”是“不等式在上恒成立”的充要条件，所以D正确. 故选：BD. 9．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）（多选）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用基本不等式，根据已知由判断A；由判断B；由判断C；由判断D. 【详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BCD 10．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）设，，且，则的最小值为（     ） A.  B. 5 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】 因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选:C. 11．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知实数，满足，则下列结论一定成立的是（     ） A.  B. 的最小值为4 C.  D. 的最小值为2 【答案】D 【分析】 由基本不等式和特殊值逐项判断即可. 【详解】 对于A，取，得，故A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，取，得，故C错误， 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 12．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】 由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 13．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）（多选）下列说法正确的是（     ）. A. 函数的最小值为2 B. 当时，函数的最小值为 C. 已知且，若，则的取值范围为 D. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】 当时，即可判断A；利用基本不等式可判断B；利用指数函数的单调性可判断C；不等式对任意恒成立，可得，结合基本不等式可判断D. 【详解】 当时，，故A错误； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为，故B正确； 当时，由，可得，从而； 当时，由，可得， 所以或，故C错误； 不等式对任意恒成立，则，即， 因为（当且仅当时取等号），可知， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：BD. 14．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）以下结论正确的是（     ） A. 若，，则 B. 的最小值是2 C. 若，，且，则 D. 若，则的最大值为-2 【答案】BCD 【分析】 对于A，当，异号时，不等式不成立，即可判断；利用基本不等式判断BCD. 【详解】 对于A，当，异号时，不成立，故A错误； 对于B，因为，当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 15．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）（多选）已知实数满足，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】 已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 16．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）已知，且，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为8. 故答案为：. 17．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 18．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． （1）据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ （2）为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】（1）玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入     （2）该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和      【分析】 （1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. (1) 小问详解： 设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. (2) 小问详解： 由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 19．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）9；     （2）18；     （3）.      【分析】 （1）应用基本不等式求的最大值，注意取值条件； （2）由，结合（1）求最小值； （3）应用“1”的代换及基本不等式求最小值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9； (2) 小问详解： 由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为18； (3) 小问详解： 由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 20．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）已知且恒成立，则实数的最大值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 不等式变形为，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论． 【详解】 ∵，∴，，， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值是． 故答案为：． 21．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（1）解不等式：. （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）法一：由移项通分得到求解即可；法二：由得 或 求解即可； （2）由乘1法即可求解. 【详解】 解：（1）（解法一）由得，即，        所以，              解得，                     故不等式的解集为. （解法二）由得 或       解得 或             所以.                     故不等式的解集为. （2）因为，，且， 所以        ，                     当且仅当，即，时，等号成立，        故的最小值为. 22．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）秋季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元.当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，.若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（单位：万元）关于产量（单位：万箱）的函数关系式.（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）     （2）当产量为万箱时，最大利润是万元.      【分析】 （1）分、两种情况分析，利用销售利润销售总价固定成本生产成本可得出口罩销售利润关于产量的函数关系式； （2）分别求出在、上的最大值及其对应的值，比较大小后可得出结论. (1) 小问详解： 当时，；        当时， ，        所以 . (2) 小问详解： 当时，， 所以当时，取得最大值万元；      当时，，        当且仅当，即时，等号成立，所以取得最大值万元.        综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大，最大利润是万元. 23．（25-26学年高一上·福建南安华侨中学·期中）已知正实数，满足 （1）求的最小值，并指出此时，的值； （2）若，求所有满足条件的，的值. 【答案】（1）的最小值为25，此时；     （2）或或      【分析】 （1）利用基本不等式，结合整体换元法即可得解； （2）利用常数分离法，结合的条件得到是的正因数，进而求得的值，从而得解. (1) 小问详解： 因为为正实数， 所以， 令，则，， 故上述不等式可化为，解得或（舍去）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25，此时； (2) 小问详解： 由得， 显然，则， 因为，所以是的正因数， 则的可能取值为，即的可能取值为， 对应的的可能取值为，即， 综上，或或. 24．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）如图，长方形的周长为10． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）（i）5；（ii）的面积存在最大值.      【分析】 （1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； (2) 小问详解： （i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长， 故的周长是定值，为5； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值． 25．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分离参数得，即，又，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意可得，恒成立，所以， 又，令， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，即实数a的最小值为， 故答案为：. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（       ） A. 3x+4<0 B. x2+mx-1>0 C. ax2+4x-7>0 D. x2<0 【答案】BD 【分析】 利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 2．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】 原不等式即为，即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】 解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当 时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 4．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解，注意讨论的情况. 【详解】 当时，不等式即恒成立，满足题意； 当时，则有 ，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：A 5．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B.  C.  D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】 根据不等式的解集得出选项A，利用根与系数的关系得出的值，即可判断选项B、C，然后将的值代入选项D中，利用一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】 由不等式的解集为， 由题意得不等式对应的方程的根为：， 由根与系数的关系得：， 解得：，所以A选项正确， 由，所以B选项正确， 由，故C选项不正确， 不等式为：， 解得：，即所求不等式的解集为，故D选项正确， 故选：ABD 6．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得，方程的根是1和2，由韦达定理即可求解. 【详解】 由题意可得，方程的根是1和2，所以 解得，. 不等式，即，解得. 故选：A 7．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. “”的必要不充分条件是“” 【答案】ABD 【分析】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定即可判断A；由不等式解集得到的根为，2，且，由韦达定理得到方程组，求出，即可判断B；根据基本不等式凑乘积为定值求最值并检验取等条件即可判断C；解不等式，根据充分条件与 必要条件即可判断D． 【详解】 对于A，命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，若不等式的解集为，则方程的两根为， 所以 ，解得 ，则，故B正确； 对于C，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，但，故的最小值不是5，故C不正确； 对于D，不等式的解为或，所以“”的必要不充分条件是“”，故D正确. 故选：ABD. 8．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）不等式对于一切实数都成立，则实数的取值可以为（     ） A.  B.  C. 0 D. 1 【答案】BC 【分析】 由和讨论，求得的范围，即可求解. 【详解】 当时，成立， 当时，不等式对于一切实数都成立， 可知，且， 解得， 综上：， 故选：BC 9．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知命题，命题，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 求解，得到，再结合集合间的关系即可求解. 【详解】 由，解得：， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 10．（25-26学年高一上·福建安溪第一中学·期中）（多选）下列结论中，所有正确的结论是（     ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 函数的最小值为2 【答案】ABC 【分析】 根据不等式的性质判断A，B；求解不等式，判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】 对于A，若，则，因为，所以，所以.所以选项A正确； 对于B，若，则；若，则, 所以.所以选项B正确； 对于C，不等式等价于 ，解得，或. 因为或是或的一个真子集，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，所以选项C正确； 对于D，因为当时，， 其中当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为3，所以选项D错误. 故选：ABC. 11．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（     ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 利用二次函数的性质确定在上单调递增对应的参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】 由的开口向上且对称轴为， 所以当且仅当时，在上单调递增， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 12．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将问题转化为，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】 依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 13．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为 【答案】C 【分析】 利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知、是关于的方程的两根，结合韦达定理可得出 ，利用一次不等式的解法可判断B选项；代入计算可判断C选项；利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】 对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知、是关于的方程的两根， 所以 ，即 ， 故不等式即为，即，解得， 所以不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 故不等式的解集为，D错. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）已知关于x的不等式． （1）已知不等式的解集为，求实数a的值； （2）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1     （2）      【分析】 （1）根据题意可得，2是方程的两根，由韦达定理即可求解； （2）由题意可得恒成立，分与讨论即可求解. (1) 小问详解： 由题意可得，2是方程的两根， 可得， 解得； (2) 小问详解： 不等式对恒成立， 即为恒成立， 当时，不等式即为10恒成立； 当时，则 ，解得. 综上可得，a的取值范围是. 15．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）. （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或.      【分析】 （1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. (1) 小问详解： 即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 (2) 小问详解： 即为即， ① 当时，，即解集为， ② 当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 16．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得集合，根据列不等式，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： ∵时，， ， 全集，∴或, ∴． (2) 小问详解： ∵，∴， ∵，， ∵，∴ ， 解得或， 故实数的取值范围. 17．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或.     （2）      【分析】 （1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. (1) 小问详解： 依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 小问详解： （1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 18．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）问题等价于一元二次不等式在实数集上恒成立，当且仅当，由此即可求解. （2）先求出命题为真命题时的取值范围，然后再分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 由，若为真命题， 则，解得， 所以的取值范围为. (2) 小问详解： 若为真命题， 则， 只需，所以，分以下两种情形来讨论： 情形一：若一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时， 则 ，解得， 情形二：当是假命题，是真命题时， 则 ，解得， 综上所述. 19．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）已知函数． （1）若在上具有单调性，求实数的取值范围； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）利用二次函数对称轴和单调性结合题意可解； （2）将改成关于的一次函数，再令区间端点值大于零后解不等式取交集可得； （3）利用二次函数对称轴的位置结合单调性讨论可得. (1) 小问详解： 函数的对称轴为， 因为在上具有单调性，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 将改成关于的一次函数，设， 所以，解得或； ，解得或， 取交集可得的取值范围为. (3) 小问详解： 函数的对称轴为，开口向上， 当即时，函数在上单调递增， 所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当即时，函数在上单调递减，所以； 综上 . 20．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　　. 【答案】 【分析】 利用参变量分离法可知对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】 因为命题“，”是真命题，则，， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 21．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出　　　　　升溶液． 【答案】2 【分析】 求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】 设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 22．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一元二次不等式的解法，结合题意求解即可. 【详解】 ，即， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知函数. （1）若对任意实数，都有，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）利用二次函数对称性列式求解即可； （2）利用二次函数的单调性列不等式求解即可； （3）按照和分类讨论，利用二次函数的单调性求解最小值即可. (1) 小问详解： 因为，所以的图象关于直线对称. 因为的图象的对称轴为直线，所以，解得. (2) 小问详解： 因为在上单调递增，所以， 则，故的取值范围是. (3) 小问详解： 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， . 故 . 24．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】（1），     （2）{1}     （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为      【分析】 （1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知，0和b是方程的根，且， 所以 ，解得， (2) 小问详解： 由，即， 即对于实数时恒成立， 则 ，解得，则x的取值范围为{1} (3) 小问详解： 由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为； ③ 当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 25．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）若，，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求得的最小值，即可求解. 【详解】 由题意可得：，恒成立， 即的最小值大于等于， 又，当时，取等号， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为： 26．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）已知函数，. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式恒成立求解； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. (1) 小问详解： 不等式恒成立，即不等式恒成立， 所以 ，得，所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： ，. 当时，，或； 当时，； 当时，，或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 方程即， 当时，，，方程只有两根，不符合题意. 当时，关于方程根的判别式，， 方程只有两根，不符合题意. 当时，方程有四个不同的实数根， 则有 解得，或. 综上，实数的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）设命题，，命题：实数. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和有且只有一个为真命题，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据命题为真，利用判别式法求解； （2）由“和有且只有一个为真命题”得“，中一真一假”求解即得. (1) 小问详解： 若为真命题，则恒成立， 所以， 解得，              所以的取值范围是. (2) 小问详解： 由（1）得若为真命题，则；若为真命题，则. 因为和有且只有一个为真命题，所以真假，或假真.        若真假，则且，解得； 若假真，则且，解得. 综上，的取值范围是. 28．（25-26学年高一上·福建安溪第一中学·期中）设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，，求的最小值. 【答案】（1）；     （2） 当时，不等式的解集为；      当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.     （3）.      【分析】 （1）由不等式的解集为，得：方程的两根为，3且.根据韦达定理，可求得的值，从而得到的值； （2）若，则不等式可转化为，即，讨论相应方程两根的大小关系，并结合一元二次不等式的解法即得； （3）由，得，将转化成，利用基本不等式求得的最小值.讨论和两种情况，可得的最小值. (1) 小问详解： 由不等式的解集为，得：方程的两根为，3，且， 由根与系数的关系可得： ，解得，， 所以 .           (2) 小问详解： 由，得，又因为， 所以不等式化为，即. 因为，令，则，或. 若，则，所以的解集为；      若，当时，由，得，所以的解集为； 当时，，所以的解集为； 当时，，所以的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；      当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 由已知得，，. 因为，所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，，所以（当且仅当，时等号成立）；        当时，，所以（当且仅当，时等号成立）；        所以的最小值为. 29．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1） ；     （2）；     （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}.      【分析】 （1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. (1) 小问详解： 由题意可知的两个解为， 所以 ，所以 ； (2) 小问详解： 因为恒成立，则， 即，解之得； (3) 小问详解： 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）（多选）已知，则下列正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）已知，则下列不等式正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）（多选）已知，且，则下列不等式恒成立的有（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）（多选）下列命题中，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）下列命题正确的是（        ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）（多选）若，，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）设，，则下列不等式中恒成立的是（     ）. A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·福建南安华侨中学·期中）（多选）下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 10．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）如果，那么下列式子中正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知实数满足，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 12．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）下列命题为假命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 13．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知，，则下列结论成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）已知，，. （1）比较与的大小； （2）证明. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）（多选）以下结论正确的是（       ） A. 若，则的最小值是2 B. 若且，则 C. 的最小值是2 D. 若，且，则 3．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）已知，，且，则的最大值等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知且，则的最小值为（        ） A. 9 B. 10 C.  D. 8 5．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）函数（）的最大值为（       ） A.  B. 3 C. 1 D.  6．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知，，且，则的最小值是（     ） A. 4 B. 8 C. 9 D.  7．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 若，，则的最大值为2 C. 的最小值是2 D. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 9．（25-26学年高一上·福建泉州·期中）（多选）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）设，，且，则的最小值为（     ） A.  B. 5 C.  D. 4 11．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知实数，满足，则下列结论一定成立的是（     ） A.  B. 的最小值为4 C.  D. 的最小值为2 12．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 13．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）（多选）下列说法正确的是（     ）. A. 函数的最小值为2 B. 当时，函数的最小值为 C. 已知且，若，则的取值范围为 D. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 14．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）以下结论正确的是（     ） A. 若，，则 B. 的最小值是2 C. 若，，且，则 D. 若，则的最大值为-2 15．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）（多选）已知实数满足，则（    ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）已知，且，则的最小值为　　　　　　． 17．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 18．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． （1）据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ （2）为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 19．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 20．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）已知且恒成立，则实数的最大值是　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（1）解不等式：. （2）已知，，且，求的最小值. 22．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）秋季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元.当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，.若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（单位：万元）关于产量（单位：万箱）的函数关系式.（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？最大利润是多少万元？ 23．（25-26学年高一上·福建南安华侨中学·期中）已知正实数，满足 （1）求的最小值，并指出此时，的值； （2）若，求所有满足条件的，的值. 24．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）如图，长方形的周长为10． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 25．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为　　　　　　　　. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（       ） A. 3x+4<0 B. x2+mx-1>0 C. ax2+4x-7>0 D. x2<0 2．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D. 或 5．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B.  C.  D. 不等式的解集为 6．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. “”的必要不充分条件是“” 8．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）（多选）不等式对于一切实数都成立，则实数的取值可以为（     ） A.  B.  C. 0 D. 1 9．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知命题，命题，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高一上·福建安溪第一中学·期中）（多选）下列结论中，所有正确的结论是（     ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 函数的最小值为2 11．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（     ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 12．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（     ）. A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）关于的不等式的解集为，则（     ） A.  B. 不等式的解集为 C.  D. 不等式的解集为 14．（25-26学年高一上·福建福州台江区·期中）已知关于x的不等式． （1）已知不等式的解集为，求实数a的值； （2）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围. 15．（25-26学年高一上·福建安溪恒兴中学·期中）. （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 16．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17．（25-26学年高一上·福建南安国光中学·期中）已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 18．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）已知． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 19．（25-26学年高一上·福建福州福清·期中）已知函数． （1）若在上具有单调性，求实数的取值范围； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，求的最小值． 20．（25-26学年高一上·福建福州长乐区·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　　. 21．（25-26学年高一上·福建泉州安溪县·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出　　　　　升溶液． 22．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·福建龙岩·期中）已知函数. （1）若对任意实数，都有，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，求的最小值. 24．（25-26学年高一上·福建厦泉·期中）设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 25．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）若，，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·福建福九联盟·期中）已知函数，. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·福建宁德·期中）设命题，，命题：实数. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和有且只有一个为真命题，求的取值范围. 28．（25-26学年高一上·福建安溪第一中学·期中）设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，，求的最小值. 29．（25-26学年高一上·福建九师联盟·期中）已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．ACD 2．BCD 3．ABD 4．BD 5．AC 6．D 7．BC 8．C 9．ABC 10．C 11．ACD 12．A 13．B 14．【答案】（1）     （2） 因为，，， 所以，所以，即， 同理可得，， 以上三式相加，两边除以2得.      【分析】 （1）利用作差法，化简表达式，然后根据的符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，，从而证之. (1) 小问详解： 解： ， 因为，，，，， 所以，所以. (2) 小问详解： 略 考点02 基本不等式 1．C 2．BD 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．BD 9．BCD 10．C 11．D 12．C 13．BD 14．BCD 15．ACD 16．【答案】 【分析】 利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为8. 故答案为：. 17．【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 18．【答案】（1）玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入     （2）该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和      【分析】 （1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. (1) 小问详解： 设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. (2) 小问详解： 由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 19．【答案】（1）9；     （2）18；     （3）.      【分析】 （1）应用基本不等式求的最大值，注意取值条件； （2）由，结合（1）求最小值； （3）应用“1”的代换及基本不等式求最小值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9； (2) 小问详解： 由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为18； (3) 小问详解： 由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 20．【答案】 【分析】 不等式变形为，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论． 【详解】 ∵，∴，，， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值是． 故答案为：． 21．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）法一：由移项通分得到求解即可；法二：由得 或 求解即可； （2）由乘1法即可求解. 【详解】 解：（1）（解法一）由得，即，        所以，              解得，                     故不等式的解集为. （解法二）由得 或       解得 或             所以.                     故不等式的解集为. （2）因为，，且， 所以        ，                     当且仅当，即，时，等号成立，        故的最小值为. 22．【答案】（1）     （2）当产量为万箱时，最大利润是万元.      【分析】 （1）分、两种情况分析，利用销售利润销售总价固定成本生产成本可得出口罩销售利润关于产量的函数关系式； （2）分别求出在、上的最大值及其对应的值，比较大小后可得出结论. (1) 小问详解： 当时，；        当时， ，        所以 . (2) 小问详解： 当时，， 所以当时，取得最大值万元；      当时，，        当且仅当，即时，等号成立，所以取得最大值万元.        综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大，最大利润是万元. 23．【答案】（1）的最小值为25，此时；     （2）或或      【分析】 （1）利用基本不等式，结合整体换元法即可得解； （2）利用常数分离法，结合的条件得到是的正因数，进而求得的值，从而得解. (1) 小问详解： 因为为正实数， 所以， 令，则，， 故上述不等式可化为，解得或（舍去）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25，此时； (2) 小问详解： 由得， 显然，则， 因为，所以是的正因数， 则的可能取值为，即的可能取值为， 对应的的可能取值为，即， 综上，或或. 24．【答案】（1）；     （2）（i）5；（ii）的面积存在最大值.      【分析】 （1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； (2) 小问详解： （i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长， 故的周长是定值，为5； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值． 25．【答案】 【分析】 分离参数得，即，又，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】 由题意可得，恒成立，所以， 又，令， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，即实数a的最小值为， 故答案为：. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．BD 2．D 3．D 4．A 5．ABD 6．A 7．ABD 8．BC 9．B 10．ABC 11．A 12．B 13．C 14．【答案】（1）1     （2）      【分析】 （1）根据题意可得，2是方程的两根，由韦达定理即可求解； （2）由题意可得恒成立，分与讨论即可求解. (1) 小问详解： 由题意可得，2是方程的两根， 可得， 解得； (2) 小问详解： 不等式对恒成立， 即为恒成立， 当时，不等式即为10恒成立； 当时，则 ，解得. 综上可得，a的取值范围是. 15．【答案】（1）     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或.      【分析】 （1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. (1) 小问详解： 即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 (2) 小问详解： 即为即， ① 当时，，即解集为， ② 当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得集合，根据列不等式，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： ∵时，， ， 全集，∴或, ∴． (2) 小问详解： ∵，∴， ∵，， ∵，∴ ， 解得或， 故实数的取值范围. 17．【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或.     （2）      【分析】 （1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. (1) 小问详解： 依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 小问详解： （1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）问题等价于一元二次不等式在实数集上恒成立，当且仅当，由此即可求解. （2）先求出命题为真命题时的取值范围，然后再分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 由，若为真命题， 则，解得， 所以的取值范围为. (2) 小问详解： 若为真命题， 则， 只需，所以，分以下两种情形来讨论： 情形一：若一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时， 则 ，解得， 情形二：当是假命题，是真命题时， 则 ，解得， 综上所述. 19．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）利用二次函数对称轴和单调性结合题意可解； （2）将改成关于的一次函数，再令区间端点值大于零后解不等式取交集可得； （3）利用二次函数对称轴的位置结合单调性讨论可得. (1) 小问详解： 函数的对称轴为， 因为在上具有单调性，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 将改成关于的一次函数，设， 所以，解得或； ，解得或， 取交集可得的取值范围为. (3) 小问详解： 函数的对称轴为，开口向上， 当即时，函数在上单调递增， 所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当即时，函数在上单调递减，所以； 综上 . 20．【答案】 【分析】 利用参变量分离法可知对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】 因为命题“，”是真命题，则，， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 21．【答案】2 【分析】 求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】 设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 22．【答案】 【分析】 根据一元二次不等式的解法，结合题意求解即可. 【详解】 ，即， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 23．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）利用二次函数对称性列式求解即可； （2）利用二次函数的单调性列不等式求解即可； （3）按照和分类讨论，利用二次函数的单调性求解最小值即可. (1) 小问详解： 因为，所以的图象关于直线对称. 因为的图象的对称轴为直线，所以，解得. (2) 小问详解： 因为在上单调递增，所以， 则，故的取值范围是. (3) 小问详解： 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， . 故 . 24．【答案】（1），     （2）{1}     （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为      【分析】 （1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知，0和b是方程的根，且， 所以 ，解得， (2) 小问详解： 由，即， 即对于实数时恒成立， 则 ，解得，则x的取值范围为{1} (3) 小问详解： 由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，，不等式的解集为； ③ 当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 25．【答案】 【分析】 求得的最小值，即可求解. 【详解】 由题意可得：，恒成立， 即的最小值大于等于， 又，当时，取等号， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为： 26．【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式恒成立求解； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. (1) 小问详解： 不等式恒成立，即不等式恒成立， 所以 ，得，所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： ，. 当时，，或； 当时，； 当时，，或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 方程即， 当时，，，方程只有两根，不符合题意. 当时，关于方程根的判别式，， 方程只有两根，不符合题意. 当时，方程有四个不同的实数根， 则有 解得，或. 综上，实数的取值范围为. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据命题为真，利用判别式法求解； （2）由“和有且只有一个为真命题”得“，中一真一假”求解即得. (1) 小问详解： 若为真命题，则恒成立， 所以， 解得，              所以的取值范围是. (2) 小问详解： 由（1）得若为真命题，则；若为真命题，则. 因为和有且只有一个为真命题，所以真假，或假真.        若真假，则且，解得； 若假真，则且，解得. 综上，的取值范围是. 28．【答案】（1）；     （2） 当时，不等式的解集为；      当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.     （3）.      【分析】 （1）由不等式的解集为，得：方程的两根为，3且.根据韦达定理，可求得的值，从而得到的值； （2）若，则不等式可转化为，即，讨论相应方程两根的大小关系，并结合一元二次不等式的解法即得； （3）由，得，将转化成，利用基本不等式求得的最小值.讨论和两种情况，可得的最小值. (1) 小问详解： 由不等式的解集为，得：方程的两根为，3，且， 由根与系数的关系可得： ，解得，， 所以 .           (2) 小问详解： 由，得，又因为， 所以不等式化为，即. 因为，令，则，或. 若，则，所以的解集为；      若，当时，由，得，所以的解集为； 当时，，所以的解集为； 当时，，所以的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；      当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 由已知得，，. 因为，所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，，所以（当且仅当，时等号成立）；        当时，，所以（当且仅当，时等号成立）；        所以的最小值为. 29．【答案】（1） ；     （2）；     （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}.      【分析】 （1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. (1) 小问详解： 由题意可知的两个解为， 所以 ，所以 ； (2) 小问详解： 因为恒成立，则， 即，解之得； (3) 小问详解： 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $