精品解析：福建省泉州科技中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高一年期中考试 数学试卷 命题老师：高二数学组 审核：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 2. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 5. 已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 7. 已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为为上的增函数，由此列出不等式组求解出的范围. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以为上的增函数， 所以，解得，即， 故选：C. 8. 已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，单调性进行求解即可. 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确； 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 已知，则的最小值为3 D. 若正数满足，则的最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可. 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3. 故B错误； 对于C，因为，，， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为4.故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】，， 故答案为：3 13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据p是q的充分不必要条件，所以，然后建立关系式，解之即可. 【详解】解：，， 因为p是q的充分不必要条件，所以， 则，即. 经检验满足条件. 故答案为： . 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________． ①函数的最大值为； ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点 ④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据高斯函数定义可得的解析式和图象，由图象判断各个选项即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，函数满足，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的最小值； （2）已知，，且满足求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题得，再利用基本不等式计算求得最值即可； （2）由题得，展开计算，再利用基本不等式计算求得最值即可． 【详解】解：（1）因为，所以， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，，， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以的最小值为 16. 设全集为实数集，集合，. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件得到集合是集合的真子集，再利用集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 解，得，所以， 当时，， 所以，或， 所以或， 【小问2详解】 由（1）知，，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得. 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求集合． 【答案】（1） （2） 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合． 【解析】 【分析】（1）把代入不等式，得到关于的一元二次不等式，通过因式分解求解不等式； （2）对不等式进行因式分解，根据的不同取值范围结合一元二次不等式的性质分情况讨论求解． 【小问1详解】 若，则不等式为， 即，解得， 所以集合． 【小问2详解】 把不等式因式分解为， 当时，不等式即为，即， 集合． 当时，方程的两根分别为． ①当时，，，原不等式等价于， 解得，集合． ②当时， 若，，，则解集； 若，，原不等式等价于，则解集； 若，，，则解集． 综上，当时，集合； 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合； 当时，集合． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 是上的增函数. 证明：任取，且， ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解. （2）根据单调性定义即可证明. （3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，,定义域关于原点对称， 令，所以，故， 则，， 所以为定义在上的奇函数，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，不等式即， 故， 则令，由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】（1） 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， 是倒函数， 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数； （2） 因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故， 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故. 必要性：当时， 有 ， 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件． 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案； （2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期高一年期中考试 数学试卷 命题老师：高二数学组 审核：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 5. 已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数 的定义域为，在区间上单调递增，，且 为偶函数. 若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 已知，则的最小值为3 D. 若正数满足，则的最小值是4 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________． ①函数的最大值为； ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点 ④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的最小值； （2）已知，，且满足求的最小值． 16. 设全集为实数集，集合，. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求集合； （2）若，求集合． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $