精品解析：江苏徐州市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次调研测试数学试题

徐州一中2026—2027学年度第一次调研测试 数学试题 说明： 1．请在答题卡/纸的相应位置内填写学校､班级､姓名､考号等． 2．请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分． 3．如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题得，． 2. 已知复数满足：，则（ ） A. -1 B. -i C. 1 D. i 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则求解复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 3. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 【答案】A 【解析】 【详解】由得； 由，得， 联立两式作差得，解得公差，代回，得首项， 故 . 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得. 【详解】由两边取平方，得， 即，解得. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数、三角函数、指数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， ， ， 所以. 6. 已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互斥，则 D. 若互斥，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于AB；当时，，因此； 同时，因此 因此A错误，B正确； 对于CD，因为为互斥事件，因此交事件是不可能事件，； 根据互斥事件的加法公式， 因此C、D均错误. 7. 某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面展开图的弧长和圆心角求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过轴截面等腰三角形的内切圆半径得到内切球半径，最终计算球的最大表面积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 侧面展开图弧长等于底面周长，即：，解得； 展开图圆心角为，由扇形弧长公式（为圆心角弧度值）， 代入得，解得； 由勾股定理得圆锥高. 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（三边长为的等腰三角形） 的内切圆半径 轴截面面积， 轴截面半周长， 由三角形内切圆公式，得， ，代入得： . 8. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】借助图像的旋转与已知条件求出三角形面积. 【详解】已知在直角中，，所以为等腰直角三角形， 因为，所以，将绕点 顺时针旋转 ，使与 重合，得到，连接， 由旋转性质知：，是等腰直角三角形， 因为在中，，所以是等腰直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理：， 所以的面积为. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两个线性相关变量，的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 1 2 4 5 8 11 15 25 45 A. 当时，的估计值为 B. C. 这组数据的样本中心为 D. 样本相关系数 【答案】AC 【解析】 【分析】结合经验回归方程过样本中心点的性质、估计值计算、相关系数与回归斜率的对应关系逐一判断选项即可. 【详解】对于A，将代入经验回归方程，得，即的估计值为，故A正确； 对于B，先计算的平均值，经验回归直线必过样本中心点，代入回归方程得， 再由，解得，故B错误； 对于C，由上述计算可知，，即这组数据的样本中心为，故C正确； 对于D，经验回归方程的斜率为，说明变量和正相关，因此样本相关系数，故D错误. 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 11. 已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C. 曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D. 曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，运用点关于轴的对称点是满足方程，则曲线的图象关于轴对称；对于B，通过放缩法得曲线C：，进而由曲线C包含圆可判断B；对于C，根据已知条件可得即可；对于D，计算边界点来界定整点个数. 【详解】对于A，设为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是， 将代入曲线C的方程得， 化简得与原方程相同， 故也在曲线C上，则轴是曲线C的一条对称轴，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以曲线C包含圆， 所以曲线C构成的封闭图形面积大于的面积，故B错误. 对于C，由，可得. 当，时，等号成立，∴， 即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故C正确； 对于D，令，解得或，即曲线C经过（0，0），（0，1），，此时曲线C的内部无整点， 由选项的结论可知曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，∴， 令，得，而，此时曲线的内部有3个整点； 令，得，无解， 令，得，即曲线C经过（2，0），不含边界无整点， 令，得，无解， 因此曲线C的内部有3个整点，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得与的关系式，再代入离心率公式. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，得，即， 则双曲线的离心率. 13. 在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】由 ，，，以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系：，，，因为 ，所以 ， 因为，所以点 在以 为直径的圆上（除去 ）， 因为 中点为圆心 ，半径 ，所以圆的方程：， 在凸四边形中，设 ， ，，， 由圆方程 ，得 ，即 ， 又凸四边形， 在 轴左侧（），故 . 14. 设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质与的单调性求出，代入条件得到的递推式；构造辅助函数推出 ，判定为等差数列，最后用等差数列求和公式算出结果. 【详解】都是上奇函数，故， 因为，令，得， 所以， 因为 为单调函数，因此得， 因为，所以， 构造，则，得， 所以，得，则， 故是周期为的函数，即，得， 因为，令，得，得， 令，得，得， 由，取，得， 数列是首项，公差的等差数列， 所以， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列如下： 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由条件概率及古典概型公式求解即可； （2）根据题意，可能的取值为1，2，3．记“最后1位密码为偶数”，由条件概率公式求出对应的概率，即可得分布列，再由期望公式求解即可. 【小问1详解】 设“第次成功取款”， 则事件“不超过2次就成功取款”可表示为． 则． 【小问2详解】 根据题意，可能的取值为1，2，3． 记“最后1位密码为偶数”， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望． 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知等式中的转化为含角的三角函数形式，再结合正弦定理化简，得到的值，进而求出角； （2）由正弦定理将边用角表示，代入面积公式后化简为关于的三角函数，利用的范围确定最大值． 【小问1详解】 由已知得，又， 所以，又， 所以． 因为，所以，所以． 又，所以． 【小问2详解】 由及得：． 所以，， 即 ， 因为，所以， 在中，当时，取得最大值1． 所以面积的最大值是． 17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为，，所以，． 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面． 在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，，则． 又．则，所以． 又平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，验证与该法向量垂直，且不在平面内，从而证明线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量夹角与二面角大小相等或互补的关系，计算其余弦值，再转化为正弦值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）可知，，． 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，则． 由（1）可知，平面的一个法向量是． 所以，． 所以，二面角的正弦值是． 18. 已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线性质得，结合Q在直线PE上，分Q在线段延长线和线段上两种情况，推导为定值，对照双曲线定义确定曲线类型，再计算参数得轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线方程，与曲线Γ的方程联立，得韦达定理关系；根据直线，的斜率之和为0，列出方程求得直线中参数，确定定点，证明结论；（ⅱ）设直线的方程，与曲线Γ联立，利用韦达定理可求出A点坐标，同理求B点坐标；结合直线斜率为2的条件，得到坐标满足的方程，即可得直线的方程，从而证明结论. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 线段的垂直平分线与直线交于点，故， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线，设其方程为， 则，则， 故点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）设直线， 联立，得， 则，， ， 所以 ，解得， 故直线l的方程为，即直线过定点； （ii）设，则直线的方程为，其中， 联立，可得， 则，将以及代入可得： ， 则，所以，则， 同理， 设直线，代入点A的坐标得， 整理得，同理可得， 所以可知直线的方程为，即， 令，解得， 即直线过定点. 19. 已知． （1）证明：； （2）设，，已知，且对，． （i）若，求数列的前项和； （ii）若存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，求的所有取值． 【答案】（1）证明见详解 （2）（i）；（ii）， 【解析】 【分析】（1）切化弦，结合两角和差公式分析证明即可； （2）根据整理可得数列满足递推公式1或2.（i）分析可知数列是以首项，公差为的等差数列，结合等差数列求和公式运算求解；（ii）分 和，两种情况讨论，结合递推公式1或2分析判断即可. 【小问1详解】 因为，即， 整理可得 ， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：，， 因为，即，则， 可得或，， 若，，则，， 因为，则，可得， 此时对，，符合题意； 若，，则， 可得，， 且，则； 设递推公式1：； 递推公式2：，，，，； 综上所述：数列满足递推公式1或2. （i）若，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 因为，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，可得， 可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以； （ii）， 因为满足条件的数列有且只有1个， 若，，则有： ①若，，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得，， 因为，，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得，， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，即， 则数列是以首项，公差为的等差数列，此时数列有且只有1个，符合题意； ②若，，根据递推公式1或2均可得，，不符合题意； ③若且，，根据递推公式1或2可得或，， 此时，所以， 即或，均满足数列， 此时数列不唯一，不合题意； 综上所述：，； 若，，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， ①若，，则，， 可知不满足递推公式2，根据递推公式1可得，， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，即， 则数列是以首项，公差为的等差数列，此时数列有且只有1个，符合题意； ②若，，则，且，， 根据递推公式1或2可得或，， 若，则，显然不成立， 故，此时数列不唯一，不合题意； 综上所述：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2026—2027学年度第一次调研测试 数学试题 说明： 1．请在答题卡/纸的相应位置内填写学校､班级､姓名､考号等． 2．请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分． 3．如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. -1 B. -i C. 1 D. i 3. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若互斥，则 D. 若互斥，则 7. 某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两个线性相关变量，的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 1 2 4 5 8 11 15 25 45 A. 当时，的估计值为 B. C. 这组数据的样本中心为 D. 样本相关系数 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 11. 已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C. 曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D. 曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______． 13. 在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 14. 设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 19. 已知． （1）证明：； （2）设，，已知，且对，． （i）若，求数列的前项和； （ii）若存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，求的所有取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $