江苏省常州高级中学2026-2027学年第一学期高三年级期初调研考试数学试卷

**基本信息** 高三期初调研数学卷，以函数、几何、概率等核心知识为载体，通过《数书九章》测雨题等数学文化情境及正方体动态截面探究，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配开学初学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/40|函数周期、向量数量积、古典概型|第5题结合圆台体积解决降雨量问题，体现数学应用| |多选|3/18|复数性质、三角函数最值、立体几何|第11题动态截面探究，考查空间观念与创新意识| |填空|3/15|三角恒等变换、指数不等式、函数最值|第13题过滤杂质问题，培养数据观念与运算能力| |解答|5/77|解三角形、立体几何二面角、函数单调性与新定义|第17题中心对称充要条件应用，考查逻辑推理；第19题“好数表”新定义，发展创新思维|

江苏省常州高级中学 20262027学年第一学期高三年级期初调研考试 数学试卷 命题人：杨元伟审核人：张子睿2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1.函数f(x)=sin;+cos的最小正周期和最大值分别是 A.6π和√2 B.6π和2 C.3π和V2 D3π和2 2.设函数f(x)=2-xx-四在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是 A.(-00,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+0) 3已知点a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心，则a的最 小值为 At B. c D智 4.已知向量a,b满足a=1,b=2,且对任意eRb+%a≥b-a,则a·b= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5:我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可 以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40c m,盆底直径为20cm,盆深20cm,某次下雨盆中积水10cm,则这次降 雨量（注：气象学中降雨量是指雨水在未经蒸发、渗透、流失的情形下水 平面上积聚的深度)最接近 A.5.8cm B.4.0cm C.3.8cm D.3.4cm 6.已知函数f()=是奇函数，若1)>2)，则实数a的值为 A.1 B.-1 C.±1 D.0 7,已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取 值范围是 A(传 B.(] C D.胫 8.从集合U={1,2,3,4)的非空子集中随机取出两个不同的集合A,B, 则在AUB=U的条件下，A∩B恰有1个元素的概率为 A号 B.3o c号 D 高三数学试卷第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9关于复数2=一+亭为虚数单位)，下列说法正确的有 A.z=1 B.z2=2 C.(z+1)3=1 D.1+z+z2=0 10.已知f)=cos(ox-)@0),f(月=f③，且x)在区间()内有最大值，无最小值， 则o可能的取值有 A号 B号 c. D 11如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD:上的动点（不含端点），过 A,B1,E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是 D. A.正方体被平面α所截得的截面形状为梯形 B.存在一点E,使得点A:和点C到平面u的距离相等 C.正方体被平面a所截得的截面的面积随着线段DE的长度的增大 而增大 D当正方体被平面a所载得的上部分的几何体的体积为时，E是DD:的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知taa=品则cos2aF▲ 13.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，这种溶液最初的杂质 含量为3%，现进行过滤，己知每过滤一次杂质含量减少行则为了达到市场要求，过滤的 次数至少为▲.（参考数据：1g20.301,lg3≈0.477） 14.若函数f()=xe*-me2x的最小值为号，则实数m的值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(atb-c)=3ab,且△ABC的面积为 3 4 (1)求C: (2)求△ABC周长的最小值， 高三数学试卷第2页，共4页 16.(本题满分15分) 如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中 点 (1)证明：BC1DA; (2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值. C 17.(本题满分15分) 己知函数y=p(x)(xER)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是对任 意xER有0(e+Hp(a2b.设f)=x-的图像关于点1，。)中心对称 (1)求c的值； (2)判断fx)在区间(0，o)上的单调性并证明； (3)已知函数gx)的图像关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，gx)=x2-mx+m.若 对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x)=f(x2),求实数m的取值范围。 高三数学试卷第3页，共4页 18.(本题满分17分) 己知函数f(=5+cox(0,2m,令h()=xf()-simx-d-5,其中0<t长1. (1)求不等式f)>2f2x)的解集； (2)求函数)的单调区间： (3)求函数hx)在(0，)上的极值点个数. 19.(本题满分17分) aua1z…an 对整数n≥2，设A=(a,j)xm 是一个由n2个不同的正整数组成的 aaa…ann n行n列的数表.若存在1≤p≤n,1≤g≤n使得apg既是第P行中的最大值，也是第q列中的 最小值，则称数表A是一个n阶“好数表”，(ap.g为数表A的特征数) 12 3 (1)数表M= 4812 是否为好数表？如果是，指出其特征数；如果不是，请说明理 163248 由： (2)求证：若数表A是n阶“好数表”，则A的特征数是唯一的； (3)若n=3,且数表A是一个“好数表，对任意的1≤isn,1≤sj,有aE{1,2,3,9},记A的特 征数为X,求X的数学期望. 高三数学试卷第4页，共4页 江苏省常州高级中学 2026~2027学年第一学期高三年级期初调研考试 数学试卷 命题人：杨元伟 审核人：张子睿 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数 的最小正周期和最大值分别是 A. 6和 B. 6和2 C. 3和 D 3和2 2.设函数 在区间(0，1)上单调递减，则 a的取值范围是 A. (-∞,-2] B. [-2,0) C. (0,2] D. [2,+∞) 3.已知点(a,0)(a>0)是函数 的图象的一个对称中心，则a的最小值为 A. B. C. D. 4.已知向量, 满足||=1, ||=2,且对任意λ∈R, |+λ| ≥ |-|,则·= A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 5：我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量(注：气象学中降雨量是指雨水在未经蒸发、渗透、流失的情形下水平面上积聚的深度)最接近 A. 5.8cm B. 4.0cm C. 3.8cm D. 3.4cm ·6.已知函数 是奇函数，若f(1)>f(2)，则实数a的值为 A. 1 B. - 1 C. ±1 D. 0 7.已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，.则α的取值范围是 A. B. C D. 8.从集合U={1，2，3，4}的非空子集中随机取出两个不同的集合A，B，则在A∪B=U的条件下，A∩B恰有1个元素的概率为 A. B. C. D. 高三数学试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.关于复数 (i为虚数单位)，下列说法正确的有 A.|z|=1 B. C. D. 10.已知 且f(x)在区间 内有最大值，无最小值，则ω可能的取值有 A. B. C. D. 11 如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是 A.正方体被平面α所截得的截面形状为梯形 B.存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等 C.正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大 D.当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为 时，E是DD₁的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 则cos2α= ▲ . 13.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，则为了达到市场要求，过滤的次数至少为 ▲ .(参考数据: lg2≈0.301, lg3≈0.477) 14.若函数 的最小值为 ，则实数m的值为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分) 己知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, (a+b+c)(a+b-c)=3ab,且△ABC的面积为 (1)求C: (2)求△ABC周长的最小值. 高三数学试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 16. (本题满分15分) 如图,三棱锥A-BCD中, DA=DB=DC, BD⊥CD, ∠ADB=∠ADC=60°, E为BC的中点. (1)证明: BC⊥DA; (2)点F 满足 求二面角D-AB-F的正弦值. 17. (本题满分15分) 已知函数y=φ(x)(x∈R)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是对任意x∈ R,有φ(a+x)+φ(a-x)=2b.设 的图像关于点(-1，c)中心对称. (1)求c的值; (2)判断f(x)在区间(0，+∞)上的单调性并证明； (3)已知函数g(x)的图像关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时, 若对任意 总存在 使得 求实数m的取值范围. 高三数学试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18. (本题满分17分) 已知函数 x∈(0,2π), 令 其中0<t<1. (1) 求不等式f(x)>2f(2x)的解集; (2)求函数f(x)的单调区间； (3) 求函数h(x)在(0,π)上的极值点个数. 19. (本题满分17分) 对整数n≥2，设A== 是一个由n2个不同的正整数组成的 n行n列的数表.若存在1≤ p ≤ n，1≤ q≤ n使得 ap,q既是第P行中的最大值，也是第q列中的最小值，则称数表A是一个n阶“好数表”，( 为数表A的特征数） (1) 数表是否为“好数表”?如果是，指出其特征数；如果不是，请说明理由： (2)求证：若数表A是n阶“好数表”，则A的特征数是唯一的； (3) 若n=3, 且数表A是一个“好数表”,对任意的1≤i≤n, 1≤j≤n,有ai,j∈{1,2,3,…,9},记A的特征数为X，求X 的数学期望. 高三数学试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $