精品解析：江苏徐州市第一中学2025-2026学年高三第一学期高三年级12月检测数学试题

徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级12月检测 数学 说明： 1. 请在答题卡/纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等. 2. 请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分. 3. 如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”是“”的充要条件 D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 4. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（　　） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的对称中心为， C. 在上的单减区间为 D. 在上的极值点个数为1 10. 已知函数为实数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，则与有相同的极值点和极值 B. 存在，使与的零点同时为2个 C. 当时，对恒成立 D. 若函数在上单调递减，则的取值范围为 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线AE与PB所成的角为 B. 平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为 C. △ABE周长的最小值为4+ D. 如果在这个容器中放入4个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 13. 设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为__________. 14. 已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则的最小值为______.（其中为自然对数的底数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为，且满足. （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，当点C运动时，探究是否为定值？ 16. 如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． （1）若，求的概率； （2）若，比较与的大小，说明理由； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级12月检测 数学 说明： 1. 请在答题卡/纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等. 2. 请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分. 3. 如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 3. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”是“”的充要条件 D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】解析　对于A，若，，则，反之，若，，则或， 则“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，若，，，则，反之，若，，，则平行或异面， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若，则，反之，若，则， 则“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，若，则或， 反之，若，则相交、平行或异面， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 4. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量、向量的数量积运算律及向量的模求解即可. 【详解】由在方向上的投影向量为，得， 又为单位向量，所以. 所以. 5. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为随机变量，且，则，可得， ， 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 6. 设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，通过根与系数的关系及抛物线的焦半径公式，建立方程，即可求解， 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，准线方程为， 则有，设直线方程为， 联立，可得， 则，得，故， 设，， 到准线距离为，到准线距离为， 又，有，即，得， ，又，解得， ，又，解得. 故选：A 7. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为，则，根据基本不等式可得、，结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为， 则，， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 故选：A 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, , 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的对称中心为， C. 在上的单减区间为 D. 在上的极值点个数为1 【答案】AD 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，借助正弦型函数的值域、对称性、单调性与极值点逐项计算并判断即可得. 【详解】， 对A：由，则，故A正确； 对B：令，，解得，， 故的对称中心为，，故B错误； 对C：令，，解得，， 则在上的单减区间为，故C错误； 对D：令，，即，， 则在上的极值点有一个，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数为实数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，则与有相同的极值点和极值 B. 存在，使与的零点同时为2个 C. 当时，对恒成立 D. 若函数在上单调递减，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断；对于B，分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断；对于C，构造函数，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可；对于D，原问题等价于对恒成立，从而即可进一步求解. 【详解】对于A，当时， ， 当时，有，此时均单调递减， 当时，有，此时均单调递增， 所以当时，均各自取到相应的极值，且， 所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确； ， 令， ，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，当，， 当时，有极大值，， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 所以方程有两个根当且仅当， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷， 当时，，单调递增， 令，则，，当时，， 当时，有极小值，， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 方程有两个根当且仅当， 综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误； 设， ， ， 当时，显然， 若，即，在此情况下： 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， 即在的情况下，对恒成立， 若，即，在此情况下： 当时，，单调递减， 所以， 所以在的情况下，对恒成立， 综上所述，当时，对恒成立，故C正确； 对于D，若函数在上单调递减， 这意味着对恒成立， 也就是说对恒成立，即对恒成立， 注意到在上单调递减， 所以，也就是说的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线AE与PB所成的角为 B. 平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为 C. △ABE周长的最小值为4+ D. 如果在这个容器中放入4个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理判断异面直线的夹角；构造二面角的平面角，借助余弦定理求出二面角的余弦值；将空间两个面展开，利用两点之间线段最短求的最小值；分析四个等大的小球球心构成小正四面体，结合正四面体的高建立等量关系求解小球半径的最大值. 【详解】对于，连接、，正四面体棱长为，是的中点， 等腰中，等腰中； 又，、平面，因此平面. 对任意，平面，故，即直线与所成角为​，正确. 对于，取中点，连接、，由正三角形性质，，， 因此是平面与平面的二面角的平面角. 计算得​，， 由余弦定理： ，正确. 对于，的周长为，只需最小化. 由知平面，故，， 设，长为​，则， 由余弦定理得，. 将侧面与侧面展开到同一平面后计算，最小值为​， 因此周长最小值为，错误. 对于，4个等半径小球两两相切，每个小球与正四面体的三个面相切， 四个小球的球心可构成一个棱长为的小正四面体，且该小正四面体与原正四面体同中心. 原正四面体的高为，内切球半径. 小正四面体的内切球半径为原内切球半径减去小球半径，即， 同时棱长为的小正四面体内切球半径为， 因此 ，解得，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 13. 设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依据题意求出点坐标，利用所给条件构造齐次方程求解离心率即可. 【详解】 由题意得，，，则， 直线的斜率为，即，联立方程组，， 可得，而， 故，代入直线中得，故, 可得，由题意得， 可得，化简得， 即，化简得， 同除得，且，解得. 故答案为： 14. 已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则的最小值为______.（其中为自然对数的底数） 【答案】 【解析】 【分析】由导数判断函数单调性，求函数的最值解决恒成立问题，再根据函数单调性求函数的最小值. 【详解】不等式恒成立，等价于， 令， 所以在是增函数， 且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即. 令，则， 当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 所以，所以，即，故. 所以，， 因为，所以时，是增函数，时，是减函数， 即时取得最小值，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 综上可知的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数同构和分离参数法求出；二是利用导数求解三角函数的最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为，且满足. （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，当点C运动时，探究是否为定值？ 【答案】（1）证明　因为， 由正弦定理可得， 再由余弦定理得， 整理得. （2）是定值 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为互补， 所以， 结合余弦定理可得 ， 因为， 则， 整理得， 又， 则 ， 从而， 故为定值. 16. 如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，即可证明，，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，则， 所以， 平面的法向量为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）； （3）存在，，理由如下： 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 略 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2） （ⅰ）0； （ⅱ）证法一：∵，中点坐标为， ∴垂直平分线方程为， 由得，垂直平分线方程为①． 同理得，垂直平分线方程为②． 由可得，即， ①+②得：， ∴， 由②-①得：， ∵直线过点，∴，即， ∴，故， ∴， ∵，∴，故． 证法二：设圆， ∵在圆上，∴ ∵直线与圆交于， ∴联立得（*），其中是方程（*）的两根． 由（ⅰ）可知是方程的两根， 此两方程为同解方程，则有， 解得， ∴圆心， ∴， ∵，∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到的值，利用离心率可得椭圆标准方程. （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，借助韦达定理可得的值. （ⅱ）根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点的坐标，计算直线的斜率，利用斜率之积为可证明结论. 【小问1详解】 当l的斜率为时，直线，与轴交点为，故， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，直线斜率存在且不为，设直线， 联立方程消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴． （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问（ⅱ）的关键是掌握三角形外心的特征，根据三角形两边垂直平分线的交点计算外心坐标，表示直线的斜率即可证明结论. 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． （1）若，求的概率； （2）若，比较与的大小，说明理由； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】（1） （2） 的情形有：， 因此，， 的情形有：， 因此，， 所以； （3），其中，， 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算； （3）结合二项式系数和计算求出概率. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 事件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量， ，其中， 令，得到， 令，得到， 因此，， 令，得到， 又因为， 所以， 因此，， 所以，． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对二项式展开式的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $