27.2 反比例函数的图象和性质题型专练2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 题型专练 【题型1】反比例函数与特殊多边形的综合 【典例】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上．则反比例函数的解析式是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝－ 【举一反三1】如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B．双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D．连接EF，若OD：OB＝2：3．则△BEF的面积为（  ） A． B．2 C． D．3 【举一反三2】如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为 __________ ． 【举一反三3】如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点C，且点B坐标为，，则k的值为__________． 【举一反三4】如图，四边形是平行四边形，，，，点轴上，反比例函数的图象经过点． (1) 求反比例函数的表达式； (2) 为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【题型2】反比例函数的图象 【典例】下列图象中是反比例函数y＝－图象的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象只可能是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间y（小时）表示为汽车的平均速度x（千米/时）的函数，则这个函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是__________. 【举一反三4】如图，将反比例函数的图象绕点顺时针旋转，旋转后的图象与轴交于点，则 __________ ． 【举一反三5】用描点法画出反比例函数的图象． 【题型3】反比例函数图象经过的象限 【典例】若点A(－1,2)，B(2，－3)在直线y＝kx＋b上，则反比例函数y＝的图象在(　　) A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【举一反三1】在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【举一反三2】函数的图象是__________，分别位于第__________象限． 【举一反三3】若反比例函数的图象在第一、三象限，写出一个满足条件的的值为__________． 【举一反三4】画出y＝－的图象． 【举一反三5】已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【题型4】反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，直线 垂直平分线段，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（ ）． 观点1：当时，线段的长为1； 观点2：若四边形 是正方形，则 的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 【举一反三2】已知反比例函数的图象经过点，则m的值为 __________ ． 【举一反三3】若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是 __________ ． 【举一反三4】已知反比例函数y=的图象经过点. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点P是否在这个函数的图象上，说明理由. 【举一反三5】如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． （1）求段滑梯所在双曲线的解析式； （2）若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【题型5】反比例函数与一次函数的图象 【典例】在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接 ，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线 一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得 的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得 为等腰直角三角形； ④若直线 与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（ ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【举一反三3】若反比例函数的图象经过点（2，），则一次函数 的图象不经过第__________象限． 【举一反三4】如果函数y=kx﹣2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数的图象一定在__________． 【举一反三5】如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 【举一反三6】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1) 求反比例函数与一次函数的表达式： (2) 过点A作轴于点C，求的面积． 【题型6】反比例函数与二次函数的图象 【典例】反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】函数y＝与y＝kx2－k在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第__________象限． 【举一反三3】如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为__________． 【题型7】函数图象的综合应用 【典例】已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数y＝(x>0)的图象上，则点C的坐标为__________ . 【举一反三3】某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： (1) 在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； (2) 与的关系式为__________ (3) 重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ① 这些重物的质量为__________； ② 若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为__________． 【举一反三4】探索研究：通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验.下面我们借鉴以往研究函数的经验，探索的图象和性质. (1) 在平面直角坐标系（如图）中，画出函数的图象； ①列表填空：（列表部分不需要写在答题卡上） x … 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象； (2) 结合所画函数图象，写出的两条性质： (3) 知识运用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则__________； (4) 不等式的解集是__________. 【题型8】反比例函数图象的增减性 【典例】若点A，B，C在反比例函数y=的图象上，则a，b，c的关系是 A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 【举一反三1】请写出一个在各自象限内，y的值随x值的增大而增大的反比例函数表达式__________． 【举一反三2】已知点、在反比例函数的图象上，且 ，那么 __________ （填“ ”或“ ”或“ ”） 【举一反三3】已知：反比例函数的图象经过． (1)求k的值； (2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ (3)画出函数的图象； 【举一反三4】如图，等腰△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数y=的图象经过点D. (1)求该反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰△ABC向下平移，当点A落在该反比例函数的图象上时，求向下平移的距离. 【题型9】求反比例函数的变量范围 【典例】若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】函数y＝是反比例函数，在第一象限内y随x的增大而减小，则m等于(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．±3 【举一反三2】已知反比例函数y=的图象经过点P，则化简的结果正确的是 A．2m2 B．2n2 C．n2-m2 D．m2-n2 【举一反三3】当__________时，函数的图象在第二、四象限内． 【举一反三4】已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 【举一反三5】已知抛物线的关系式为. (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，的取值范围是        ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是        ． 【题型10】反比例函数\(k\)值的确定 【典例】若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是(　　) A．k＞0 B．k＜0 C．k≠0 D．不存在 【举一反三1】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，5），点A在第二象限，反比例函数的图象经过点A，则k的值是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角顶点在轴上，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，，若的面积为，则的值为 __________ ． 【举一反三4】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在格线上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象被遮挡了一部分，已知点M，N在格点上，则k=__________ . 【举一反三5】已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【举一反三6】如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1) 求k的值； (2) 若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【题型11】验证点在反比例函数图象上 【典例】下列各点中，在双曲线上的点是（   ）． A． B． C． D． 【举一反三1】若点在反比例函数的图象上，则下列各点中不在这个函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】已知某反比例函数的图象经过点，则它一定也经过点（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【举一反三4】已知反比例函数的图象经过点. （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）点、在此函数的图象上吗？ 【举一反三5】已知在反比例函数 (m为常数， 且的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； 【题型12】反比例函数图象上点的(自变量值或)函数值的大小比较 【典例】已知点，，在双曲线上，若，且，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 【举一反三2】反比例函数的函数图象，当时，则的取值范围是__________． 【举一反三3】若点，，都在反比例函数的图象上，则，， 大小关系是__________． 【举一反三4】如图，已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－2，8). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由. 【题型13】反比例函数与其他函数的性质应用 【典例】①y=-x；②y=2x；③y=（x＞0）；④y=，y随x增大而减小的函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】下列函数中： ①；②；③；④， 当时，随的增大而增大的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【举一反三2】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】已知反比例函数y＝(b为常数且不为0 )的图象在二、四象限，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第__________象限． 【举一反三4】下列函数： ①，②，③，④，⑤中， 随的增大而减小的有__________．（填写序号） 【举一反三5】如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，1)，B(2，－3)两点，与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标. 【题型14】反比例函数的图象与性质的综合 【典例】下列关于反比例函数的描述不正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而增大 【举一反三1】如果反比例函数，当时，随的增大而增加，那么的值可能是__________．（写出一个即可） 【举一反三2】已知反比例函数y＝，其中k>－2，且k≠0，1≤x≤2. (1)若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　　　　　　　； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值. 【举一反三3】函数.    (1)在坐标系内画出这个函数的图象； (2)以下结论正确的是            ．（填序号） ①该函数图象关于y轴对称 ；      ②时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ③当时， ；        ④若直线与该函数图象只有两个交点，则． 【题型15】反比例函数系数\(k\)的几何意义 【典例】如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接 ，过点O作 的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，若矩形的面积为，则的值为 __________ . 【举一反三2】如图所示，P是反比例函数y＝的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N. (1)求k的值； (2)求证：矩形OMPN的面积为定值． 【举一反三3】已知，如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上，∠AOB＝30°，顶点B在x轴上，求此△OAB顶点A的坐标和△OAB面积． 【题型16】反比例函数中的平移、翻折、对称问题 【典例】把反比例函数：的图象绕点顺时针旋转后得到双曲线的图象若直线与在第一，三象限交于A，两点，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位后落在某反比例函数的图象上，此反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图所示,平行四边形的顶点,都在反比例函数的图象上,点的坐标为平行于轴,点的坐标为,将平行四边形向左平移2个单位长度、再向下平移3个单位长度后点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】将函数的图象沿轴向上平移6个单位长度后,与反比例函数的图象交于点，则的值为__________. 【举一反三4】在平面直角坐标系中，正方形如图摆放，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数图像上，将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该函数图像上，则的值是__________ ． 【举一反三5】如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． (1) 求这个反比例函数的表达式； (2) 画出反比例函数的图象； (3) 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【举一反三6】小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． (1) 求反比例函数的表达式． (2) 将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 【题型17】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点 【典例】已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（     ） A． B． C． D． 【举一反三1】已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 【举一反三2】若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【举一反三3】如图，在同一直角坐标系中，直线与反比函数的图象交于点A与点B，点A的横坐标为1． (1) 求反比例函数的表达式； (2) 求出B点坐标； 【举一反三4】如图，直线与双曲线交于两点，则的值为       ． 【题型18】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式 【典例】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A． 或 B． 或 C．或 D．或 【举一反三1】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点与点，则时x的取值范围为__________． 【举一反三2】如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． (1) 求和的值； (2) 当时，直接写出的取值范围． 【举一反三3】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． (1) 求一次函数和反比例函数的解析式； (2) 根据图象直接写出不等式 的解集为__________； (3) 点 为轴上一点，若的面积为 ，求出点 的坐标． 【题型19】反比例函数与一次函数的交点问题 【典例】已知正比例函数y＝mx(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象的一个交点坐标为(2，4)，则它们的另一个交点坐标是 （      ） A．(－2，4) B．(4，2) C．(2，－4) D．(－2，－4) 【举一反三1】已知反比例函数（k是常数且）的图象与一次函数的图象相交于点A，点A的横坐标为2，则k的值是__________． 【举一反三2】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. (1) 求和的值； (2) 直接写出的的取值范围. 【举一反三3】一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【题型20】利用反比例函数与一次函数解决实际问题 【典例】如图，一条直线与反比例函数的图象交于两点，分别与轴、轴交于两点．若，则的值是（  ） A．3 B． C．7 D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为__________． 【举一反三2】国家规定，如果驾驶人员血液中每毫升的酒精含量大于或等于毫克且小于毫克，则被认定为饮酒后驾车，如果每毫升的血液中酒精含量大于或等于毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤，一般成人饮用低度白酒后，血液中酒精含量（单位：毫克/百毫升）与时间（单位：时）的关系可近似的用如图所示的图象表示. (1) 求所在直线及部分双曲线的函数表达式（不用写的取值范围）； (2) 饮用低度白酒后，肝部被严重损伤会持续多少时间？ (3) 假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请判断并说明理由. 【题型21】反比例函数与新定义及规律探究问题 【典例】当m，n是实数且满足m－n＝mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y＝的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为(　　) A．1 B． C．2 D． 【举一反三1】存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是__________（写出一个即可）． 【举一反三2】如图，已知点均在直线y=x﹣2上，点均在双曲线y=﹣上，并且满足：轴，轴，轴，轴，…，轴，轴，…，记点的横坐标为（n为正整数）．若，则__________． 【举一反三3】对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属合函数”.例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“2属合函数”. (1) 一次函数为“1属合函数”，求的值. (2) 反比例函数（且），是“属合函数”，且，请求出的值. 【题型22】反比例函数与动点问题 【典例】如图所示,已知为反比例函数图象上的两点,动点在轴的正半轴上运动,当线段与线段之差达到最大时,点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一个动点，点A在x轴上，且PO=PA，AB是△PAO中OP边上的高．设OA=m，AB=n，则下列图象中，能表示n与m的函数关系的图象大致是（ ）. A． B． C． D． 【举一反三2】如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交y轴于点P.点Q是x轴上的动点，连结，取的中点C，连结.若四边形的面积为7，则k的值为__________. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是 __________ . 【举一反三4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、 (1) 求这两个函数的表达式 (2) 请结合图象直接写出不等式的解集 (3) 若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 【举一反三5】(四川宜宾中考)如图所示，在平面直角坐标系中,等腰直角三角形的直角顶点,顶点恰好落在反比例函数第一象限的图象上. (1) 分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式. (2) 在轴上是否存在一点，使周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. 【题型23】与反比例函数类似的函数的探究 【典例】函数y=的图象是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】表示关系式①，②，③，④的图象依次是__________，__________，__________，__________． A. B. C. D. 【举一反三3】利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分. （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点.猜想与的数量关系，并说明理由. （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1.如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2.在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3.以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4.分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5.连接，得到. 请根据以上作法，证明. （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明.） 人教版（2024）九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 题型专练（参考答案） 【题型1】反比例函数与特殊多边形的综合 【典例】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上．则反比例函数的解析式是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝－ 【答案】A 【解析】解：根据题意得正方形OABC的面积＝|k|＝4，而k＞0，所以k＝4，∴反比例函数的解析式是y＝，故选A. 【举一反三1】如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B．双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D．连接EF，若OD：OB＝2：3．则△BEF的面积为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】设D（2m，2n）， ∵OD：OB＝2：3， ∴A（3m，0），C（0，3n）， ∴B（3m，3n）， ∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B， ∴9＝3m•3n， ∴mn＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点D， ∴k＝4mn， ∴双曲线y＝（x＞0）， ∴E（3m，n），F（m，3n）， ∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m， ∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝， 故选：C． 【举一反三2】如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为 __________ ． 【答案】 【解析】设点的坐标为， ∵在反比例函数上， ∴． ∵是矩形边的中点， ∴，． ∵矩形面积， ∴代入，得． 【举一反三3】如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点C，且点B坐标为，，则k的值为__________． 【答案】 【解析】解：过点C作于点D，如图所示： 则， ∵点B坐标为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C的坐标代入反比例函数得：， 解得：． 【举一反三4】如图，四边形是平行四边形，，，，点轴上，反比例函数的图象经过点． (1) 求反比例函数的表达式； (2) 为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ． 又∵， ， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为． (2) 的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点． 又∵， ∴由中心对称可得． 【题型2】反比例函数的图象 【典例】下列图象中是反比例函数y＝－图象的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：反比例函数y＝－中k＝－2，所以反比例函数y＝－图象的是位于第二、四象限的双曲线，所以其图象是C.故选C. 【举一反三1】平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象只可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由k＝3＞0可知，反比例函数的图象在一三象限．故选A. 【举一反三2】甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间y（小时）表示为汽车的平均速度x（千米/时）的函数，则这个函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意可得：，∴， 即y与x是反比例函数关系，图象是双曲线， ∵x表示的是速度，∴， 因此，图象在第一象限， 故选：C． 【举一反三3】在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】∵在反比例函数图象上有两点，，，， ∴，解得， 故答案为：. 【举一反三4】如图，将反比例函数的图象绕点顺时针旋转，旋转后的图象与轴交于点，则 __________ ． 【答案】 【解析】如图，设旋转前原图象上的对应点为， 旋转角度为， ． ，且点旋转前位置， ． 过点轴于点， 在中，， ， 的坐标为， 将点代入，得． 【举一反三5】用描点法画出反比例函数的图象． 【答案】解：列表如下： 反比例函数的图象如下． 【解析】解： 【题型3】反比例函数图象经过的象限 【典例】若点A(－1,2)，B(2，－3)在直线y＝kx＋b上，则反比例函数y＝的图象在(　　) A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【解析】根据题意，将点A(－1,2)，B(2，－3)代入直线y＝kx＋b，得，解得，∴由反比例函数的性质可知，k＝－＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，故选C. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【解析】设反比例函数为：， 把代入解析式：＞ 所以反比例函数的图象在第一，三象限， 故选A． 【举一反三2】函数的图象是__________，分别位于第__________象限． 【答案】双曲线 一、三 【解析】函数的图象是双曲线，分别位于第一、三象限， 故答案为：双曲线，一、三． 【举一反三3】若反比例函数的图象在第一、三象限，写出一个满足条件的的值为__________． 【答案】0(答案不唯一） 【解析】反比例函数（1-m是常数，1-m≠0）的图象在第一，三象限， 则1-m＞0，m<1， 所以答案为：0（答案不唯一）． 【举一反三4】画出y＝－的图象． 【答案】解 列表，得 描点，连线，得 【举一反三5】已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】解：（1）把，代入得，， 解得； （2）由（1）知反比例函数的解析式为， 所以当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 【题型4】反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 又∵点也在反比例函数图象上， ∴， 故选：. 【举一反三1】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，直线 垂直平分线段，分别交两反比例函数的图象于点D，B，设点A的横坐标为n．下列关于观点1，2的判断正确的是（ ）． 观点1：当时，线段的长为1； 观点2：若四边形 是正方形，则 的长为． A．只有观点1正确 B．只有观点2正确 C．观点1、2都正确 D．观点1、2都不正确 【答案】A 【解析】由题意，当时， ∵点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C， ∴，， ∴，故观点正确； 由题意可得：，， ∵直线 垂直平分线段， ∴ 、 纵坐标， ∵点 在反比例函数的图象上，点 在反比例函数的图象上， ∴ 的横坐标为， 的横坐标为， ∴ 与互相垂直平分，， ∵， ∴若四边形 是正方形，则， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，故观点 错误． 【举一反三2】已知反比例函数的图象经过点，则m的值为 __________ ． 【答案】2 【解析】∵过点， ∴，解得：， 故答案是：2． 【举一反三3】若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】点，分别位于双曲线的两个分支， 两点横坐标异号． 又， ，， 解得． ，点，分别位于双曲线的两个分支， ∴． ∴反比例函数的图象经过一、三象限． ，即． 综上所述，． 【举一反三4】已知反比例函数y=的图象经过点. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点P是否在这个函数的图象上，说明理由. 【答案】解　(1)由条件可知5=， 解得k=-10， ∴y与x之间的函数表达式为y=-. (2)∵在反比例函数y=-中，k=-10<0， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大. (3)不在，理由如下： 将x=-代入y=-中， 可得y=100≠-1， ∴点P不在这个函数的图象上. 【举一反三5】如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． （1）求段滑梯所在双曲线的解析式； （2）若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】(1) 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． (2) 解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 【题型5】反比例函数与一次函数的图象 【典例】在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； B.由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C.由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； D.由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C. 【举一反三1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意； 、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 故选：． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接 ，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线 一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得 的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得 为等腰直角三角形； ④若直线 与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（ ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【答案】B 【解析】∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线 为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上， ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 【举一反三3】若反比例函数的图象经过点（2，），则一次函数 的图象不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】解：将（2，﹣）代入y＝得﹣＝，解得k＝-3， ∴一次函数解析式为y＝-3x+3，直线经过第一、二、四象限， 故答案为：三． 【举一反三4】如果函数y=kx﹣2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数的图象一定在__________． 【答案】第二、四象限 【解析】解：因为函数y=kx﹣2（k≠0）的图象不经过第一象限，所以k＜0； 根据反比例函数的性质，函数y=的图象一定在第二、四象限． 故答案为第二、四象限． 【举一反三5】如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 【答案】解：（1）把A（-4，2）代入得m=-4×2=-8， ∴反比例函数的解析式为； 把B（n，-4）代入得-4n=-8，解得n=2， ∴B点坐标为（2，-4）， 把A（-4，2）、B（2，-4）分别代入y=kx+b得 ， 解方程组得， ∴一次函数的解析式为y=-x-2； （2）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的值小于反比例函数的值. 【举一反三6】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1) 求反比例函数与一次函数的表达式： (2) 过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】(1) 解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． (2) 解：∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 【题型6】反比例函数与二次函数的图象 【典例】反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵反比例函数的图象位于第二四象限，∴， ∴二次函数图象开口向上，二次函数图象的对称轴为直线， 时，，所以，二次函数图象与y轴的负半轴相交，纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 【举一反三1】函数y＝与y＝kx2－k在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y＝kx，在二、四象限，而二次函数y＝kx2－k开口向下，与y轴交点在原点下方，D符合；②当k＞0时，反比例函数y＝kx，在一、三象限，而二次函数y＝kx2－k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D.故选D. 【举一反三2】若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第__________象限． 【答案】二 【解析】根据题意得，2﹣2k＞0，∴2k﹣2＜0. ∴反比例函数的图象位于第二、四象限. ∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为（0，2﹣2k）在y轴正半轴， ∴抛物线的图象不经过第四象限. ∴双曲线与抛物线的交点在第二象限. 【举一反三3】如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为__________． 【答案】(，0) 【解析】作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y=的图象相交于点B， 且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴，解得，∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2， ∴点A的坐标为（2,2），∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n， ∴，∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（）. 【题型7】函数图象的综合应用 【典例】已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴， A．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，故A错误； B．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴， ∴，，，一次函数图象应该过第一、二、三象限，故B错误； C．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴， ∴，，，一次函数图象应该过第一、二、四象限，故C错误； D．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴， ∴，，，一次函数图象应该过第一、二、四象限，故D正确． 故选：D． 【举一反三1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵抛物线的常数项为0，抛物线一定经过原点，故A错误. ∵反比例函数的图象在第一、三象限，，即同号 当，抛物线的对称轴在轴左侧，直线经过第二、三、四象限，故D错误. 当，抛物线的对称轴在轴右侧，直线经过第一、二、三象限，故B错误，C正确． 故选：C． 【举一反三2】如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数y＝(x>0)的图象上，则点C的坐标为__________ . 【答案】(3，6) 【解析】由题意得，B点的坐标为(1，6)，D点的坐标为(3，2)， 因为ABCD是矩形，故C点的坐标为(3，6). 【举一反三3】某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： (1) 在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； (2) 与的关系式为__________ (3) 重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ① 这些重物的质量为__________； ② 若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为__________． 【答案】(1) 解：补全的函数图象如图： (2) 解：根据图象可得与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； (3) ① 将时，， 即这些重物的质量为； ② 根据图象可得当，与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 设需要挪动的物体质量约为， 则， 解得：． 【举一反三4】探索研究：通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验.下面我们借鉴以往研究函数的经验，探索的图象和性质. (1) 在平面直角坐标系（如图）中，画出函数的图象； ①列表填空：（列表部分不需要写在答题卡上） x … 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象； (2) 结合所画函数图象，写出的两条性质： (3) 知识运用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则__________； (4) 不等式的解集是__________. 【答案】(1) ①当x的值分别为-3、-2、-1、、、1、2、3代入函数解析式，得到的函数值分别是、、1、2、2、1、、. 故答案是、、1、2、2、1、、. ②的图象如图所示： (2) 根据（1）所得函数图象可得：①当x<0时，y随x的增大而增大;②当x>0时，y随x的增大而减小. (3) ∵点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点， ∴A、B关于y轴对称， ∴a、b互为相反数， ∴a+b=0. 故答案是0. (4) 由图象可知，不等式的解集是 或. 故答案是 或. 【题型8】反比例函数图象的增减性 【典例】若点A，B，C在反比例函数y=的图象上，则a，b，c的关系是 A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 【答案】B 【解析】∵k=4>0， ∴反比例函数y=的图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵-2<0<3<4， ∴b>c>0，a<0， ∴b>c>a. 【举一反三1】请写出一个在各自象限内，y的值随x值的增大而增大的反比例函数表达式__________． 【答案】y＝－(答案不唯一) 【解析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．只要使反比例系数小于0即可．如y＝－，答案不唯一．故答案为y＝－(答案不唯一)． 【举一反三2】已知点、在反比例函数的图象上，且 ，那么 __________ （填“ ”或“ ”或“ ”） 【答案】 【解析】∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴. 【举一反三3】已知：反比例函数的图象经过． (1)求k的值； (2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ (3)画出函数的图象； 【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，-4），∴代入得：k=-4×2=-8； （2）∵反比例函数的解析式为， k=-8＜0， ∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大； 函数图象为： 【举一反三4】如图，等腰△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数y=的图象经过点D. (1)求该反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰△ABC向下平移，当点A落在该反比例函数的图象上时，求向下平移的距离. 【答案】解　(1)由条件可得1.6=， 解得k=8， ∴反比例函数的表达式为y=. (2)由反比例函数的表达式为y=， 得反比例函数过点，，， 描点、画图如图. (3)由图可得A， 设点A向下平移a个单位长度得A'， 则A'， 由A'在y=上， 则3-a=， 解得a=， 即向下平移个单位长度. 【题型9】求反比例函数的变量范围 【典例】若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴，解得． 故选：B． 【举一反三1】函数y＝是反比例函数，在第一象限内y随x的增大而减小，则m等于(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．±3 【答案】A 【解析】解：根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．根据题意，得m2-2=-1，2m-1>0，解得m＝1.故选A. 【举一反三2】已知反比例函数y=的图象经过点P，则化简的结果正确的是 A．2m2 B．2n2 C．n2-m2 D．m2-n2 【答案】D 【解析】∵反比例函数y=的图象经过点P， ∴n=， ∴=m， ∴==m2-n2. 【举一反三3】当__________时，函数的图象在第二、四象限内． 【答案】<2 【解析】解：∵函数的图象在第二、四象限内， ∴，解得：． 故答案为：． 【举一反三4】已知反比例函数的图象经过第二、四象限，求n的取值范围． 【答案】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，∴． 【举一反三5】已知抛物线的关系式为. (1)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象； (2)根据图象回答：当时，的取值范围是        ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是        ． 【答案】解：（1）表格完成如下： 画出函数图象如图所示： （2）由图象可得：当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）由图象可得：当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 【题型10】反比例函数\(k\)值的确定 【典例】若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是(　　) A．k＞0 B．k＜0 C．k≠0 D．不存在 【答案】B 【解析】解：∵双曲线y＝的图象经过第二、四象限，∴k＜0，故选B. 【举一反三1】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 【解析】设函数关系式为y＝，当函数图象经过A(1,2)时，k＝1×2＝2，当函数图象经过B(－2，－2)时，k＝(－2)×(－2)＝4，由图象可知要求的函数解析式的k的取值范围必是2＜k＜4，故选C. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，5），点A在第二象限，反比例函数的图象经过点A，则k的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E， ∵∠AOC＝90， ∴∠AOD＋∠COE＝90， ∵∠AOD＋∠OAD＝90， ∴∠OAD＝∠COE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴AD＝OE，OD＝CE， 设A（x，），则C（，−x）， ∵AC和OB互相垂直平分，点B的坐标为（2，5）， ∴它们的交点F的坐标为（1，）， ∴， 解得， ∴k＝−=， 故选：D. 【举一反三3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角顶点在轴上，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，，若的面积为，则的值为 __________ ． 【答案】 【解析】设点的坐标为， 的直角顶点在轴上， 轴，点坐标为 ， ， 点在边上，， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ， ， 点在边上，且在反比例函数图象上 点的横坐标为， 点的纵坐标为，即， ， ， ， ， 将代入上式得， ，. 【举一反三4】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在格线上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象被遮挡了一部分，已知点M，N在格点上，则k=__________ . 【答案】3 【解析】根据平面直角坐标系，设点M，则点N， 将点M，N代入反比例函数y=中， 得m=3， ∴m=3， ∴点M， ∴k=1×3=3. 【举一反三5】已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【答案】解：∵反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限， ∴，解得 ∴m的取值范围是． 【举一反三6】如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1) 求k的值； (2) 若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【答案】(1) 解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ． 由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心， ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ． ∵函数 的图象在第四象限， ， ． (2) 解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1． 将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 【题型11】验证点在反比例函数图象上 【典例】下列各点中，在双曲线上的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四个选项中,只有(−3)×(−4)=12， ∴D中点(−3,−4)在双曲线y=上． 故选D. 【举一反三1】若点在反比例函数的图象上，则下列各点中不在这个函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】（-3，-4）代入反比例函数得：k=12， ∴反比例函数为， ∵点（3，4）、（-6，-2）、（-4，-3）满足函数解析式， ∴在函数图象上， ∵点（2，-6）不满足函数解析式， ∴不在函数图象上； 故选： C． 【举一反三2】已知某反比例函数的图象经过点，则它一定也经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点，． 、，此点不在函数图象上，故本选项错误； 、，此点在函数图象上，故本选项正确； 、，此点不在函数图象上，故本选项错误； 、，此点不在函数图象上，故本选项错误． 故选：． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【解析】∵，都在反比例函数的图象上， ∴，解得：． 【举一反三4】已知反比例函数的图象经过点. （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）点、在此函数的图象上吗？ 【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴5=，解得k=-10， ∴反比例函数的解析式为：y=. （2）∵反比例函数的解析式为：y=， ∴当y=-4时，-4=， 解得：x=. （3）∵×20=-10，×1=≠-10， ∴点在此函数的图象上，点不在此函数的图象上. 【举一反三5】已知在反比例函数 (m为常数， 且的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； 【答案】解：（1）∵点在该反比例数的图象上， ∴，解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． 【题型12】反比例函数图象上点的(自变量值或)函数值的大小比较 【典例】已知点，，在双曲线上，若，且，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 【答案】A 【解析】∵反比例函数y＝－中，k＝－4＜0，∴函数图象在二、四象限，∴在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴0＜y1＜y2，∵x3＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2.故选A. 【举一反三2】反比例函数的函数图象，当时，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】解：∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， 当时，∴当时，；当时，， 综上，当时，则的取值范围是或， 故答案为：或． 【举一反三3】若点，，都在反比例函数的图象上，则，， 大小关系是__________． 【答案】 【解析】∵，， ∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点A在第三象限，在第一象限，∴， ∵，∴，∴； 故答案为： 【举一反三4】如图，已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－2，8). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由. 【答案】解　(1)y＝－. (2)y1<y2.理由：∵k＝－16<0，在每一象限内，函数值y随x的增大而增大， 而点(2，y1)，(4，y2)都在第四象限，且2<4， ∴y1<y2. 【题型13】反比例函数与其他函数的性质应用 【典例】①y=-x；②y=2x；③y=（x＞0）；④y=，y随x增大而减小的函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】根据函数的性质可知： ①y=-x，y随x的增大而减小，故符合； ②y=2x，y随x的增大而增大，故不符合； ③y=（x＞0），当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合； ④y=，当x＞0，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合； y随x的增大而减小的函数有：①③， 故选B. 【举一反三1】下列函数中： ①；②；③；④， 当时，随的增大而增大的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】①，y随x的增大而减小，不符合题意； ②，当时，y随x的增大而增大，符合题意； ③，当时，随的增大而增大，符合题意； ④，当时，随的增大而增大，不符合题意， 当时，随的增大先减小后增大，不符合题意， 综上所述符合题意的有：②③， 故选：B． 【举一反三2】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确； B：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； C：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； D：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A． 【举一反三3】已知反比例函数y＝(b为常数且不为0 )的图象在二、四象限，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第__________象限． 【答案】二 【解析】∵反比例函数y＝(b为常数且不为0)的图象在二、四象限，∴b＜0，∵一次函数y＝x＋b中k＝1＞0，b＜0，∴此函数的图象经过一、三、四限，∴此函数的图象不经过第二象限． 【举一反三4】下列函数： ①，②，③，④，⑤中， 随的增大而减小的有__________．（填写序号） 【答案】①③ 【解析】①，，随的增大而减小，故①符合题意； ②，，随的增大而增大，故②不符合题意； ③，，当函数位于第一象限， 随的增大而减小，故③符合题意； ④，，函数图象位于第一、三象限， 且在每一个象限内随的增大而减小，故④不符合题意； ⑤，，当函数位于第二象限， 随的增大而减大，故⑤不符合题意； 故答案为：①③． 【举一反三5】如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，1)，B(2，－3)两点，与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标. 【答案】解　(1)∵点B(2，－3)在反比例函数图象上， ∴k＝－6， ∴反比例函数解析式为y＝－， ∵点A(m，1)在反比例函数y＝－的图象上， ∴1＝－，解得m＝－6， ∴A(－6，1)，B(2，－3)， ∵A(－6，1)，B(2，－3)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数解析式为y＝－x－2. (2)由(1)可知C(0，－2)，设点D的坐标为，则E， ∴ED＝－＝－m＋2， ∴S△CDE＝×(－m)×＝ －m2－m＋3＝－(m＋2)2＋4， 当m＝－2时，S△CDE最大值为4， ∴E(－2，3). 【题型14】反比例函数的图象与性质的综合 【典例】下列关于反比例函数的描述不正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而增大 【答案】D 【解析】A.反比例函数的图象位置由的符号决定.当时，图象位于第二、第四象限，故A正确.不符合题意； B.将点代入函数：当时，，与点的纵坐标一致，故B正确.不符合题意； C.反比例函数中且，因此图象永远不会与坐标轴相交，故C正确.不符合题意； D.当时，在每一个象限内，随的增大而增大.但若未限定“每个象限内”，当跨象限变化时（如从负数到正数），会先减小后增大，故D的描述不完整，错误.符合题意； 故选：D. 【举一反三1】如果反比例函数，当时，随的增大而增加，那么的值可能是__________．（写出一个即可） 【答案】1 【解析】∵反比例函数，当时，随的增大而增加， 解得：， 故的值可能是1． 故答案为：1(答案不唯一)． 【举一反三2】已知反比例函数y＝，其中k>－2，且k≠0，1≤x≤2. (1)若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　　　　　　　； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值. 【答案】解　(1)∵y随x的增大而增大， ∴k<0， ∵k>－2，且k≠0， ∴－2<k<0. (2)当－2<k<0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大， ∴－k＝1， 解得k＝－2，不合题意，舍去； 当k>0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小， ∴k－＝1， 解得k＝2. 综上所述，若该函数的最大值与最小值的差是1，k的值为2. 【举一反三3】函数.    (1)在坐标系内画出这个函数的图象； (2)以下结论正确的是            ．（填序号） ①该函数图象关于y轴对称 ；      ②时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ③当时， ；        ④若直线与该函数图象只有两个交点，则． 【答案】解：（1）∵， ∴当时可知，函数为反比例函数经过第一象限， 当时可知，函数为反比例函数经过第二象限， 如下图所示：    （2）∵函数不是相同函数，值不同，故不对称，①不正确； ∵通过观察图象可知，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小， 故②正确； ∵当时，代入中得： ，③不正确； ∵直线与该函数图象只有两个交点， ∴，整理得：，即：，解得：， ∵通过观察图象可知交点在第一和第二象限，故， ，整理得：，即：，舍去， ∴，④正确， 故答案为：②④． 【题型15】反比例函数系数\(k\)的几何意义 【典例】如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接 ，过点O作 的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 【举一反三1】如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，若矩形的面积为，则的值为 __________ . 【答案】 【解析】如图，连接矩形的对角线， 则与交于点， 由矩形的性质可知，点也是的中点， 设点坐标为，设点坐标为， 点是的中点， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：. 【举一反三2】如图所示，P是反比例函数y＝的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N. (1)求k的值； (2)求证：矩形OMPN的面积为定值． 【答案】(1)解 ∵反比例函数y＝的图象上一点的坐标为(1,4)， ∴k＝4×1＝4； (2)证明 ∵k＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝， ∵P是反比例函数y＝的图象上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴矩形OMPN的面积＝|k|＝4， ∴矩形OMPN的面积为定值． 【举一反三3】已知，如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上，∠AOB＝30°，顶点B在x轴上，求此△OAB顶点A的坐标和△OAB面积． 【答案】解： 作AC⊥OB于C，∵∠AOB＝30°， ∴设OC＝x，则AC＝x，∴A（x,x）， ∵顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上， ∴x·x＝，∴x＝，∴A（,2）， ∴OC＝，AC＝2， ∵在Rt△ACB中，∠CAB＝30°，设BC=a，则AB=2a， ∵AC=2，由勾股定理得，a=，∴BC=， ∴OB＝OC+CB=+=， ∴S△AOB＝×OB×AC＝××2=. 【题型16】反比例函数中的平移、翻折、对称问题 【典例】把反比例函数：的图象绕点顺时针旋转后得到双曲线的图象若直线与在第一，三象限交于A，两点，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设，，， 则有，解得，， ，， 故选：． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位后落在某反比例函数的图象上，此反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：依题意，设反比例函数的表达式为， 则点向左平移3个单位后的坐标为， ∵点在， ∴ ∴反比例函数解析式为， 故选：D． 【举一反三2】如图所示,平行四边形的顶点,都在反比例函数的图象上,点的坐标为平行于轴,点的坐标为,将平行四边形向左平移2个单位长度、再向下平移3个单位长度后点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点在反比例函数的图象上,点的坐标为, 反比例函数的表达式为. 点的坐标为点的纵坐标为3, ,解得点的坐标为. 四边形是平行四边形,点的坐标为将平行四边形向左平移2个单位长度、再向下平移3个单位长度后点的坐标为,即. 【举一反三3】将函数的图象沿轴向上平移6个单位长度后,与反比例函数的图象交于点，则的值为__________. 【答案】18 【解析】将函数的图象沿轴向上平移6个单位长度后,得到新图象的表达式为$y = \mspace{6mu} - \frac{1}{2}x + 6$.把点的坐标代入,得,解得,所以.把点,3)的坐标代入，得，解得. 【举一反三4】在平面直角坐标系中，正方形如图摆放，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数图像上，将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该函数图像上，则的值是__________ ． 【答案】 【解析】如图，作轴于，轴于， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上，∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵点的横坐标为， 当时，， ∴点平移到点恰好落在该函数图像上， 即点向下平移个单位， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． (1) 求这个反比例函数的表达式； (2) 画出反比例函数的图象； (3) 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】(1) 解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； (2) 解：三个整数点，如图所示： (3) 解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 【举一反三6】小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． (1) 求反比例函数的表达式． (2) 将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 【答案】(1) 解：直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点，∴， ∴反比例函数解析式为； (2) 解：点不在反比例函数图象上，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， 同理，， ∵，，， ∴， ∵将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点， ∴，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点不在反比例函数图象上． 【题型17】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点 【典例】已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点，∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【举一反三1】已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=5， ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=-x2，y1=-y2，y1= kx1，y2= kx2， ∴原式=2kx1x2-kx1x2= kx1x2==-5． 故选：C． 【举一反三2】若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】解：∵直线与双曲线的图象均关于原点对称， ∴点Q的坐标与点P的坐标关于原点对称， ∵点P的坐标为(－3，4)， ∴点Q的坐标为(3，－4)． 【举一反三3】如图，在同一直角坐标系中，直线与反比函数的图象交于点A与点B，点A的横坐标为1． (1) 求反比例函数的表达式； (2) 求出B点坐标； 【答案】解： (1) 当时，． ∴点，将的坐标代入，得，则． 所以，反比例函数的表达式为． (2) 根据题意得：点A和点B关于原点对称， ∵， ∴． 【举一反三4】如图，直线与双曲线交于两点，则的值为       ． 【答案】-4 【解析】∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 【题型18】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式 【典例】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A． 或 B． 或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】解：由图可知，当，的取值范围为或． 故选B． 【举一反三1】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点与点，则时x的取值范围为__________． 【答案】或 【解析】∵直线与反比例函数的图象交于点与点，∴时x的取值范围为或． 故答案为：或． 【举一反三2】如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． (1) 求和的值； (2) 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) 一次函数过点， ∴ ，解得， ∴一次函数解析式为 ， 当时，， ∴点坐标为， ∴， 设点坐标为， ∵轴，在一次函数上， ∴点坐标为， ∴，其中，， 代入得： ， 整理得，解得或（舍去）， ∴点坐标为， 又∵在反比例函数上， ∴． (2) 联立函数解析式， 解得或， ∴两个交点为和，结合图像性质可得： 当或． 【举一反三3】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． (1) 求一次函数和反比例函数的解析式； (2) 根据图象直接写出不等式 的解集为__________； (3) 点 为轴上一点，若的面积为 ，求出点 的坐标． 【答案】(1) 解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数，得， 点的坐标为， 将点，代入 之中得， 解得， 一次函数的解析式为． (2) 解：如下图可知：或 (3) 解：设直线 与轴交于点 ，连接、 ，则点 设点 ∵ ∴ 解得：或 ∴点或． 【题型19】反比例函数与一次函数的交点问题 【典例】已知正比例函数y＝mx(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象的一个交点坐标为(2，4)，则它们的另一个交点坐标是 （      ） A．(－2，4) B．(4，2) C．(2，－4) D．(－2，－4) 【答案】D 【举一反三1】已知反比例函数（k是常数且）的图象与一次函数的图象相交于点A，点A的横坐标为2，则k的值是__________． 【解析】 【举一反三2】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. (1) 求和的值； (2) 直接写出的的取值范围. 【答案】(1) ∵已知，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得： ； (2) ∵，， ∴当时，或. 【举一反三3】一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【解析】解：（1）∵反比例函数的图象过点，∴， 【题型20】利用反比例函数与一次函数解决实际问题 【典例】如图，一条直线与反比例函数的图象交于两点，分别与轴、轴交于两点．若，则的值是（  ） A．3 B． C．7 D． 【答案】B 【解析】如图，过点于点，过点于点， ， ， ． ， ， ， ． 设，则， 在反比例函数的图象上， ， ， ． 又， ， 即， 解得， ． ， ， ， ，即， 解得． ， ， 解得． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为__________． 【答案】6 【解析】把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 【举一反三2】国家规定，如果驾驶人员血液中每毫升的酒精含量大于或等于毫克且小于毫克，则被认定为饮酒后驾车，如果每毫升的血液中酒精含量大于或等于毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤，一般成人饮用低度白酒后，血液中酒精含量（单位：毫克/百毫升）与时间（单位：时）的关系可近似的用如图所示的图象表示. (1) 求所在直线及部分双曲线的函数表达式（不用写的取值范围）； (2) 饮用低度白酒后，肝部被严重损伤会持续多少时间？ (3) 假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请判断并说明理由. 【答案】(1) 设所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴所在直线的解析式为， 设双曲线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴双曲线的函数表达式为； (2) 把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∵， ∴肝部被严重损伤会持续小时； (3) 不能驾车去上班，理由如下： 晚上到第二天早上经过了小时， 把代入，得， ∴不能驾车去上班. 【题型21】反比例函数与新定义及规律探究问题 【典例】当m，n是实数且满足m－n＝mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y＝的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为(　　) A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】解：设A（a,），∵点A是“奇异点”，∴a－b＝ab，∵a·＝2，则b＝，∴a－＝a×，即a－＝，而a≠0，整理得a2＋a－2＝0，解得a1＝－2，a2＝1，当a＝－2时，b＝2；当a＝1时，b＝，∴A(－2，－1)，B(1,2)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n，把A(－2，－1)，B(1,2)代入，得-2m+n=-1，m+n=2，解得m=1，n=1，∴直线AB与y轴的交点坐标为(0,1)，∴△OAB的面积＝×1×(2＋1)＝.故选B. 【举一反三1】存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是__________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数．例如， 设此函数的解析式为（k＞0）， ∵此函数经过点（1，1），∴k=1．∴此函数可以为：． 设此函数的解析式为（k＜0）， ∵此函数经过点（1，1），∴，k＜0．∴此函数可以为：． 设此函数的解析式为， ∵此函数经过点（1，1），∴． ∴此函数可以为：． 【举一反三2】如图，已知点均在直线y=x﹣2上，点均在双曲线y=﹣上，并且满足：轴，轴，轴，轴，…，轴，轴，…，记点的横坐标为（n为正整数）．若，则__________． 【答案】1 【解析】解：，则， ∵轴，在点在双曲线y＝上，∴， ∵轴，在直线y＝x﹣2上， ∴A2（4，2）， 同理， 观察，发现规律：，…， ∴，（n为正整数）， ∵2016＝672×3，∴． 故答案为1． 【举一反三3】对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属合函数”.例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“2属合函数”. (1) 一次函数为“1属合函数”，求的值. (2) 反比例函数（且），是“属合函数”，且，请求出的值. 【答案】(1) 当时，一次函数的y随着x的增大而减小， ∵， ∴， ∵一次函数为“1属合函数”， ∴， ∴； (2) ∵反比例函数， ∵， ∴在第一象限内，y随x的增大而减小， 当且是“k属合函数”， ∴， ∴， ∵， ∴. 【题型22】反比例函数与动点问题 【典例】如图所示,已知为反比例函数图象上的两点,动点在轴的正半轴上运动,当线段与线段之差达到最大时,点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为反比例函数图象上的两点,, . 连结并延长,交轴于点,如图所示, 当点运动到点时,达到最大值(此时$PA - PB = \mspace{6mu} AB$,点不在点的位置时，).设直线的函数表达式为,则解得 直线的函数表达式为. 当时,当线段与线段之差达到最大时,点的坐标是. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一个动点，点A在x轴上，且PO=PA，AB是△PAO中OP边上的高．设OA=m，AB=n，则下列图象中，能表示n与m的函数关系的图象大致是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点P作PC⊥OA于点C，根据等腰三角形三线合一的性质可得OC=，再根据反比例函数解析式求出PC==，然后利用勾股定理求出OP=，最后根据∠AOB的正弦列式整理得n=，n先随m的增大而增大，然后趋近于反比例函数，纵观各选项，只有A选项符合． 故选A． 【举一反三2】如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交y轴于点P.点Q是x轴上的动点，连结，取的中点C，连结.若四边形的面积为7，则k的值为__________. 【答案】-8 【解析】连接， 根据题意：的面积为， 则的面积为， ∵点C是的中点， ∴的面积为， ∵四边形的面积为7， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是 __________ . 【答案】 【解析】将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为. 【举一反三4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、 (1) 求这两个函数的表达式 (2) 请结合图象直接写出不等式的解集 (3) 若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 【答案】(1) 把A（1，4）代入y=，得：m=4，∴反比例函数的解析式为y=， 把B（4，n）代入y=， 得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； (2) 根据图象得：当或时，； ∴不等式的解集为或； (3) 如图，设直线与轴交于点， ∵直线与轴交于点， ∴点坐标为， 的面积为6， ∴ ， ∴点的坐标为或. 【举一反三5】(四川宜宾中考)如图所示，在平面直角坐标系中,等腰直角三角形的直角顶点,顶点恰好落在反比例函数第一象限的图象上. (1) 分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式. (2) 在轴上是否存在一点，使周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. 【答案】解: (1) 如图所示,过点作轴于点,过点作轴于点, 则. , , . 是等腰直角三角形,. , (AAS), , , 点的坐标是. 点恰好落在反比例函数第一象限的图象上,,解得. 点的坐标是,点的坐标是, , 反比例函数的表达式是. 设直线所对应的一次函数的表达式为$y = px + \mspace{6mu} q(p eq 0)$,把点和点的坐标分别代入,得解得直线所对应的一次函数的表达式为. (2) 存在. 如图所示， 作点关于轴的对称点,连结交轴于点,连结, 点与点关于轴对称,. 的最小值是的长度. , 即的长是定值,周长的最小值为$AP + \mspace{6mu} PB + AB = A^{{}^{\prime}}B + AB$. 设直线所对应的表达式是, 把点和点的坐标分别代入,得解得 直线所对应的表达式是. 当时,,解得, 即点的坐标是, 此时 $= \sqrt{(2 - 6)^{2} + ( - 3 - 1)^{2}} + \mspace{6mu} 2\sqrt{5} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$. 综上可知,在轴上存在一点,使周长的值最小,最小值是. 【题型23】与反比例函数类似的函数的探究 【典例】函数y=的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵函数y=中的y＞0，且关于y轴对称．∴选项C符合题意． 故选C． 【举一反三1】函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：列表： 描点，连线，画出函数图象如图， 故选：C． 【举一反三2】表示关系式①，②，③，④的图象依次是__________，__________，__________，__________． A. B. C. D. 【答案】C； B； D； A 【解析】解：①∵，所以，即，， 故的图象为C； ②∵，即，所以，的图象为B； ③∵，即，所以，即，的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【举一反三3】利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分. （1）如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点.猜想与的数量关系，并说明理由. （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1.如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2.在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3.以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4.分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5.连接，得到. 请根据以上作法，证明. （3）如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明.） 【答案】解：（1），理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，则； （2）证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，，即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； （3）如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点. 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点. 学科网（北京）股份有限公司 $