27.2 反比例函数的图象和性质 课时作业 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用递进，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学思维与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数图象、性质、k的几何意义|选择填空考概念（如k与象限关系），解答题练基本应用（如求k值）| |能力提升|k的几何意义综合、函数值比较|双反比例函数面积计算（19题），结合增减性求取值范围（21题）| |拓展探究|双双曲线综合、对称性应用|AB∥x轴的矩形面积（23题），直线与双曲线交点规律探究（24题）| |综合训练|与一次函数综合、多知识点应用|含解析式、面积、函数值比较的综合解答（25题），体现模型意识|

人教版数学九年级下册　　27.2 反比例函数的图象和性质 27.2 反比例函数的图象和性质 人教版 · 九年级下册 · 第二十七章 反比例函数 · 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．会用描点法画反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。 2．理解反比例函数的性质：图象所在象限、增减性、对称性与比例系数 k 的关系。 3．理解比例系数 k 的几何意义，能利用它解决面积问题。 4．能综合运用反比例函数与一次函数的图象和性质解决问题，体会数形结合思想。 二、知识梳理 知识点1　反比例函数的图象 反比例函数 （k≠0）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。画图象的步骤是：列表、描点、连线。 例如 的部分对应值如下表： x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 反比例函数的图象 【易错提醒】画图象时：（1）列表取值时，x 不能取 0，且应关于原点对称地取值；（2）连线时要用平滑的曲线顺次连接，不能画成折线；（3）双曲线的两支无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。 知识点2　反比例函数的性质 比例系数 图象所在象限 增减性 k>0 第一、三象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 k<0 第二、四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 【易错提醒】增减性必须强调“在每一个象限内”。例如对于 ，x=-1 时 y=-6，x=1 时 y=6，x 增大了，y 也增大了，所以不能笼统地说“y 随 x 的增大而减小”。 知识点3　反比例函数图象的对称性 双曲线 既是轴对称图形，又是中心对称图形。它的对称轴是直线 y=x 和直线 y=-x，对称中心是原点。 因此，若点 (a，b) 在双曲线上，则点 (-a，-b) 也在双曲线上；正比例函数 y=mx 与反比例函数 的图象若有交点，则两个交点关于原点对称。 知识点4　比例系数 k 的几何意义 过双曲线 上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 A，B，则矩形 PAOB 的面积为 |k|；连接 PO，则 △POA 的面积为 。 k 的几何意义 【易错提醒】由面积求 k 时，先得到 |k| 的值，再根据图象所在的象限确定 k 的符号。 知识点5　反比例函数与一次函数的综合 （1）求交点坐标：把两个函数的解析式联立成方程组，方程组的解就是交点的坐标； （2）比较函数值大小：看交点，在交点的哪一侧，哪个函数的图象在上方，哪个函数的值就大； （3）求三角形面积：常用“割补法”，把三角形分割成以坐标轴上线段为底的两个三角形。 三、典例精析 例1　已知反比例函数 。 （1）若它的图象位于第二、四象限，求 m 的取值范围； （2）若在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。 解　（1）图象位于第二、四象限，则 m-2<0，所以 m<2。 （2）在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，则 m-2>0，所以 m>2。 例2　已知点 A(-2，)，B(-1，)，C(3，) 都在反比例函数 的图象上，比较 ，， 的大小。 解法一（代入计算）　=2，=4，，所以 。 解法二（利用性质）　k=-4<0，图象在第二、四象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。 A，B 在第二象限，-2<-1，所以 0<；C 在第四象限，<0。所以 。 例3　如图，点 A 在反比例函数 的图象上，AM⊥x 轴于点 M，AN⊥y 轴于点 N，矩形 AMON 的面积为 4，求 k 的值。 解　由 k 的几何意义，得 |k|=4。又因为图象在第二象限，所以 k<0，k=-4。 例4　如图，一次函数 y=x+1 的图象与反比例函数 的图象交于 A(2，m)，B 两点，直线 AB 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D。 （1）求 m 和 k 的值；（2）求点 B 的坐标；（3）求 △AOB 的面积； （4）根据图象，写出一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围。 解　（1）把 A(2，m) 代入 y=x+1，得 m=3。把 A(2，3) 代入 ，得 k=6。 （2）由 ，得 ，即 ，解得 ，。所以 B(-3，-2)。 （3）直线 y=x+1 与 y 轴交于 C(0，1)，OC=1。 =×1×2+×1×3=。 （4）观察图象，直线在双曲线上方的部分对应的 x 的取值范围是 -3<x<0 或 x>2。 点拨　第（4）问注意 x≠0，不要写成 x>-3。 易错辨析 辨析　“对于反比例函数 ，因为 k=2>0，所以当 时，一定有 。”这种说法对吗？ 剖析　不对。只有当两点在同一个象限内时才有 。若 ，则 ，此时 。 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1．反比例函数 的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．若反比例函数 的图象经过点 (-2，3)，则它的图象也一定经过点（　　） A．(2，3) B．(-3，-2) C．(3，-2) D．(-2，-3) 3．关于反比例函数 ，下列说法中正确的是（　　） A．图象经过点 (1，-2) B．图象位于第二、四象限 C．y 随 x 的增大而减小 D．当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小 4．若反比例函数 的图象在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（　　） A．k>1 B．k<1 C．k>0 D．k<0 5．在同一平面直角坐标系中，函数 与 y=kx-k（k≠0）的图象可能是（　　） A．A B．B C．C D．D 6．已知点 A(1，)，B(3，) 都在反比例函数 的图象上，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 7．如图，点 A 在反比例函数 的图象上，AB⊥x 轴于点 B，△AOB 的面积为 3，则 k 的值为（　　） A．3 B．-3 C．6 D．-6 8．如图，正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 (2，4)，则点 B 的坐标为（　　） A．(-2，-4) B．(-4，-2) C．(2，-4) D．(-2，4) 二、填空题 9．反比例函数 的图象在第______象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 10．若双曲线 位于第二、四象限，则 m 的取值范围是______。 11．如图，正方形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 的图象上，正方形的面积为 4，则 k=______。 12．对于反比例函数 ，当 x>2 时，y 的取值范围是______。 13．已知点 (-1，a)，(2，b) 在反比例函数 （k<0）的图象上，则 a______b（填“>”“<”或“=”）。 14．若函数 是反比例函数，且图象位于第二、四象限，则 m=______。 三、解答题 15．已知反比例函数 的图象经过点 (-3，2)。 （1）求 k 的值，并说明图象位于哪些象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大怎样变化？ （3）当 1≤x≤3 时，求 y 的取值范围。 16．已知反比例函数 。 （1）若图象位于第一、三象限，求 m 的取值范围； （2）若 A(，)，B(，) 是图象上的两点，且 时 ，求 m 的取值范围； （3）若图象经过点 (2，-1)，求 m 的值。 17．如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A(1，4)，B(4，n) 两点，直线 AB 与 x 轴交于点 C。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 △AOB 的面积； （3）直接写出 时 x 的取值范围。 18．已知点 A(-2，)，B(-1，)，C(1，) 都在反比例函数 （a 为常数）的图象上，比较 ，， 的大小。 （二）能力提升 19．如图，点 P 在反比例函数 的图象上，PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，PA，PB 分别与反比例函数 的图象交于点 C，D，连接 OC，OD。 （1）求 △OAC 和 △OBD 的面积；（2）求四边形 ODPC 的面积。 20．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标为 4。 （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为 8，求 △AOC 的面积。 21．已知反比例函数 。 （1）当 x>3 时，求 y 的取值范围； （2）当 y≥-3 时，求 x 的取值范围； （3）当 2≤x≤6 时，函数的最大值与最小值的差是多少？ 22．已知点 A(a，)，B(a+1，) 都在反比例函数 的图象上，且 ，求 a 的取值范围。 （三）拓展探究 23．如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB∥x 轴，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 D，C。 （1）求矩形 ABCD 的面积； （2）若点 A 的纵坐标为 2，求 A，B 两点的坐标，并验证（1）的结论； （3）一般地，若点 A 在双曲线 （<0）上，点 B 在双曲线 （>0）上，其他条件不变，矩形 ABCD 的面积是多少？ 24．【探究】直线 y=x 与双曲线 （k>0）在第一象限内交于点 P。 （1）当 k=2 时，求点 P 的坐标及线段 OP 的长； （2）当 k=3 时，求线段 OP 的长； （3）用含 k 的式子表示 OP 的长。 （四）综合训练 25．如图，反比例函数 的图象经过点 A(-2，3)，点 B(1，b) 也在该函数的图象上，直线 AB 与 x 轴交于点 C。 （1）求 m，b 的值；（2）求直线 AB 的解析式； （3）求 △AOB 的面积；（4）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围。 26．已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 的一个交点为 (1，a)。 （1）求 a，k 的值及另一个交点的坐标； （2）若点 (m，n) 在该反比例函数的图象上，且 -2<n<-1，求 m 的取值范围。 27．已知反比例函数 （k>0）的图象上有三点 (，)，(，)，(，)，且 。 （1）比较 ，， 的大小； （2）若 k<0，其他条件不变，，， 的大小关系又如何？ 【课堂小结】　反比例函数的性质由______的符号决定；k 的几何意义是：____________________________ 在比较函数值大小时，要特别注意____________________________________________ 五、答案及解析 （一）基础巩固 1．B 解析：k=-3<0，图象位于第二、四象限。 2．C 解析：k=(-2)×3=-6，选项中只有 3×(-2)=-6，所以图象经过点 (3，-2)。 3．D 解析：1×(-2)=-2≠2，A 错；k=2>0，图象在第一、三象限，B 错；增减性要在每一个象限内讨论，C 错；D 正确。 4．B 解析：y 随 x 的增大而增大，则 k-1<0，k<1。 5．D 解析：当 k>0 时，双曲线在第一、三象限，直线 y=kx-k 从左到右上升且与 y 轴交于负半轴；当 k<0 时，双曲线在第二、四象限，直线从左到右下降且与 y 轴交于正半轴。只有 D 符合 k<0 的情形。 6．A 解析：k=6>0，点 A，B 都在第一象限，y 随 x 的增大而减小，1<3，所以 。（或直接计算：=6，=2） 7．D 解析：△AOB 的面积为 =3，|k|=6；图象在第二象限，k<0，所以 k=-6。 8．A 解析：正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，所以 B(-2，-4)。 9．一、三；减小 10．m< 解析：2m-1<0，所以 m<。 11．4 解析：正方形 OABC 的面积=|k|=4，图象在第一象限，k=4。 12．-3<y<0 解析：k=-6<0，x>2 时图象在第四象限，y 随 x 的增大而增大，当 x=2 时 y=-3，所以 -3<y<0。 13．> 解析：k<0，点 (-1，a) 在第二象限，a>0；点 (2，b) 在第四象限，b<0，所以 a>b。 14．-1 解析：，m=±1；图象在第二、四象限，m-1<0，m<1，所以 m=-1。 15．解：（1）k=(-3)×2=-6，因为 k<0，所以图象位于第二、四象限。 （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 （3）当 x=1 时，y=-6；当 x=3 时，y=-2。在第四象限内 y 随 x 的增大而增大，所以当 1≤x≤3 时，-6≤y≤-2。 16．解：（1）m-5>0，m>5。 （2），两点都在同一个象限内，此时 y 随 x 的增大而减小，所以 m-5>0，m>5。 （3）把 (2，-1) 代入，得 m-5=2×(-1)=-2，所以 m=3。 17．解：（1）把 A(1，4) 代入 ，得 m=4，所以反比例函数的解析式为 。 把 B(4，n) 代入，得 n=1，所以 B(4，1)。 由 ，解得 ，所以一次函数的解析式为 y=-x+5。 （2）在 y=-x+5 中，令 y=0，得 x=5，所以 C(5，0)，OC=5。 =×5×4-×5×1=。 （3）x<0 或 1<x<4。 解析：当 x<0 时，直线在 x 轴上方（y>0），而双曲线在第三象限（y<0），直线在上方；当 1<x<4 时，直线在双曲线上方。 18．解：因为 <0，所以图象在第二、四象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。 A，B 在第二象限，-2<-1，所以 0<；C 在第四象限，<0。所以 。 （二）能力提升 19．解：（1）点 C，D 都在 上，所以 =×2=1。 （2）矩形 OAPB 的面积为 4，所以四边形 ODPC 的面积为 4-1-1=2。 20．解：（1）把 x=4 代入 ，得 y=2，所以 A(4，2)，k=4×2=8。由对称性得 B(-4，-2)。 （2）把 y=8 代入 ，得 x=1，所以 C(1，8)。 如图，过点 C，A 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E，F。则 =×8=4。 所以 △AOC 的面积=△COE 的面积+梯形 CEFA 的面积-△AOF 的面积=梯形 CEFA 的面积=×(8+2)×(4-1)=15。 21．解：（1）k=6>0，x>3 时图象在第一象限，y 随 x 的增大而减小，x=3 时 y=2，所以 0<y<2。 （2）当 x>0 时，y>0，满足 y≥-3；当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，y=-3 时 x=-2，y≥-3 对应 x≤-2。 所以 x 的取值范围是 x≤-2 或 x>0。 （3）当 x=2 时 y=3，当 x=6 时 y=1，最大值与最小值的差为 3-1=2。 22．解：k=2>0，在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。又 a<a+1。 （1）若 A，B 都在第一象限，即 a>0 时，，符合题意； （2）若 A，B 都在第三象限，即 a+1<0，a<-1 时，，符合题意； （3）若 A 在第三象限，B 在第一象限，即 a<0<a+1，-1<a<0 时，，不符合题意。 综上，a 的取值范围是 a>0 或 a<-1。 （三）拓展探究 23．解：（1）连接 AB 与 y 轴的交点，把矩形 ABCD 分成两个矩形。左边矩形的面积为 |-2|=2，右边矩形的面积为 |4|=4，所以矩形 ABCD 的面积为 2+4=6。 （2）当 y=2 时，由 得 x=-1，A(-1，2)；由 得 x=2，B(2，2)。 AB=2-(-1)=3，AD=2，面积为 3×2=6，与（1）的结论一致。 （3）矩形 ABCD 的面积为 ，即 。 24．解：（1）由 ，得 ，x=（x>0），P(，)。 OP===2。 （2）当 k=3 时，P(，)，OP==。 （3）P(，)，OP==。 （四）综合训练 25．解：（1）m=(-2)×3=-6；b==-6。 （2）设直线 AB 的解析式为 y=cx+d，由 ，解得 ，所以 y=-3x-3。 （3）令 y=0，得 x=-1，C(-1，0)，OC=1。=×1×3+×1×6=。 （4）x<-2 或 0<x<1。 26．解：（1）把 (1，a) 代入 y=2x，得 a=2；k=1×2=2。 由对称性，另一个交点为 (-1，-2)。 （2），图象在第三象限的部分，y 随 x 的增大而减小。当 n=-2 时 m=-1；当 n=-1 时 m=-2。 所以当 -2<n<-1 时，-2<m<-1。 27．解：（1）k>0，图象在第一、三象限。，两点在第三象限，y 随 x 的增大而减小，所以 ；，。 所以 。 （2）k<0，图象在第二、四象限。，两点在第二象限，y 随 x 的增大而增大，所以 0<；。 所以 。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $