3.2 双曲线综合限时训练卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线定义、几何性质及综合应用，通过分层题型构建从概念辨析到复杂问题解决的逻辑链条，强化数学思维与表达 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|单选1-4|轨迹判断、焦点关系|从定义推导轨迹方程，建立椭圆与双曲线离心率关联| |几何性质应用|多选9-11、填空12-14|渐近线、焦点三角形、离心率计算|整合a,b,c关系，通过几何量转化强化推理能力| |综合探究|解答15-19|中点弦、定点定值、实际应用|以直线与双曲线位置关系为核心，构建模型观念解决复杂问题|

3.2 双曲线综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    2．（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，所以，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即. 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 4．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由双曲线的渐近线方程得出，，进而得出，再由的周长列出方程即可求解离心率． 【详解】根据题意可得，双曲线的渐近线方程为，则， 设， 则， 所以，， 设，则， 则， 因为的周长为， 所以， 解得或（舍去）， 所以的离心率． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程并与双曲线方程联立，解得点坐标，利用向量可证明，可得. 【详解】易知， 由可得直线的斜率为，其直线方程为， 如下图所示： 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 解得或(舍)， 所以点的横坐标为，又点位于第一象限，所以； 则， 所以，即， 所以， 因此在中，，即. 6．（2026·安徽·模拟预测）如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设轴截面双曲线所在的方程为. 因为垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为,所以, 又由该几何体的高为,上底面圆的直径为,得到双曲线上一点的坐标为, 代入,可得,所以,所以. 选项A,双曲线离心率为. 选项B,双曲线离心率为. 选项C,双曲线离心率为. 选项D,双曲线离心率为. 所以只有C选项与该轴截面双曲线的离心率相同. 7．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 8．（2026·河北保定·二模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题设求出双曲线，及双曲线的渐近线方程为，结合可得，设直线l的方程为，进而求得，设，联立直线l与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可. 【详解】由题意，得，即，则， 所以双曲线，且双曲线的渐近线方程为， 由，得，设直线l的方程为， 联立，解得，即， 联立，消去得， 设，则①，， 因为，所以， 而，， 则，即， 结合①得，， 则， 即， 则，即，又，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 10．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【分析】先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可. 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 11．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上且位于第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点 在 的渐近线上 B． C．若 的内切圆圆心为 ，则 的斜率为 D．若 的外接圆圆心为 ，则点 的纵坐标为 9 【答案】BCD 【分析】A.将点坐标代入双曲线渐近线方程，验证等式是否成立，判断点是否在渐近线上；B.直接利用双曲线定义判断；C.由双曲线焦点三角形内切圆切点性质及点到直线距离公式列方程求解直线斜率;D.利用外心到三角形三顶点距离相等，联立圆方程与双曲线方程，结合第一象限纵坐标为正求解。 【详解】双曲线 ， 得 ，渐近线方程：，焦点 ，点 在第一象限右支上， 选项 A.渐近线 ， ，所以点不在渐近线上，A 错误； 选项 B. 在双曲线右支，由双曲线定义：，B 正确; 选项 C.设的内切圆圆心为，半径为，由到轴（即所在直线）的距离为，得， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，得 化简得：，而，则， C 正确； 选项 D.外接圆圆心 ，则 ， 先算 ， 设 ，则 ， ， 又 在双曲线上：，代入， ，所以,则, ，故 ，即 纵坐标为 9，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 【答案】 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，得， 故得，又双曲线C的渐近线方程为， 整理为一般式为，圆的圆心为，半径， 由于的渐近线与圆相切，故圆心到渐近线的距离等于半径， 由点到直线的距离公式可得：，结合，解得， 进而 ，因此双曲线C的标准方程为. 13．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后利用双曲线的定义得到，利用直角三角形和面积公式列出关于的两个方程，求解出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的左右焦点分别为，， 直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ， 的中点记为，的中点记为， 则，， ，则，，即，整理得①. 又，即，整理得②. 联立，解得或（舍）. 则双曲线的离心率为. 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)，，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 【分析】（1）设，，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解； （2）对进行配凑得，代入计算即可. 【详解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. （2）略. 16．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 【分析】（1）由两点坐标代入方程，求解可得； （2）设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，所以令，化简可得横坐标为定值，即直线过定点. 【详解】（1）由题意可得解得所以E的方程为. （2）略 17．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 18．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离得到方程，求出双曲线方程； （2）设出直线，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出两三角形面积，得到方程，求出答案； （3）作出辅助线，根据内心的性质和双曲线定义可得，，结合韦达定理得到，并求出面积的最大值. 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离， 所以． 又离心率，且，解得． 所以的标准方程为． （2）设直线，点在第一象限，故， 联立消去得． 由韦达定理，得． 因为与的右支交于两点，所以，即． 因为，且，所以． 所以，解得，满足要求， 由于，故，故，解得，故， 所以的方程为． （3）由已知得． 过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示． 根据切线长定理，得， 由，得． 又，所以． 而，则． 所以．同理． 所以． 又， 所以． 因为， 所以，解得． 即，同理．所以． 因为， 所以． 所以． 又， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为，所以当时，取最大值． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19．（2026高二·全国·专题练习）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. （2）①求出直线的方程，与双曲线方程联立并求出弦长，进而求出三角形面积；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由点在双曲线上，得， 由离心率为，得，又，联立解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线，设， ①直线斜率为，由直线l过点及，得直线的方程为， 代入双曲线，得， ，， 所以． 又点到的距离为， 的面积为． ②设，当直线不垂直于轴时，设，， 代入双曲线，得， ，，， 因此 ， 当且仅当，即时，为常数，为常数， 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值. 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 双曲线综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C．3 D． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽·模拟预测）如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·二模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 10．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 11．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上且位于第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点 在 的渐近线上 B． C．若 的内切圆圆心为 ，则 的斜率为 D．若 的外接圆圆心为 ，则点 的纵坐标为 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 13．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 16．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 17．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 18．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 19．（2026高二·全国·专题练习）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $